Espaces vectoriels et applications linéaires I) Introduction à la notion d’espace vectoriel : Notons V l’ensemble des vecteurs du plan ou de l’espace. Cet ensemble peut être muni d’une loi de composition interne notée additivement , définie par u , v étant deux vecteurs quelconques : u v v u Les propriétés de cette loi sont les suivantes : Elle est associative dans V , commutative dans V . Elle admet un élément neutre , le vecteur nul 0 Tout vecteur u de V possède un opposé : le vecteur -u L’addition confère à V une structure de groupe abélien . Cet ensemble peut également être muni d’une loi de composition externe notée « . » définie par : u étant un vecteur quelconque de V , un réel quelconque : u u Les propriétés de cette loi sont les suivantes : (i) ( u , v ) V2 , R , .( u v ) = u v (ii) u V , (,) R2, ( + ). u = . u + . u (iii) u V , (,) R2, .( u ) = (). u (iv) u V , 1. u = u A la vue de ces propriétés , nous décidons de donner la qualité d’espace vectoriel réel à l’ensemble des vecteurs muni de ces deux lois de composition . Nous allons maintenant étendre cette notion d’espace vectoriel à des ensembles plus abstraits , tels que : - L’ensemble des fonctions de R dans R , de C dans C . - L’ensemble des suites à valeurs réelles ou complexes . - L’ensemble des polynômes . - L’ensemble des n-uplets de Rn , Cn , n de N*. ATTENTION : deux vecteurs ne se multiplient pas entre eux . Dans la suite , K désigne un sous-corps de C . II) Espaces vectoriels : Déf : On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K , tout triplet (E , + , . ) où : E est un ensemble non-vide + est une loi de composition interne sur E telle que (E,+) soit un groupe abélien . . , KE E est une loi de composition externe sur E telle que : (i) (ii) K , (u,v) E2 , .(u + v) = .u + .v (,) K2 , u E , ( + ).u = .u + .u (iii) (,) K2 , u E , .(.u) = ().u (iv) u E , 1.u = u La loi + est appelée addition sur E . La loi . est appelée produit externe sur E . Remarque : En toute rigueur , le K-espace vectoriel est la donnée du triplet (E ,+, .) . Mais en pratique E désigne aussi bien l’ensemble E que le K-espace vectoriel (E ,+, .) . Déf : Soit E un K-ev : Les éléments de E sont appelés vecteurs de E . Les éléments de K sont appelés scalaires . L’élément neutre pour l’addition est appelé vecteur nul . ( on le note 0, ou 0 , ou 0E ) Exples (élémentaires mais fondamentaux) : L’ensemble V des vecteurs du plan ou de l’espace muni de l’addition de deux vecteurs et du produit géométrique (par un réel) est un R-espace vectoriel . {0} peut être considéré comme un K-espace vectoriel , en posant K, .0 = 0 . (C,+, .) est un C-espace vectoriel , mais aussi un R-espace vectoriel . (R,+ , .) est un R-espace vectoriel . Espaces produits : Soient E1 , E2 , … , En , n K-espaces vectoriels , n de N \ {0,1} . On définit l’ensemble E = E1E2…En par : E = { x = (x1,x2,…,xn) / x1 E1 , … xn En } (E espace produit des Ei ) . Sur E on définit : - une loi additive « + » donnée par : x = (x1,x2,…,xn) et y = (y1,y2,…,yn) deux éléments de E, x + y = (x1 + y1 , … , xn + yn) - une loi de produit externe « . » donnée par : x = (x1,x2,…,xn) E et K .x = (x1,x2,…,xn) Alors : (E , + , .) est un K-espace vectoriel . En particulier, pour tout n de N* , Cn est un R-ev ou C-ev , Rn est un R-ev . (K[X] , + , .) (ensemble des polynômes à une indéterminée sur le corps K) est un K-ev . Soit X un ensemble , E un K-ev, l’ensemble des applications de X dans E noté EX peut être muni : - D’une loi de composition interne additive définie par : Pour toutes fonctions f,g :X E, f + g : X E , x (f + g)(x) = f(x) + g(x) - D’une loi de composition externe « . » définie par : Pour toute fonction f : X E , pour tout de E, .f : X E , x (f)(x) = .f(x) Alors , (EX , + , .) est un K-ev . Remarque : - En particulier, en prenant E = R ou C , X une partie de R : L’ensemble des applications , de X dans R (ou C) est un Rev(ou un C-ev) . - En particulier, en prenant E égal à R ou C , X = N : L’ensemble des suites à valeurs complexes ou réelles est un ev . Prop : Soit E un K-ev , de K , x de E . (i) .0 = 0 (ii) 0.x = 0 (iii) .(-x) = - (.x) = (-).x (iv) n Z , .