Cours de Première S

COURS DE MATHÉMATIQUES
Première S
Valère BONNET (valere.bo[email protected])
10 juin 2009
Lycée PONTUS DE TYARD
13 rue des Gaillardons
71100 CHALON SUR SAÔNE
Tél. : [phone]
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FRANCE

2
PONTUS DE TYARD –- 1re V

Table des matières
Table des matières 3
I Généralités sur les fonctions 7
I.1 Générailités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.1.1 Égalité de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.1.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.1.3 Compositions de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.1.4 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.2 Vocabulaire de l’ordre dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.3 Parité, périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.3.1 Symétrie d’une partie de par rapport à 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.3.2 Fonctions paires, fonctions impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.3.3 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.4 Éléments de symétries d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.4.1 Symétries dans IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.4.2 Axe de symétrie d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.4.3 Centre de symétrie d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.5 Expressions analytiques de quelques transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.5.1 Expression analytique d’une translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.5.2 Expression analytique de la symétrie par rapport à la première bissectrice .............. 19
I.5.3 Quelques expressions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.5.4 Exercice résolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.6 Fonctions associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.6.1 Principaux cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.6.2 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II Polynômes 25
II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.1.1 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II.2 Polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II.2.1 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II.2.2 Représentation graphique et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.2.3 Factorisation et résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.2.4 Signe d’un trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.2.5 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.2.6 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.3 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3

4 Table des matières
III Repérage 39
III.1 Repères cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.1.1 Repère d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.2 Le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.2.2 Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.2.3 Longueur d’un arc de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.3 Angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.3.1 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.3.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
III.3.3 Image d’un nombre réel sur le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.3.4 Mesures d’un angles orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
III.3.5 Somme de deux angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III.4 Applications de la somme deux angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III.4.1 Angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III.4.2 Formules de symétries ............................................ 49
III.4.3 Étude des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.4.4 Coordonnées polaires ............................................. 51
III.4.5 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III.4.6 Formules de duplication et linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III.5 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III.5.1 Formules de trigonométrie avec tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III.5.2 Quelques théorèmes sur les angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III.5.3 Sommes différences et produits de fonction circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III.5.4 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III.5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV Calcul de dérivées et applications 59
IV.1 Notions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
IV.1.1 Accroissement moyen ............................................. 59
IV.1.2 Limite finie en a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
IV.1.3 Vocabulaire des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
IV.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
IV.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
IV.2.1 Nombre dérivé, tangente ........................................... 62
IV.2.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
IV.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
IV.3 Calcul de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
IV.3.1 Classification des principales fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
IV.3.2 Formules de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
IV.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
IV.4.1 Sens de variation et signe de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
IV.4.2 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
IV.4.3 Étude de fonction et représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
IV.4.4 Démonstration d’inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
V Produit scalaire 71
V.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
V.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
V.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
V.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
V.2.1 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
V.2.2 Autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
V.3 Applications du produit scalaire ........................................... 76
V.3.1 Équation d’une droite de vecteur normal n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
V.3.2 Déterminations d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
V.3.3 Géométrie du triangle ............................................. 78
PONTUS DE TYARD –- 1re V

Table des matières 5
VI Barycentre 81
VI.1 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VI.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VI.1.2 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VI.1.3 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
VI.1.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
VI.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII Suites numériques 87
VII.1 Vocabulaire de l’ordre dans IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
VII.1.1 Majorants, minorants ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
VII.1.2 Théorème de la borne supérieure (complément) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
VII.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
VII.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
VII.2.2 Composée d’une suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
VII.3 Représentation graphique d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
VII.3.1 Représentation graphique d’une suite définie explicitement ...................... 88
VII.3.2 Représentation graphique d’une suite définie par récurrence ..................... 89
VII.4 Suites bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VII.5 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
VII.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
VII.5.2 Méthodes d’étude du sens de variation d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
VII.6 Suites arithmétiques - suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
VII.6.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
VII.6.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
VII.6.3 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
VII.7 Limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
VII.7.1 Limite finie, limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
VII.7.2 Théorèmes de comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
VII.7.3 Calcul algébrique de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
VII.7.4 Limites de suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
VII.7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
VII.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
VIII Calcul des probabilités 105
VIII.1Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
VIII.1.1Vocabulaire des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
VIII.1.2Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
VIII.2Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VIII.2.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VIII.2.2Fonction de répartition d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
VIII.2.3Caractéristiques d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
IX Translations et homothéties 113
IX.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
IX.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
IX.1.2 Propriétés caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
IX.1.3 Compositions de translations et d’homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
IX.2 Action sur certains objets géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
IX.3 Image de configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Index 120