LES VECTEURS DU PLAN. 1°) Vecteurs. Déf : Un vecteur est

LES VECTEURS DU PLAN.
1°) Vecteurs.
Déf : Un vecteur est déterminé par une direction, un sens et une longueur. Il caractérise une translation.
Déf : Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur, ils définissent la même
translation.
B
F G
→ u A D
C E H
→
u = → AB = → CD = → EF ≠ → GH
norme de → u = longueur de → u = || → u || = AB = CD = EF
Th : Deux vecteurs → AB et → CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
Th : Etant donné un point M du plan et un vecteur → u, il existe un point N unique tel que → MN = → u .
Le point N est l'image du point M par la translation de vecteur → u .
Déf : → AA = → BB = → CC = … = → 0 vecteur nul.
Le vecteur nul n'a ni direction ni sens.
Th : Un point I est le milieu d'un segment [AB] si et seulement si → AI = → IB .
A I B
2°) Addition des vecteurs.
a) Définition
déf : La somme de deux vecteurs → u et → v est le vecteur noté → u + → v défini par :
- on choisit un point A quelconque.
- on place le point B tel que → AB = → u .
- on place le point C tel que → BC = → v
- → u + → v = → AC.
C
→ v A B
→
u
Th : Relation de Chasles.
Quels que soient les points A, B, C : → AB + → BC = → AC.
Remarque : sur le dessin précédent AB + BC > AC, l'égalité n'a lieu que si B est sur le segment [AC], la relation de
Chasles est vraie pour les vecteurs, pas pour les longueurs.
C
A
D
B
si
→
AB
=
→
CD
, alors ABDC est un parallélogramme.
Si ABDC est un parallélogramme, alors → AB = → CD
→ AC = → BD
→ BA = → DC
→ CA = → DB

Somme de deux vecteurs et parallélogramme.
→
AC
→
AB
Règle : → AB + → AC = → AD, D étant le quatrième sommet du parallélogramme ABDC qui a comme côtés [AB] et [AC].
b)Propriétés de l'addition des vecteurs.
Th : → u + → v = → v + → u
on dit que l'addition des vecteurs est commutative. → u
→ AC = → u + → v = → v + → u. → v → v
→
u
→ w → w
→
v → v
→
u → u
(→ u + → v) + → w = → AC + → CD = → AD → u + (→ v + → w) = → u + (→ BC + → CD ) = → u + → BD
= → AB + → BD = → AD
Th quels que soient les vecteurs → u, → v, → w,
(→ u + → v) + → w = → u + (→ v + → w ) on écrira = → u + → v + → w . (on dit que l'addition est associative).
on pourra aussi écrire → u + ( → w + → v) ou (→ u + → w) + → v…..
Pour ajouter plusieurs vecteurs, on peut les regrouper comme on veut.
Th quel que soit le vecteur → u, → u + → 0 = → 0 + → u = → u.
On dit que le vecteur nul est neutre pour l'addition.
3°) Soustraction de deux vecteurs.
Déf : on appelle opposé d'un vecteur non nul → u, le vecteur noté –→ u
de même direction et de même longueur que → u
de sens contraire à celui de → u.
l'opposé du vecteur nul est le vecteur nul
exemple : → BA est l'opposé de → AB → BA = – → AB. A → u B
→
u + (- → u) = → AB + (- → AB) = → AB + → BA = → AA = → 0 .
Déf : On appelle différence de deux vecteurs → u et → v le vecteur noté → u – → v égal à → u + ( - → v).
Soustraire un vecteur → v, c'est ajouter son opposé.
→
x + → v = → u ⇔ → x + → v + ( - → v) = → u + (- → v)
⇔ → x = → u + ( - → v) = → u – → v.
Th : le vecteur → u – → v est la solution de l'équation → x + → v = → u , → u et → v vecteurs donnés.
exercice → AB – → CB =
→ AB – → AC =
→ CB – → AD + → AC =
→ OB – → OA =
Th : Pour tous points O, A, B → AB = → 0B - → OA
A
C
B
D
→
AB
+
→
AC
=
→
AD
donc par construction,
→
BD
=
→
AC
donc ABDC est un parallélogramme
A B
C
A
D
B
C
A
D
B
C

