Dynamique des systèmes quantiques ouverts décohérence et perte

Dynamique des syst`emes quantiques ouverts
d´ecoh´erence et perte d’intrication
Sylvain Vogelsberger
To cite this version:
Sylvain Vogelsberger. Dynamique des syst`emes quantiques ouverts d´ecoh´erence et perte
d’intrication. Math´ematiques g´en´erales [math.GM]. Universit´e de Grenoble, 2012. Fran¸cais.
<NNT : 2012GRENM027>.<tel-00767971>
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Submitted on 20 Dec 2012
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THÈSE
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DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE
Spécialité : Mathématiques
Arrêté ministériel : 7 août 2006
Présentée par
Sylvain Vogelsberger
Thèse dirigée par Dominique Spehner et Alain Joye
préparée au sein Institut Fourier
et de Ecole doctorale Mathématiques et Informatique
Dynamique des systèmes quan-
tiques ouverts : décohérence et
perte d’intrication.
Thèse soutenue publiquement le 22 juin 2012,
devant le jury composé de :
nom
grade, Président
Stéphane Attal
Professeur à l’Université Claude Bernard, Lyon, Rapporteur
Bertrand Georgeot
Directeur de Recherche au CNRS et à l’Université Paul Sabatier, Toulouse,
Rapporteur
Stephan de Bièvre
Professeur à l’Université Lille 1, Lille, Examinateur
Marco Merkli
Professor at Memorial University of Newfoundland, St. John’s, NL Canada,
Examinateur
Dominique Spehner
Maître de Conférence à l’Université Joseph Fourier, Grenoble, Directeur de thèse
Alain Joye
Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble, Co-Directeur de thèse

Merci Dominique pour m’avoir proposé d’étudier ce sujet très intéressant
à la frontière des Mathématiques et de la Physique. Je tiens à souligner ton
travail précis et rigoureux de suivi de ma thèse.
J’exprime ici ma profonde affection et admiration pour toi Alain. J’ai
beaucoup aimé discuter de Mathématiques avec toi. Ton approche de la dis-
cipline me touche beaucoup. De plus et c’est fondamental pour moi, cela
semble rester toujours un jeu pour toi. Tu m’a appris à naviguer avec des
"gars" et des "gens" que l’on minore ou que l’on majore ! J’essaye de trans-
mettre à mes élèves ton approche si ludique et en même temps si profonde
de la discpline. Enfin tu as été présent et à l’écoute dans les moments forts
et difficiles de cette thèse et cela m’a été d’un grand secours.
C’est un honneur pour moi Stéphane que tu sois mon rapporteur de thèse.
Ce travail doit beaucoup à des résultats majeurs de ton cru et à certaines de
tes idées. Durant cette thèse j’ai beaucoup apprécié ta façon d’expliquer les
Mathématiques que ce soit à l’écrit par la lecture de tes articles ou à l’oral
en écoutant tes exposés toujours limpides.
Enfin il était important pour moi qu’un physicien fasse partie de mon
jury de thèse. Aussi je remercie profondément Bertrand Georgeot d’avoir
accepté d’être rapporteur de ma thèse.
Stephan, j’ai eu le plaisir de faire ta connaissance lors des rencontres de
l’ANR ou du GDR où tu as présenté des conférences intéressantes et d’une
clarté exemplaire. De plus, tu as toujours su me mettre à l’aise et eu un
mot agréable à mon égard, merci. C’est donc une joie pour moi que tu sois
examinateur de ma thèse.
Marco, je ne t’ai encore jamais rencontré mais j’ai déjà eu beaucoup de
plaisir à te lire. De plus ayant passé une année au Canada, j’ai rêvé d’aller
me perdre au fin fond du Labrador. Grâce à toi, c’est lui qui vient à moi !
Merci d’avoir accepté d’être mon rapporteur de thèse.
Merci à toute l’équipe de l’Institut Fourier pour m’avoir accueilli dans
ce chaleureux établissement. Tout d’abord je remercie Michel Brion et Gé-
rard Besson les deux directeurs sympatiques du laboratoire que j’ai connus.
Ensuite je tiens en particulier à remercier Robert Binder, Hervé Toureille
et Simon Chevance du service informatique pour leurs compétences, leur
rapidité d’action et leur sympathie. Merci également à Gabrielle Michel, Gé-
raldine Rahal et Robert Feres pour leur gentillesse. J’ai adoré travailler avec
toi, Françoise Martin. Les impressions sont toujours prêtes et surtout tu as
tout le temps un mot agréable.
J’ai énormément apprécié étudier à la bibiothèque de l’Institut. On s’y
sent admirablement bien grâce à Marie-Noëlle Kassama, Ariane Rolland,
Boucif Mokhtari et évidemment grâce à toi Francesca Leinardi.
Merci également à toute l’équipe de Physique Mathématique de l’Institut
Fourier. C’était un plaisir de partager certains moments avec vous.
1

