LES VECTEURS DU PLAN. 1°) Vecteurs. Déf : Un vecteur est
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LES VECTEURS DU PLAN. 1°) Vecteurs. Déf : Un vecteur est déterminé par une direction, un sens et une longueur. Il caractérise une translation. Déf : Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur, ils définissent la même translation. B F → u A C E → → H → → u = AB = CD = EF ≠ GH → → norme de u = longueur de u = → → G D → || u || = AB = CD = EF → Th : Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme. → → si AB = CD , alors ABDC est un parallélogramme. A B → Si ABDC est un parallélogramme, alors C D → → AB = CD → → AC = BD → → BA = DC → → CA = DB → → Th : Etant donné un point M du plan et un vecteur u , il existe→ un point N unique tel que MN = u . Le point N est l'image du point M par la translation de vecteur u . → → → → Déf : AA = BB = CC = … = 0 vecteur nul. Le vecteur nul n'a ni direction ni sens. → → Th : Un point I est le milieu d'un segment [AB] si et seulement si AI = IB . A I B 2°) Addition des vecteurs. a) Définition → → → → déf : La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur noté u + v défini par : - on choisit un point A quelconque. → → - on place le point B tel que AB = u . → → - on place le point C tel que BC = v → → → - u + v = AC . C → v A B → u Th : Relation de Chasles. Quels que soient les points A, B, C : → → → AB + BC = AC . Remarque : sur le dessin précédent AB + BC > AC, l'égalité n'a lieu que si B est sur le segment [AC], la relation de Chasles est vraie pour les vecteurs, pas pour les longueurs. Somme de deux vecteurs et parallélogramme. C D → AC → A AB → → → → → AB + AC = AD donc par construction, BD = AC donc ABDC est un parallélogramme → → B → Règle : AB + AC = AD , D étant le quatrième sommet du parallélogramme ABDC qui a comme côtés [AB] et [AC]. b)Propriétés de l'addition des vecteurs. → → → → Th : u + v = v + u on dit que l'addition des vecteurs est commutative. → → → → → C u → → AC = u + v = v + u . → v v → A B u D D → → w C w C → → v A → → → → A B → u → v → → ( u + v ) + w = AC + CD = AD → → → → → → B → u → → → u + ( v + w) = u + ( BC + CD ) = u + BD → → → = AB + BD = AD → Th quels que soient les vecteurs u , v , w, → → → → → → → → → ( u + v ) + w = u + ( v + w ) on écrira = u + v + w . (on dit que l'addition est associative). → → → → → → on pourra aussi écrire u + ( w + v ) ou ( u + w) + v ….. Pour ajouter plusieurs vecteurs, on peut les regrouper comme on veut. → → → → → → Th quel que soit le vecteur u , u + 0 = 0 + u = u. On dit que le vecteur nul est neutre pour l'addition. 3°) Soustraction de deux vecteurs. → → Déf : on appelle opposé d'un vecteur non nul u , le vecteur noté – u → de même direction et de même longueur que u → de sens contraire à celui de u . l'opposé du vecteur nul est le vecteur nul → → → → exemple : BA est l'opposé de AB BA = – AB . → → → → → → → → u + (- u ) = AB + (- AB) = AB + BA = AA = 0 . → → A → → → u → B → Déf : On appelle différence de deux vecteurs u et v le vecteur noté u – v égal à u + ( - v ). → Soustraire un vecteur v , c'est ajouter son opposé. → → → x+v=u ⇔ x + v + ( - v ) = u + (- v ) → → → → → ⇔ x = u + ( - v) = u – v. → → → → → → → → → → Th : le vecteur u – v est la solution de l'équation x + v = u , exercice → → AB – CB = → → AB – AC = → → → CB – AD + AC = → → OB – OA = Th : Pour tous points O, A, B → → → AB = 0B - OA → → u et v vecteurs donnés. 