4°) Produit d'un vecteur par un réel.
→
u
→ u → u → u
A B C D
→
u
→
u → u
C B A
Déf : Soit un vecteur → u et un nombre réel k :
si → u = → 0 ou si k = 0, alors k → u = → 0
si → u et k ne sont pas nuls, → v = k → u est un vecteur qui a
- la même direction que → u
- le même sens si k est positif, le sens contraire si k est négatif
- pour longueur  k  x longueur de → u.
exercice
représenter 1 → u A .
représenter 2,5 → u C .
représenter ( -1) → u . E
représenter – 1
2 →
u . G
On démontre :
Th : Quels que soient les réels k et k', les vecteurs → u et → v,
1 → u = → u
0 → u = → 0
(-1) → u = - → u
( k + k') → u = k → u + k' → u
k ( k' → u) = (k k') → u
k (→ u + → v) = k → u + k → v
k → u = → 0 ⇔ ( k = 0 ou → u = → 0).
5°) Milieu d'un segment, centre de gravité d'un triangle.
Th : I est le milieu d'un segment [AB] si et seulement si
• → AI = → IB
• → IA = - → IB
• → IA + → IB = → 0
• → AB = 2 → AI ou → AI = 1
2 →
AB
Exercice à savoir refaire.
Soit I le milieu d'un segment [AB] et O un point quelconque. Démontrer que → OA + → OB = 2 → OI .
→
OA + → OB = ( → OI + → IA ) + (→ OI + → IB ) D
= → OI + → IA + → OI +→ IB
= → OI + → OI + ( → IA + → IB ) A I B
or I est le milieu de [AB] donc → IA et → IB sont opposés donc
(→ IA + → IB ) = → 0 donc → OA + → OB = 2 → OI ou → OI = 1
2 (→
OA + → OB) O
remarque OADB étant un parallélogramme, → OD = → OA + → OB = 2 → OI .
→
AC
=
→
AB
+
→
BC
=
→
u
+
→
u
on écrira 2
→
u
→
AC a la même direction que → u
→
AC a le même sens que → u
la longueur AC vaut deux fois celle de → u
De même, on écrira → AD = 3 → u.
→
AC
=
→
AB
+
→
BC
= (
-
→
u
) +(
-
→
u
) on écrira (
-
2)
→
u
→
AC a la même direction que → u
→
AC a le sens contraire de celui de → u
la longueur AC vaut deux fois celle de
→
u

Th : Les trois médianes d'un triangle ABC se coupent en un point G appelé centre de gravité du triangle.
A
C' G B'
B A' C
Th des milieux
Soit un triangle ABC, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC]. A
Alors → MN = 1
2 →
BC. M N
B C
6°) Colinéarité de deux vecteurs.
Déf : deux vecteurs non nuls sont colinéaires quand ils ont la même direction.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs ( tout vecteur est colinéaire au vecteur nul).
E F
A B
D C
→
AB, → CD, → EF sont colinéaires car les droites (AB), (CD), (EF) sont parallèles.
remarque :
AB = 3 EF, → AB et → EF ont le même sens donc → AB = 3 → EF ou → EF = 1
3 →
AB
CD = 4 EF, → CD et → EF n'ont pas le même sens donc → CD = – 4 → EF ou → EF = - 1
4 →
CD
→
AB = 3 → EF et → EF = - 1
4 →
CD donc → AB = 3 ( - 1
4 →
CD) = - 3
4 →
CD ou → CD = - 4
3 →
AB.
→
0 est colinéaire à → EF et → 0 = 0 → EF
Th : Deux vecteurs sont colinéaires si l'un d'eux est le produit de l'autre par un réel k.
A B A B
C D F E
→
AB = k → CD avec k = AB
CD →
AB = k → EF avec k = - AB
EF
et → CD = k' → AB avec k' = CD
AB et →
EF = k' → AB avec k' = – EF
AB
→
0 est colinéaire à tout vecteur → u car → 0 = 0 → u.
7°) Parallélisme et alignement.
Th : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si
les vecteurs → AB et → CD sont colinéaires
c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que → AB = k → CD.
Th : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si
les vecteurs → AB et → AC sont colinéaires(ou → AB et → BC , etc.)
c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que → AC = k → AB.
On a : → AG =
2
3 →
AA' ou → A'G =
1
3 →
AA'
→ BG = 2
3 →
BB' ou → B'G = 1
3 →
B'B
→ CG = 2
3 →
CC' ou → C'G = 1
3 →
C'C