Merci aussi à Jean-Pierre Demailly, Frédéric Mouton et Zindine Djadli
pour leur vision transcendante des Mathématiques. J’ai un très grand respect
pour vous.
J’ai apprécié partager votre bureau Hiba Abdallah et Jean-François Ar-
noldi. Vous avez toujours eu un mot sympatique quand cela n’allait pas trop
bien. Je n’ai pas oublié, Jef, les fois où tu m’a emmené grimper ou skier avec
tes amis. C’était excellent et ça m’a fait un bien fou. Merci à tous les deux.
Enfin je tiens à remercier Christophe Leuridan en qui je voue une pro-
fonde affection et admiration. J’ai adoré discuter avec toi de Probabilités
bien sûr mais aussi de vélo, de montagne et d’écologie.
Je suis ravi de profiter de ces quelques lignes pour dire à mes amis à quel
point je tiens à eux. Alors merci Antho d’être toujours présent même si je ne
t’appelle pas souvent (c’était fort ce qu’on a vécu ensemble au Mali). J’ai eu
beaucoup de plaisir à cohabiter avec toi Antoine et j’espère qu’on va pouvoir
à présent se voir un peu plus. Alex sache que je ne t’oublie pas même si
l’océan nous sépare. À quand les nouvelles balades avec Stev’ ? Je suis ravi
de te revoir crapahuter en montagne Tuyen et c’est avec joie que j’y retour-
nerai avec toi. Mathieu, nos retrouvailles sont toujours festives. Ta vision des
Sciences m’émerveille. J’ai adoré profiter de Lyon et d’autres coins avec vous
Claire, Jenifer, Charly et Rémi. Myriam et Jack, vous avez été présents et à
l’écoute à un moment crucial de ma vie. Jamais je ne l’oublierai. Tu as eu
l’idée du siècle, Myriam, en m’apprenant le ski de fond ! Je suis ravi qu’on
ait gardé de si bons rapports Lauranne. Sache que j’essaierai toujours de les
entretenir. Guillaume tu restes mon ami d’enfance auquel je tiens énormé-
ment. C’est en famille qu’on se retrouve à présent et je trouve cela magique.
Stev’ je n’ai qu’un regret : celui de se voir plus souvent toi et ta famille ! Ah
Hélène ! On en a fait des choses ensemble... pourvu que ça dure !
Merci à toute ma famille agrandie grâce à Fanny pour son soutien, son écoute
et son amour.
Mes parents je pense que vous devez être soulagés de pouvoir enfin lire ces
lignes qui clôturent la fin de mes études ! Elles ont été épiques en louvoyant
entre les Mathématiques et la Physique. Merci beaucoup d’avoir cru en moi
et de m’avoir permis de faire ce que j’aime. Je suis si heureux et c’est en
grande partie grâce à tout l’Amour que vous me portez.
Fanny, tu m’as rendu et me rends toujours le plus heureux des hommes.
Ce que tu as fait pour que cette thèse se finisse bien est incalculable même
pour le matheux que je suis un peu ! Je t’en suis infiniment reconnaissant et
cette thèse te doit énormément. Mais surtout grâce à toi, je vis la vie que
j’ai toujours rêvé d’avoir. Je suis si heureux qu’on la partage à trois avec
Erwann à présent...
2

Table des matières
Introduction. i
0.1 Motivations............................. i
0.2 Intrication. ............................ iv
0.2.1 D’un point de vue général. . . . . . . . . . . . . . . . . iv
0.2.2 Concurrence de Wootters. . . . . . . . . . . . . . . . . vii
0.3 Systèmes quantiques ouverts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
0.3.1 Description des états d’un système ouvert. . . . . . . . ix
0.3.2 Évolution exacte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
0.3.3 Évolution Markovienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
0.3.4 Exemple de deux atomes couplés à deux champs élec-
tromagnétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
0.4 Désintrication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
0.5 Plan de la thèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx
1 Protection de l’intrication d’un système de deux qubits cou-
plés à des bains par des mesures effectuées sur les bains. 1
1.1 Introduction. ........................... 1
1.2 Description du modèle de sauts quantiques. . . . . . . . . . . 2
1.3 Présentation des résulats de ce chapitre. . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Exemple du comptage de photons. . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Concurrence moyenne pour un modèle de sauts quantiques
avec des opérateurs de sauts locaux. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Le cas de la détection homodyne. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Le cas de la détection hétérodyne. . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Qubits couplés au même bain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 États X et décompositions en états purs produits. 29
2.1 Introduction. ........................... 29
2.1.1 Définition des états X et motivation de leur étude. . . 29
2.1.2 Présentation des résultats de ce chapitre. . . . . . . . . 30
2.2 Les états X d’un système de deux qubits. . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 En ce qui concerne la concurrence des états X. . . . . 31
2.2.2 Géométrie de EX, l’ensemble des états X. . . . . . . . 33
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