4°) Produit d'un vecteur par un réel. → u → → u → u A u B C → → → → → AC = AB + BC = u + u on écrira 2 u → → AC a la même direction que u → → AC a le même sens que u → la longueur AC vaut deux fois celle de u → D → → De même, on écrira AD = 3 u . → u → → → u u C B → → → → → AC = AB + BC = (- u ) +(- u ) on écrira (- 2) u → → AC a la même direction que u → → AC a le sens contraire de celui de u → la longueur AC vaut deux fois celle de u A → Déf : Soit un vecteur u et un nombre réel k : → → → → si u = 0 ou si k = 0, alors ku= 0 → → → si u et k ne sont pas nuls, v = k u est un vecteur qui a → - la même direction que u - le même sens si k est positif, le sens contraire si k est négatif → - pour longueur k x longueur de u . exercice → représenter 1 u → représenter 2,5 u → représenter ( -1) u 1 → représenter – u 2 A . C . .E .G On démontre : → → Th : Quels que soient les réels k et k', les vecteurs u et v , → → 1u= u → → 0u= 0 → → (-1) u = - u → → → ( k + k') u = k u + k' u → → k ( k' u ) = (k k') u → → → → k (u + v) = k u + k v → → → → k u = 0 ⇔ ( k = 0 ou u = 0 ). 5°) Milieu d'un segment, centre de gravité d'un triangle. Th : I est le milieu d'un segment [AB] si et seulement si → → • AI = IB → → • IA = - IB → → → • IA + IB = 0 → → → 1 → • AB = 2 AI ou AI = AB 2 Exercice à savoir refaire. → → → Soit I le milieu d'un segment [AB] et O un point quelconque. Démontrer que OA + OB = 2 OI . → → → → → → OA + OB = ( OI → + IA )→ + ( OI + → IB ) → = OI + IA + OI + IB → → → → = OI + OI + ( IA + IB ) → → or I est le milieu de [AB] donc IA et IB sont opposés donc → → → ( IA + IB ) = 0 → → D A → → donc OA + OB = 2 OI ou OI = → → → → remarque OADB étant un parallélogramme, OD = OA + OB = 2 OI . 1 → → (OA + OB) 2 I B O Th : Les trois médianes d'un triangle ABC se coupent en un point G appelé centre de gravité du triangle. → 2 → On a : AG = AA' 3 → ou A'G = A 1 → AA' 3 → 2 → BG = BB' 3 → 1 → ou B'G = B'B 3 → 2 → CG = CC' 3 → 1 → ou C'G = C'C 3 C' G B A' Th des milieux Soit un triangle ABC, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC]. → 1 → Alors MN = BC . 2 B' C A M N B C 6°) Colinéarité de deux vecteurs. Déf : deux vecteurs non nuls sont colinéaires quand ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs ( tout vecteur est colinéaire au vecteur nul). E F A B D C → → → AB , CD , EF sont colinéaires car les droites (AB), (CD), (EF) sont parallèles. remarque : → → → → → AB = 3 EF, AB et EF ont le même sens donc AB = 3 EF ou EF = → CD = 4 EF, → → → 1 → AB 3 → CD et EF n'ont pas le même sens donc CD = – 4 EF ou EF = - 1 → CD 4 → → 1 → 1 → 3 → 4 → CD donc AB = 3 ( - CD ) = - CD ou CD = - AB . 4 4 4 3 → → → → 0 est colinéaire à EF et 0 = 0 EF → → → AB = 3 EF et EF = - Th : Deux vecteurs sont colinéaires si l'un d'eux est le produit de l'autre par un réel k. A B C A B D → → AB = k CD avec k = AB CD CD AB → → 0 est colinéaire à tout vecteur u car → F → E → AB = k EF avec k = - → → et CD = k' AB avec k' = → AB EF et EF = k' AB avec k' = – → → 0 = 0 u. 7°) Parallélisme et alignement. Th : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si → → les vecteurs AB et CD sont colinéaires→ → c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que AB = k CD . Th : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement→ si → → → les vecteurs AB et AC sont colinéaires(ou AB et BC , etc.) → → c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que AC = k AB . EF AB exercice 1 : ABC est un triangle, I est le milieu de [AB] . → → → P est le point tel que AP = AB – 2 AC . Démontrer que les droites (AP) et (IC) sont parallèles. → → On va comparer les vecteurs CI → et AP → . → → → → → B P AP = AB – 2 AC = AB + 2(- AC ) = AB + 2 CA → Il faut écrire CI sous forme de combinaison des → → vecteurs AB et CA. → 1 → I est le milieu de [AB] donc AI = AB 2 → → → → 1 → 1 → → donc CI = CA + AI = CA + AB = AB + CA 2 2 → → On a donc AP = 2 CI . → → Les vecteurs AP et CI sont donc colinéaires, les droites (AP) et (CI) sont donc parallèles. I C A → → → exercice 2 : Soit deux points distincts A et B , M le point tel que 2 MA + 3 MB = 0 . Dessiner M et démontrer que A, M et B sont alignés. → → A et B sont connus, M est inconnu et il intervient dans deux vecteurs MA et MB inconnus. → → → → On va utiliser la relation de Chasles pour avoir seulement MA : MB = MA + AB. → → → → On a donc 2 MA + 3 (→ MA + AB ) = → 0 → → 2 MA + 3 MA + 3 AB = 0 → → → 5 MA + 3 AB = 0 → → 5 MA = - 3 AB → → 1 3 → A MA = ( -3 AB) = - AB 5 5 → 3 → 3 → AM = - (- AB ) = AB 5 5 M est donc sur la droite (AB), A, M, B sont alignés. → M B → Remarque : pour vérifier, il faudrait partir de M, ajouter 2 MA et 3 MB et obtenir le vecteur nul. → exercice 3 : Soit un parallélogramme ABCD, le point E tel que AE = → 3 → 3 → AB et le point F tel que AF = AC . 2 5 Démontrer que D, E, F sont alignés. → → Méthode : On va calculer DE et DF en fonction des points A, B, C, D → → et chercher un réel k tel que DF = k DE . → J'ai vu E la première fois dans AE = → → → → DE = DA + AE = DA + D 3 → AB , E doit donc "être accompagné" de A. 2 C F 3 → AB. 2 A → J'ai vu F la première fois dans AF = B 3 → AC , E doit donc "être accompagné" de A.. 5 3 → AC . 5 → → → → → → Pour écrire DF = k DE , dans DF , il ne faudrait que→ des vecteurs DA et AB comme dans DE . → → comme ABCD est un parallélogramme, alors AC = AB + AD . → → 3 → → → 3 → 3 → → 3 → 3 → 2 → 3 → donc DF = DA + (AB + AD) = DA + AB + AD = DA – DA + AB = DA + AB 5 5 5 5 5 5 5 → → → → 3 → 3 → 2 Je vois que k DE = k (DA + AB ) = k DA + k x AB dans DF , il faut donc k = . 2 2 5 → 2 → 2 → 3 → 2 → 2 3 → 2 → 3 → → 2 → DE = (DA + AB ) = DA + x AB = DA + AB = DF donc DF = DE 5 5 2 5 5 2 5 5 5 → → Les vecteurs DF et DE sont colinéaires, les points D, E, F sont donc alignés. → → → → DF = DA + AF = DA + E → Remarque, j'aurais pu démontrer que DE = → 5 → 3 → DF , ou, mais c'est plus difficile EF = ED …… 2 5 8°) Exercice sur le centre de gravité. Soit un triangle ABC, G le centre de gravité d'un triangle ABC et A' est le milieu de [BC]. G est le centre de gravité du triangle, il est situé sur la médiane [AA'] et → → 2 2 → 1 → AG = AA' donc AG = AA' et A'G = A'A. 3 3 3 → → → → → A → A' → est le milieu de [BC] donc GB + GC = AA' + A'B + GA' +A'C = → → → 2 GA' + ( A'B + A'C) = 2 GA' → → → → → → → → donc GA + GB + GC = GA + ( GB + GC) = GA +2 GA'. → → → → 2 → 1 → or GA = A'A = 2 ( A'A) = 2 (A'G) = 2 A'G = - 2 GA'. 3 3 → → → → → → → → donc GA + GB + GC = GA +2 GA' = -2 GA' + 2 GA' = 0 → → → G B → Th : Si G est le centre de gravité du triangle ABC, alors GA + GB + GC = 0 9°) Exercice sur le théorème de Thalès. A' C