(nx) = (n).x = n(.x) Remarque : Avec les relations précédentes ,pour tout n de Z , nx = n.x (prendre = 1) Prop : Soient E un K-ev , x de E , de K . .x = 0 = 0 ou x = 0 . Déf : (Colinéarité) Soient E un K-ev , u,v de E . Les vecteurs u et v sont dits colinéaires ssi : - Soit l’un des deux vecteurs est nul - Soit , lorsqu’ils sont tous les deux non-nuls, il existe de K tel que u = v (ou v = u) Exple : u(1;2) et v(2;4) sont colinéaires dans R2 . III) Sous-espaces vectoriels : Déf : Soit E un K-ev . On appelle sous-espace vectoriel de E toute partie F de E telle que (F,+,.) soit lui-même un K-ev . Exple : R est un sous-espace vectoriel du R-ev C . D(R,R) , ensemble des fonctions dérivables de R dans R , est un sous-espace vectoriel du R-ev RR . Théorème : Soit E un K-ev , F une partie de E . Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) F est un sous-espace vectoriel de E . (ii) F E , F , F est stable pour l’addition ie (x,y) F2 , x + y F , F est stable pour le produit externe ie x F , de K , .x F. (iii) F E , F , F est stable par combinaison linéaire ie : (x,y) F2, (,) K2 ,x + y F . Remarques : Pour montrer qu’une partie F d’un K-ev E est non-vide, nous montrerons que 0 F . En particulier, si 0 n’appartient pas à F, F ne peut pas être un sous-espace vectoriel de E . Pour montrer qu’un ensemble est un K-ev, nous montrerons souvent que c’est un sousespace vectoriel . Exples : Soit E un K-ev . {0} et E sont des sev de E dits triviaux . Les autres sev de E sont dits propres . Soient E un K-ev, v un vecteur non-nul de E. Soit u un vecteur de E , u est colinéaire à v ssi il existe de K : u = v . Alors, l’ensemble des vecteurs colinéaires à v noté : Kv = { v , K } est un sev de E appelé droite vectorielle engendré par v . Soit I un intervalle de R : C(I,R) , D(I,R) , Cn(I,R) (n de N) , C(I,R) sont des sev de RI . L’ensemble des suites bornées , l’ensemble des suites convergentes sont des sev de KN . Kn[X] , pour tout n de N est un sev de K[X] . (Kn[X] est l’ensemble des polynômes à une indéterminée sur le corps K de degré inférieur ou égal à n ) Prop : Soient E un K-ev , (Fi)i I une famille de sev de E. Alors , F = F i est un sev de E . iI ATTENTION : Cette proposition ne s’étend pas à la réunion d’ev . Exple : Dans C , R et iR sont des sev du R-ev C, mais F = R iR n’est pas un sev de C . 1 + i F . Déf :(Combinaison linéaire de vecteurs) Soit E un K-ev, n de N* , a1 , … , an n vecteurs de E . Soit x de E . On dit que x s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs a1 , … , an ssi il existe (1 , … , n) de Kn tels que : n x = i ai . i 1 Exple : Soit n de N . Soit x = (x1 , … ,xn) de Kn . x = x1(1,0, …,0) + x2(0,1,0,… ,0) + … + xn(0,0,…,0,1) Si on note e1 = (1,0,…,0) , e2 = (0,1,0,…,0) , … en = (0,0,…,0,1) , alors tout vecteur de Kn s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs e1,e2,…,en . Prop : Soient E un K-ev, F une partie non-vide de E . F est un sev de E ssi toute combinaison linéaire d’au moins deux éléments de F appartient à F (ie ssi n N \ {0,1} , (x1, … , xn) Fn , (1,…,n) Kn , 1x1 + … + nxn F ) Déf : Soit E un K-ev. Soit A une partie non-vide de E. L’ensemble des combinaisons linéaires finies d’éléments de A est un sev de E : c’est le plus petit sev de E contenant A .Il est appelé espace vectoriel engendré par A et se note Vect (A) ou encore : <A> Vect() = {0} Remarque : Soient E un K-ev, A une partie non-vide de E, x de E. x Vect(A) n N* , (a1, … ,an) An , (1 ,… n ,n) K tels que : x = iai . n i 1 Exples : 1) Soient OA et OB deux vecteurs d’origine O : Si O, A et B sont alignés , alors Vect( OA , OB ) = (OA) Si O, A et B ne sont pas alignés , alors Vect( OA , OB ) = (OAB) . ( = plan OAB). 2) Dans le R-ev C : Vect(1 , i) = C = Vect(1 , j) Vect(1) = R . Dans le C-ev C , Vect(1) = C . 3) Soient E un K-ev , a1 , … ,an de E , n de N* : Vect(a1 , … , an) = { 1a1 + … + nan , (1 ,…,n) Kn} En supposant a non-nul , Vect(a) = K.a Prop : Soient E un K-ev. Soient A et B deux parties de E telles que : A B , alors : Vect(A) Vect(B) . Soit F un sev de E : Vect(F) = F . Prop : Soit E un K-ev , n de N \ {0,1} , x1 , … ,xn n vecteurs de E . On suppose que xn s’écrit comme combinaison linéaire de x1 , … , xn-1 . Alors, Vect(x1, … ,xn-1,xn) = Vect(x1, … ,xn-1) Prop : Soit E un K-ev , A une partie de E Vect(A) = F F sev de E , A F Déf : Soient E un K-ev , n de N* , F1 , … , Fn n sev de E . F = F1 + … + Fn = { x1 + x2 + … + xn / i {1,…,n} xi Fi } est un sev de E appelé somme des sev F1 , … ,Fn .