leçon 4
Leçon 04 : Description Mathématique d’une expérience aléatoire : événements
élémentaires, événements, probabilité (on se limitera au cas où l’ensemble
d’éléments élémentaires est fini)
Pré requis : Langage ensembliste & Notion de dénombrement
I) Expérience aléatoire
Oral : Jeter un dé équilibré, tirer une carte, jeter une pièce en l’air et regarder si elle tombe sur pile ou face ; toutes
ces expériences sont telles que l’on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance : ce dernier est du au hasard.
Définition 1 : (i) Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon
certaine.
(ii) On appelle univers l’ensemble de toutes les issues (ou éventualités) possibles w d’une expérience
aléatoire.
Notation : On suppose ici que
est de cardinal fini n soit
=
Remarque : Une même expérience aléatoire peut conduire à différents univers.
Exemple (oral) : On lance une pièce deux fois de suite. On peut :
-soit s’intéresser aux résultats obtenus et
= {PF, FP, PP, FF}
-soit compter le nombre d’apparitions de « pile » et
’= {0, 1,2}
Définition 2 : On appelle (i) événement toute partie de
(ii) événement élémentaire, un événement réduit à une issue.
(iii) événement impossible : .
(iv) événement certain :
Exemple (oral) : On lance un dé. Soit
= {1, 2, 3, 4, 5,6} alors (i) « Obtenir un résultat pair »
(ii) « Obtenir un multiple de 2 et de 3 »
(ii) « Obtenir plus de 7 »
(iv) « Obtenir un nombre pair ou impair »
Définition 3 : (i) On dit qu’une issue w est favorable à un événement A si
(ii) Deux événements A et B sont dits incompatibles si AB=. Si, de plusils sont dits
contraires (ou complémentaires) et B est noté
.
Exemple (oral) : Pour un lancer de dé, les événements « Obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair »
sont contraires.
Terminologie :
Langage Ensembliste
Langage Probabiliste
Notation
Ensemble des Eventualités
Univers
Elément de Ω
Eventualité (ou issue)
Partie de Ω
Evénement
A
Singleton
Evénement élémentaire
{
Ensemble Vide
Evénement impossible
Complémentaire de A
Evénement contraire
Réunion de 2 parties
A ou B réalisé
AB
Intersection de 2 parties
A et B réalisé
AB
Parties disjointes
Evénements incompatibles
AB=
Inclusion
A implique B
AB
II) Probabilités
Notons P() l’ensemble des parties de Ω
2-1 Définition
Définition 4 : *Une probabilité P sur Ω est une application P : P() [0,1] tel que :
P()=1
Si A et B sont des événements incompatibles alors P(AB)=P(A) +P(B)
* A P(), P(A) est appelé probabilité de l’événement A.
* ( P(), P) est appelé probabilité de l’événement A.
Remarque (Oral) : Une probabilité donne une valeur numérique indiquant la chance qu’un événement se réalise.
Exemple : On lance une fléchette contre une cible jaune au centre, rouge à l’extérieur et noir entre ces deux
couleurs. On note la couleur obtenue ; on pose donc = {J, N, R}.
Alors l’application P tel que : P()=0, P ({J})=1/9, P ({N})=3/9, P ({R})=5/9
P ({J, R})=2/3, P ({N, J})=4/9, P ({N, R})=8/9 et P()=1
est une probabilité sur
2-2 Propriétés
Théorème 1 : Soit ( P(), P) un espace probabilisé. Alors :
1) P()=0
2) P(
3) Si sont n événements incompatibles 2 à 2 alors : P(
4) A, B P(), P(AB)=P(A) +P(B)-P(AB)
5) Si AB P() alors P(A) P(B)
Démonstration : 1) Ω=Ω
et Ω
=
alors P(Ω)=P(Ω) +P(
)
1=1+P(
)
P(
)=0.
2) Ω=A
et
=A
P(Ω)=P(A) +P (
P( .
