leçon 4

Leçon
04 :
Description Mathématique d’une expérience aléatoire : événements
élémentaires, événements, probabilité (on se limitera au cas où l’ensemble
d’éléments élémentaires est fini)
Pré requis : Langage ensembliste & Notion de dénombrement
I) Expérience aléatoire
Oral : Jeter un dé équilibré, tirer une carte, jeter une pièce en l’air et regarder si elle tombe sur pile ou face ; toutes
ces expériences sont telles que l’on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance : ce dernier est du au hasard.
Définition 1 : (i) Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon
certaine.
(ii) On appelle univers Ω l’ensemble de toutes les issues (ou éventualités) possibles w d’une expérience
aléatoire.
Notation : On suppose ici que Ω est de cardinal fini n soit Ω={𝑤1 , … , 𝑤𝑛 }
Remarque : Une même expérience aléatoire peut conduire à différents univers.
Exemple (oral) : On lance une pièce deux fois de suite. On peut :
-soit s’intéresser aux résultats obtenus et Ω= {PF, FP, PP, FF}
-soit compter le nombre d’apparitions de « pile » et Ω’= {0, 1,2}
Définition 2 : On appelle (i) événement toute partie de Ω.
(ii) événement élémentaire, un événement réduit à une issue.
(iii) événement impossible : ∅.
(iv) événement certain : Ω
Exemple (oral) : On lance un dé. Soit Ω= {1, 2, 3, 4, 5,6} alors (i) « Obtenir un résultat pair »
(ii) « Obtenir un multiple de 2 et de 3 »
(ii) « Obtenir plus de 7 »
(iv) « Obtenir un nombre pair ou impair »
Définition 3 : (i) On dit qu’une issue w est favorable à un événement A si 𝑤 ∈ 𝐴
(ii) Deux événements A et B sont dits incompatibles si A∩B=∅. Si, de plus, A∪B=Ω, ils sont dits
̅.
contraires (ou complémentaires) et B est noté A
Exemple (oral) : Pour un lancer de dé, les événements « Obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair »
sont contraires.
Terminologie :
Langage Ensembliste
Ensemble des Eventualités
Elément de Ω
Partie de Ω
Singleton
Ensemble Vide
Complémentaire de A
Réunion de 2 parties
Intersection de 2 parties
Parties disjointes
Inclusion
Langage Probabiliste
Univers
Eventualité (ou issue)
Evénement
Evénement élémentaire
Evénement impossible
Evénement contraire
A ou B réalisé
A et B réalisé
Evénements incompatibles
A implique B
Notation
Ω
𝑤𝑖 ∈ Ω
A⊂ Ω
{𝑤𝑖 }⊂ Ω
∅
̅
A = Ω\A
A∪B
A∩B
A∩B=∅
A⊂B
II) Probabilités
Notons P(Ω) l’ensemble des parties de Ω
2-1 Définition
Définition 4 : *Une probabilité P sur Ω est une application P : P(Ω) ⟶ [0,1] tel que :
P(Ω)=1
Si A et B sont des événements incompatibles alors P(A∪B)=P(A) +P(B)
*∀ A ⊂ P(Ω), P(A) est appelé probabilité de l’événement A.
* (Ω, P(Ω), P) est appelé probabilité de l’événement A.
Remarque (Oral) : Une probabilité donne une valeur numérique indiquant la chance qu’un événement se réalise.
Exemple : On lance une fléchette contre une cible jaune au centre, rouge à l’extérieur et noir entre ces deux
couleurs. On note la couleur obtenue ; on pose donc Ω= {J, N, R}.
Alors l’application P tel que : P(∅)=0, P ({J})=1/9, P ({N})=3/9, P ({R})=5/9
P ({J, R})=2/3, P ({N, J})=4/9, P ({N, R})=8/9 et P(Ω)=1
est une probabilité sur Ω.
2-2 Propriétés
Théorème 1 : Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé. Alors :
1) P(∅)=0
̅ ) = 1 − P(A)
2) P(A
3) Si 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 sont n événements incompatibles 2 à 2 alors : P(⋃𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 )
4) ∀ A, B ∈ P(Ω), P(A∪B)=P(A) +P(B)-P(A∩B)
5) Si A⊆B⊆ P(Ω) alors P(A) ≤P(B)
Démonstration : 1) Ω=Ω∪∅ et Ω∩∅=∅ alors P(Ω)=P(Ω) +P(∅) ⟹1=1+P(∅) ⟹P(∅)=0.
2) Ω=A∪𝐴̅ et ∅=A∩𝐴̅ ⟹ P(Ω)=P(A) +P (𝐴̅) ⟹P(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴).
3)Par récurrence sur n
4)A∪B=(A\B) ∪ (B\A) ∪ (A∩B) union disjointe
Or P(A)= P(A\B)+P(A∩B)
P(B)=P(B\A)+P(A∩B)
D’où P(A∪B)=P(A)-P(A∩B)+P(B)-P(A∩B)+P(A∩B)
5) B=(B\A)∪A ⟹P(B)=P(B\A)+P(A) ⟹ P(A)=P(B)-P(B\A)≤P(B)∎
Exercice : A et B sont deux événements d’une même expérience aléatoire tel que P(A)=0,3, P(A∪B)=0,7 et
̅).
