Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et
applications linéaires
I) Introduction à la notion d’espace
vectoriel :
Notons V l’ensemble des vecteurs du plan ou de
l’espace. Cet ensemble peut être muni d’une loi de
composition interne notée additivement , définie par
vu  ,
étant deux vecteurs quelconques :
Les propriétés de cette loi sont les suivantes :
 Elle est associative dans V , commutative dans V .
 Elle admet un élément neutre , le vecteur nul
0
 Tout vecteur
u
de V possède un opposé : le vecteur
-
u
u
v
vu  

L’addition confère à V une structure de groupe
abélien .
Cet ensemble peut également être muni d’une loi de
composition externe notée « . » définie par :
u
étant un vecteur quelconque de V ,  un réel
quelconque :
u
u
Les propriétés de cette loi sont les suivantes :
(i) (
vu ,
) V2 ,    R , .(
vu  
) = 
vu 
(ii) 
u
 V , (,)  R2, ( + ).
u
= .
u
+ .
u
(iii) 
u
 V , (,)  R2, .(
u
) = ().
u
(iv) 
u
 V , 1.
u
=
u
A la vue de ces propriétés , nous décidons de donner la
qualité d’espace vectoriel réel à l’ensemble des
vecteurs muni de ces deux lois de composition .
Nous allons maintenant étendre cette notion d’espace
vectoriel à des ensembles plus abstraits , tels que :

- L’ensemble des fonctions de R dans R , de
C dans C .
- L’ensemble des suites à valeurs réelles ou
complexes .
- L’ensemble des polynômes .
- L’ensemble des n-uplets de Rn , Cn , n de
N*.
ATTENTION : deux vecteurs ne se multiplient pas
entre eux .
Dans la suite , K désigne un sous-corps de C .
II) Espaces vectoriels :
Déf : On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel
sur K , tout triplet (E , + , . ) où :
 E est un ensemble non-vide
 + est une loi de composition interne sur E telle que
(E,+) soit un groupe abélien .
 . , KE  E est une loi de composition externe sur
E telle que :
(i)    K , (u,v)  E2 , .(u + v) =
.u + .v
(ii) (,)  K2 ,  u E , ( + ).u =
.u + .u

(iii) (,)  K2 ,  u  E , .(.u) =
().u
(iv)  u  E , 1.u = u
La loi + est appelée addition sur E .
La loi . est appelée produit externe sur E .
Remarque :
En toute rigueur , le K-espace vectoriel est la donnée du
triplet (E ,+, .) . Mais en pratique E désigne aussi bien
l’ensemble E que le K-espace vectoriel (E ,+, .) .
Déf : Soit E un K-ev :
Les éléments de E sont appelés vecteurs de E .
Les éléments de K sont appelés scalaires .
L’élément neutre pour l’addition est appelé vecteur nul .
( on le note 0, ou
0
, ou 0E )
Exples (élémentaires mais fondamentaux) :
 L’ensemble V des vecteurs du plan ou de l’espace
muni de l’addition de deux vecteurs et du produit
géométrique (par un réel) est un R-espace
vectoriel .
 {0} peut être considéré comme un K-espace
vectoriel , en posant    K, .0 = 0 .

 (C,+, .) est un C-espace vectoriel , mais aussi un
R-espace vectoriel .
 (R,+ , .) est un R-espace vectoriel .
 Espaces produits :
Soient E1 , E2 , … , En , n K-espaces vectoriels , n de N \
{0,1} . On définit l’ensemble E = E1E2…En par :
E = { x = (x1,x2,…,xn) / x1  E1 , … xn  En }
(E espace produit des Ei ) .
Sur E on définit :
- une loi additive « + » donnée par :
x = (x1,x2,…,xn) et y = (y1,y2,…,yn) deux éléments de E,
x + y = (x1 + y1 , … , xn + yn)
- une loi de produit externe « . » donnée par :
x = (x1,x2,…,xn)  E et   K
.x = (x1,x2,…,xn)
Alors : (E , + , .) est un K-espace vectoriel .
 En particulier, pour tout n de N* , Cn est un R-ev
ou C-ev , Rn est un R-ev .
 (K[X] , + , .) (ensemble des polynômes à une
indéterminée sur le corps K) est un K-ev .