3)Par récurrence sur n
4)A
B=(A\B)
(B\A)
(A
B) union disjointe
Or P(A)= P(A\B)+P(A
B)
P(B)=P(B\A)+P(A
B)
D’où P(A
B)=P(A)-P(A
B)+P(B)-P(A
B)+P(A
B)
5) B=(B\A)
A
P(B)=P(B\A)+P(A)
P(A)=P(B)-P(B\A)P(B)
Exercice : A et B sont deux événements d’une même expérience aléatoire tel que P(A)=0,3, P(AB)=0,7 et
P(AB)=0,2. Déterminer P(
.
Théorème 2 : Une application P : P() [0,1] est une probabilité sur si et seulement si
Démonstration :
Soit A
P(Ω) tel que A≠
P(A)=P(
. (Si A=Ω, on a 1) )
1) P(Ω)= P (
=1
2) Si A, B
P(Ω) tel que A
B=
alors
P(A
B)=
.
Définition 5 :*Définir une loi de probabilité P pour une expérience aléatoire, c’est associer à chaque issue
, un nombre tel que
.
*Modéliser une expérience aléatoire, c’est lui associer une loi de probabilité.
Exercice : Un dé est déséquilibré de sorte que la probabilité de sortie de chaque numéro est proportionnelle à celui-
ci. Donner la loi de probabilité ainsi définie sur = {1, 2, 3, 4, 5,6}.
2-3 Equiprobabilité
Définition 6 : On dit que la probabilité P est uniforme sur ou qu’il y a équiprobabilité si w, w’ P ({w})=P ({w’})
Exemple (Oral) : Lancer d’un dé équilibré.
Proposition 1 : Si P est uniforme sur , alors A P(), P(A)=
Démonstration : Soit A P(Ω) tel que card(A)=a≥1 ainsi A= {.
Alors A=
réunion disjointe
D’où P(A)=
.
Si A=, card(Ω)=n et puisque P(Ω)=1=n.P ({ d’où P ({ .
Exercice : Dans un jeu de 32 cartes, on tire 6 cartes.
Donner la probabilité d’obtenir 2 valets.
Correction : Soit A= « Obtenir 2 valets »
façons de tirer 6 cartes
manières différentes de choisir 2 valets
possiblilités pour les 4 dernières cartes
Alors P (A
.
2-4 Formule de Poincaré (dite du crible)
Théorème 3 : Soit (P(), P) un espace probabilisé et n événements de Alors :
où est l’ensemble des parties à k éléments de {1…n}.
Démonstration : voir TD 2 module 7
Application : On considère n boules et n tiroirs numérotés de 1 à n.
On dépose une boule dans chaque tiroir (on suppose équiprobabilité).
Quelle est la probabilité qu’aucun de ces tiroirs ne contienne une boule ayant le même numéro ?
Correction : voir TD 2 module 7
III) Applications
3-1 Problème posé à Galilée par le Prince de Toscane
Le Prince de Toscane demanda un jour à Galilée : « Pourquoi lorsqu’on jette trois dés, obtient-on le plus
souvent la somme 10 que la somme 9, bien que ces deux sommes soient toutes deux obtenues de six façons
différentes ? ».
Modéliser le problème, répondre à la question. Quelle erreur a commis le prince ?
3-2 Problème posé à Pascal au Chevalier de Méré
Quel est le plus probable : sortir au moins un 6 en lançant quatre fois un dé ou sortir au moins un double 6
en lançant vingt quatre fois deux dés ?
3-3 Anniversaires
On considère un groupe de n personnes. Déterminer la probabilité qu’au moins deux personnes fêtent leur
anniversaire en même temps. (On suppose que toutes les années comptent 365 jours)
Correction : On pose Ω= et P la probabilité uniforme sur P(Ω).
Notons A= « Au moins deux personnes fêtent leur anniversaire le même jour »
P(A)=1-P(=1-
=1-
Si n=23 on a P(A)≈0,5, on atteint même 0 ,99 pour n=57
1
/
3
100%