exercice 1 : ABC est un triangle, I est le milieu de [AB] .
P est le point tel que → AP = → AB – 2 → AC.
Démontrer que les droites (AP) et (IC) sont parallèles.
exercice 2 : Soit deux points distincts A et B , M le point tel que 2 → MA + 3 → MB = → 0 .
Dessiner M et démontrer que A, M et B sont alignés.
A et B sont connus, M est inconnu et il intervient dans deux vecteurs → MA et → MB inconnus.
On va utiliser la relation de Chasles pour avoir seulement → MA : → MB = → MA + → AB.
On a donc 2 → MA + 3 ( → MA + → AB) = → 0
2 → MA + 3 → MA + 3→ AB = → 0
5 → MA + 3 → AB = → 0
5 → MA = - 3 → AB
→ MA = 1
5 ( -3 →
AB) = - 3
5 →
AB
→ AM = - (- 3
5 →
AB) = 3
5 →
AB
M est donc sur la droite (AB), A, M, B sont alignés.
Remarque : pour vérifier, il faudrait partir de M, ajouter 2 → MA et 3 → MB et obtenir le vecteur nul.
exercice 3 : Soit un parallélogramme ABCD, le point E tel que → AE = 3
2 →
AB et le point F tel que → AF = 3
5 →
AC.
Démontrer que D, E, F sont alignés.
Méthode : On va calculer → DE et → DF en fonction des points A, B, C, D
et chercher un réel k tel que → DF = k → DE.
J'ai vu E la première fois dans → AE = 3
2 →
AB, E doit donc "être accompagné" de A.
→ DE = → DA + → AE = → DA + 3
2 →
AB.
J'ai vu F la première fois dans → AF = 3
5 →
AC , E doit donc "être accompagné" de A..
→ DF = → DA + → AF = → DA + 3
5 →
AC.
Pour écrire → DF = k → DE, dans → DF, il ne faudrait que des vecteurs → DA et → AB comme dans → DE.
comme ABCD est un parallélogramme, alors → AC = → AB + → AD .
donc → DF = → DA + 3
5 (→
AB + → AD) = → DA + 3
5 →
AB + 3
5 →
AD = → DA – 3
5 →
DA + 3
5 →
AB = 2
5 →
DA + 3
5 →
AB
Je vois que k → DE = k ( → DA + 3
2 →
AB) = k → DA + k x 3
2 →
AB dans → DF, il faut donc k = 2
5.
2
5 →
DE = 2
5 (→
DA + 3
2 →
AB) = 2
5 →
DA + 2
5 x 3 2 →
AB = 2
5 →
DA + 3
5 →
AB = → DF donc → DF = 2
5 →
DE
Les vecteurs → DF et → DE sont colinéaires, les points D, E, F sont donc alignés.
C
B
A
P
I
On va compa
rer les vecteurs
→
CI
et
→
AP
.
→
AP = → AB – 2 → AC = → AB + 2(- → AC) = → AB + 2 → CA
Il faut écrire → CI sous forme de combinaison des
vecteurs → AB et → CA.
I est le milieu de [AB] donc → AI = 1
2 →
AB
donc → CI = → CA + → AI = → CA + 1
2 →
AB= 1
2 →
AB+→ CA
On a donc → AP = 2 → CI .
Les vecteurs → AP et → CI sont donc colinéaires,
les droites (AP) et (CI) sont donc parallèles.
A BM
A B
D C
E
F