Interférence de deux atomes Deux atomes

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STRUCTURE DE LA MOLÉCULE D’EAU
PAR DIFFRACTION D’ÉLECTRONS EN PHASE GAZEUSE
1- Interférence de deux atomes
Deux atomes, par exemple H et O se comportent comme deux trous d’Young
et diffractent les ondes électroniques de vecteur d’onde ~k = 2π
s0 .
λ~
S2
~s
~s0
S1
→
−
−−→
On pose V 12 = S1S2 . Pour calculer le retard de phase de 2 sur 1, on peut se
−−→
placer dans le plan défini par les vecteurs ~s0 et S1 S2 :
•
2
α
•
1
2π
2π −
→
d12 sin α =
~s0 V 12
λ
λ
→
−
de même, en se plaçant dans le plan défini par V 12 et ~s :
retard =
→
2π −
~s V 12
λ
→
−
L’avance de l’onde émise par 2 sur celle émise par 1 est donc de 2π
(~
s
−
~
s
)
V 12
0
λ
et l’amplitude de l’onde observée dans la direction définie par ~s vaut donc :
avance =
→
−
2π
i (~s − ~s0 ) V 12
ψ =1+e λ
1 struch2o
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2- Prise en compte de toutes les molécules d’une même orientation
Les molécules étant réparties dans l’espace d’une manière aléatoire, les ondes
émises par ces différentes molécules sont incohérentes entre-elles. Ce sont donc les
intensités qui s’ajoutent, pour des molécules qui ont toutes la même orientation :
→
−
2π
(~s − ~s0 ) V 12
ψréel = cos ωt + cos ωt +
λ
π
→ −
→ −
π
= 2 cos ωt + (~s − ~s0 ) V 12 cos
(~s − ~s0) V 12
λ
λ
Pour un atome diffractant seul, E0 ∝ < cos2 ωt >temps = 12 .
→ 2 π
−
→ −
π
2
2
I = ψ réel = 4 cos ωt + (~s − ~s0) V 12 cos
(~s − ~s0 ) V 12
λ
λ
−
→
→
−
2π
E ∝ < I >temps = 2 cos2
(~s − ~s0 ) V 12 = 1 + cos
(~s − ~s0 ) V 12
λ
λ
→
−
2π
E = 2 E0 1 + cos
(~s − ~s0 ) V 12
= E0 ψψ ∗
λ
π
3- Prise en compte de toutes les molécules
Calculons la valeur moyenne de l’intensité pour toutes les positions possibles
des molécules. On pose ~q = ~s − ~s0 et on prend les coordonnées sphériques où ~q
est porté par l’axe des z.
z
2
~s
θ
~q
d12
1
ϕ
y
α
~s0
x
k~qk = 2 sin α2 , α étant l’angle des deux vecteurs ~s et ~s0 .
dp =
1
sin θ dθ dϕ
4π
2/5
α
< cos k 2 sin d12 cos θ >=
2
= 2π
Z
−1
1
Z
2π
dϕ
0
π
Z
0
sin θ
α
cos k 2 sin d12 cos θ
dθ
2
4π
1
h
i1
α
α
dx
1
cos k 2 sin d12 x =
sin 2k sin d12 x
−
4π
2
2 2k sin α2 d12
2
−1
2 sin 2k sin α2 d12
=+
4 k sin α2 d12
=
sin
4π
α
λ sin 2 d12
4π
α
λ sin 2 d12
< E > ∝ 1 + sinC
= sinC
4π
α
sin d12
λ
2
4π
α
sin d12
λ
2
Les maxima secondaires d’intensité ont lieu pour :
π
4π
α
sin d12 = (4n + 1)
λ
2
2
n∈N n≥1
Avec une caméra de longueur L, les anneaux lumineux ont des rayons R ≪ L
qui vérifient donc :
4π R
π
d12 = (4n + 1)
λ 2L
2
d12 = (4n + 1)
λL
4R
4- Résultat pratique
On donne comme exemples de résultats ceux de l’article :
Electron-Diffraction Study of Water and Heavy Water Shuzo Shibata
and L.S. BARTELL
The Journal of Chemical Physics Received 20 July 1964
Les résultats pour l’intensité de la diffraction sont donnés en valeurs des paramètres q et s qui n’ont rien à voir avec les q et s précédents ci-dessus.
q =
10 s
π
avec : s = |s| = |k0 − k| = 2k0 sin
◦
α 4π
α
=
sin
2
λ
2
−1
s est mesuré en A .
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Le premier maximum de la figure de diffraction est tel que :
5π
π
2 = 25
d12 = 2 = πq
s
q
10
Voici ci-dessous la courbe de l’intensité réduite (en enlevant le signal de fond)
de la figure de diffraction obtenue :
5
L’animation Flash ci-dessous (cliquer pour activer et décimales avec .), permet
de trouver la valeur de q du premier maximum. Il faut taper la chiffre qu’on veut
là où il y a écrit o, jusqu’à repérer l’abscisse du maximum. On trouve q ≃ 25, 77,
ce qui donne pour la distance OH :
d12 =
◦
25
= 0, 97 A
25, 77
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Pour la distance HH, le signal est extrêmement faible, et on utilise la fonction
de distribution radiale qui est la sinus transformation de Fourier de l’intensité
de distribution moléculaire précédente Im(s) :
Z ∞
s Im (s) sin (s r) ds
D(r) =
0
On voit sur la figure ci-dessous tirée de l’article précédemment cité un léger pic
à droite du pic principal correspondant à la distance HH. Enfin, des distances
\
OH et HH, on peut en déduire l’angle HOH.
5- Informations sur les orbitales moléculaires
Non seulement la diffraction d’électrons en phase gazeuse permet d’avoir des
informations sur les positions relatives des différents atomes constituant la molécule, mais elle permet également d’avoir des informations sur la densité des
électrons dans les orbitales moléculaires.
Le théorème électostatique permet d’affirmer que le potentiel électrostatique
créé par les électrons assurant la liaison moléculaire est le même que celui créé
par une densité volumique de charge ρ égale à la charge de l’électron (-e) que
multiplie la probabilité de présence de l’électron donnée par la résolution de
l’équation de Schrödinger : ρ(x) = −e|ψ(x)|2. Ce théorème résulte du théorème de Hellman-Feynman.
Les électrons sont déviés et diffractés par ce potentiel électrostatique. La diffraction d’électrons de haute énergie à faibles angles permet donc de calculer
|ψ(x)|2 et de vérifier les résultats de la mécanique quantique. On remarque alors
que pour la molécule d’eau par exemple, les doublets libres de l’oxygène sont
bien en dehors du plan de la molécule. On constate que dans le plan de la molécule, les électrons liants sont moins entre H et O que l’on s’y attendrait, et
plutôt proches des atomes d’hydrogène.
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