P(A∩B)=0,2. Déterminer P(B
Théorème 2 : Une application P : P(Ω) ⟶ [0,1] est une probabilité sur Ω si et seulement si
1) ∑𝑤∈Ω 𝑃({𝑤}) = 1
{
2) ∀ 𝐴 ⊆ P(Ω) tel que A ≠ ∅ P(A) = ∑w∈A P({w})
Démonstration : ⟹Soit A⊆ P(Ω) tel que A≠∅
P(A)=P(⋃𝑤∈𝐴{𝑤}) = ∑𝑤∈𝐴 𝑃({𝑤}). (Si A=Ω, on a 1) )
⟸ 1) P(Ω)= P (⋃𝑤∈𝛺{𝑤}) = ∑𝑤∈𝛺 𝑃({𝑤})=1
2) Si A, B⊆ P(Ω) tel que A∩B=∅ alors
P(A∪B)=∑𝑤∈𝐴∪𝐵 𝑃({𝑤}) = ∑𝑤∈𝐴 𝑃({𝑤}) + ∑𝑤∈𝐵 𝑃({𝑤}) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). ∎
Définition 5 :*Définir une loi de probabilité P pour une expérience aléatoire, c’est associer à chaque issue 𝑤𝑖 , 𝑖 ∈
{1 … 𝑛}, un nombre 𝑝𝑖 ∈ [0,1] tel que ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 = 1.
*Modéliser une expérience aléatoire, c’est lui associer une loi de probabilité.
Exercice : Un dé est déséquilibré de sorte que la probabilité de sortie de chaque numéro est proportionnelle à celuici. Donner la loi de probabilité ainsi définie sur Ω= {1, 2, 3, 4, 5,6}.
2-3 Equiprobabilité
Définition 6 : On dit que la probabilité P est uniforme sur Ω ou qu’il y a équiprobabilité si ∀w, w’∈Ω P ({w})=P ({w’})
Exemple (Oral) : Lancer d’un dé équilibré.
Proposition 1 : Si P est uniforme sur Ω, alors ∀ A ⊆ P(Ω), P(A)=
𝑐𝑎𝑟𝑑 𝐴
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
Démonstration : Soit A⊆ P(Ω) tel que card(A)=a≥1 ainsi A= {𝑤1 , … , 𝑤𝑎 }.
Alors A=⋃𝑎𝑖=1 𝑤𝑖 réunion disjointe
D’où P(A)=∑𝑎𝑖=1 𝑃({𝑤𝑖 }) = 𝑎. 𝑃({𝑤1 }).
Si A=𝛺, card(Ω)=n et puisque P(Ω)=1=n.P ({𝑤1 }) d’où P ({𝑤1 }) = 1/𝑛.∎
Exercice : Dans un jeu de 32 cartes, on tire 6 cartes.
Donner la probabilité d’obtenir 2 valets.
Correction : Soit A= « Obtenir 2 valets »
(32
) = 906192 façons de tirer 6 cartes
6
4
(2) = 6 manières différentes de choisir 2 valets
(28
) = 20475 possiblilités pour les 4 dernières cartes
4
Alors P (A) =
6∗20475
906192
≈ 0,136.
2-4 Formule de Poincaré (dite du crible)
Théorème 3 : Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé et 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 n événements de Ω. Alors :
𝑛
𝑃(⋃
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖 ) = ∑((−1)𝑘+1 ∑ 𝑃(⋂ 𝐴𝑖 ))
𝑘=1
𝐼∈𝑃𝑘 (𝑛)
𝑖∈𝐼
où 𝑃𝑘 (𝑛) est l’ensemble des parties à k éléments de {1…n}.
Démonstration : voir TD 2 module 7
Application : On considère n boules et n tiroirs numérotés de 1 à n.
On dépose une boule dans chaque tiroir (on suppose équiprobabilité).
Quelle est la probabilité qu’aucun de ces tiroirs ne contienne une boule ayant le même numéro ?
Correction : voir TD 2 module 7
III) Applications
3-1 Problème posé à Galilée par le Prince de Toscane
Le Prince de Toscane demanda un jour à Galilée : « Pourquoi lorsqu’on jette trois dés, obtient-on le plus
souvent la somme 10 que la somme 9, bien que ces deux sommes soient toutes deux obtenues de six façons
différentes ? ».
Modéliser le problème, répondre à la question. Quelle erreur a commis le prince ?
3-2 Problème posé à Pascal au Chevalier de Méré
Quel est le plus probable : sortir au moins un 6 en lançant quatre fois un dé ou sortir au moins un double 6
en lançant vingt quatre fois deux dés ?
3-3 Anniversaires
On considère un groupe de n personnes. Déterminer la probabilité qu’au moins deux personnes fêtent leur
anniversaire en même temps. (On suppose que toutes les années comptent 365 jours)
Correction : On pose Ω=⟦1,365⟧𝑛 et P la probabilité uniforme sur P(Ω).
Notons A= « Au moins deux personnes fêtent leur anniversaire le même jour »
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴̅)
𝐴𝑛
P(A)=1-P(𝐴̅)=1=1- 365𝑛
𝑐𝑎𝑟𝑑 𝛺
365
Si n=23 on a P(A)≈0,5, on atteint même 0 ,99 pour n=57