Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

Fonction génératrice, par Jean – Paul Tsasa et Marina Mavungu
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One pager
Décembre 2012
Vol. 4 – Num. 010
Copyright © Laréq 2012
Fonction Génératrice des MoMents d’une Variable Aléatoire
Analyse Conjointe des Cas Univarié, Bivarié et Multivarié
Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu1 & Marina Mavungu Ngoma2
Les grands esprits ont toujours rencontré une opposition
farouche des esprits médiocres.
Albert Einstein
Résumé
Ce papier répond à la question de savoir comment passer d’une fonction caractéristique à la
fonction génératrice des moments afin d’extraire plus aisément les moments associés à la
distribution des probabilités d’une ou de plusieurs variables aléatoires. Le développement
proposé est illustré en considérant succinctement et respectivement les cas univarié, bivarié et
multivarié de la loi gaussienne.
Mot – clé : Fonction génératrice des moments.
Abstract
This paper focuses on the calculation of moments of a random variable from the moment generating
function. To illustrate Mathematical formula applications, we consider a Gaussian distribution
univariate, bivariate and multivariate.
Introduction
Est – il possible de dériver tous les moments d’une variable aléatoire partant d’une fonction unique ? La
réponse à cette question constitue l’essence du présent papier. Il convient de noter que l’analyse de
moments occupe une place de choix dans toute étude économétrique (Tsasa, mai-2012 ; Tombola, juin2012), car facilitant, notamment, l’appréhension des propriétés que possède une variable aléatoire
(analyse exploratoire).
Au – delà de cette providence, les moments d’une variable aléatoire éclairent la démarche du
modélisateur, notamment dans la détermination de l’approche à privilégier (paramétrique ou non). Aussi,
il convient de relever que dans ses interventions, il est des fois où
implicitement
(
que
les
moments
d’une
variables
le modélisateur suppose
aléatoire
sont
identiques
). Mais hélas cela devient plus dangereux notamment dans le
traitement des variables aléatoires, telles que financières ou plus généralement des variables
caractérisées par des trajectoires volatiles et erratiques ou ayant des distributions dont les queues sont
épaisses. Ainsi, pour minimiser les incidences dans l’analyse de telles variables, le modélisateur est
conduit des fois à générer tous les moments de la variable avant de procéder à son étude.
1
2
Ph.D. candidate (sciences économiques) à l’Université de Montréal et Chercheur au Laboratoire d’Analyse –
Recherche en Economie Quantitative [LAREQ]. Mail : [email protected].
Licence 2 Economie Mathématique/Université Protestante au Congo et Aspirante chercheure au Laboratoire d’Analyse
– Recherche en Economie Quantitative [LAREQ]. Mail : [email protected].
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A cet effet, le travail apparaîtrait plus fastidieux s’il n’existait pas un support idoine pour réaliser une
telle application. Heureusement, qu’il en existe un. Ainsi, dans pareil cas, on recourt généralement à la
fonction génératrice des moments. Cet argument constitue l’objet du présent papier.
A l’effet de décrire la fonction en cause, nous procédons comme suit. Nous présentons dans une
première section la fonction génératrice des moments, après un bref aperçu de la fonction
caractéristique. Nous étudions le cas univarié, avant de généraliser l’analyse au cas de vecteur aléatoire.
Afin d’illustrer notre exposé, nous considérons, dans une deuxième section, un exemple générique de la
dérivation des moments à partir de la fonction génératrice des moments. Les lois gaussiennes univariée,
bivariée, puis multivariée serviront de support d’analyse illustratif.
Fonction caractéristique et Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique
Comme l’indique son appellation, la fonction caractéristique, notée
d’une variable aléatoire
Sur
ou d’un vecteur aléatoires,
la fonction génératrice d’une variable aléatoire
Nous verrons plus loin qu’il suffit de remplacer
génératrice des moment d’une variable aléatoire
Pour toute variable aléatoire
caractérise la loi ou la distribution
:
s’écrit :
par
dans la relation (2) pour définir la fonction
.
possédant une densité, notée
la fonction caractéristique est définie par
la transformée de Fourier inverse de la densité. En effet, l’opération de la transformée de Fourier inverse,
appliquée à la transformée de Fourier de
,
permet de dériver
en se servant des
données fréquentielles :
En se ramenant à la définition fréquentielle, avec le temps
Considérons, à présent, un vecteur aléatoire
à valeurs
et la fréquence , il vient :
la fonction caractéristique dans ce cas est
définie par l’expression :
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Le tableau 1 regroupe les fonctions caractéristiques associées aux distributions couramment utilisées.
Tableau 1 : Fonction caractéristique
Distribution
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Fonction caractéristique
Poisson
Uniforme
Exponentielle
Cauchy
Gaussienne
En considérant la variable aléatoire normale standard
il y a lieu d’écrire :
En développant l’expression
il
vient :
et après réaménagement, il s’ensuit que :
Sachant que
il suffit dès lors de résoudre la différentielle
pour
trouver :
Il existe une relation entre les moments et la fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Pour le cas
discret, si les moments de la variable en cause existent et que la série considérée converge, on a :
Fonction génératrice des moments d’une variable aléatoire
La fonction génératrice des moments de la variable aléatoire X, est la fonction
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définie par :
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Elle est donc une dérivée de la fonction de densité (loi) de probabilité, obtenue par le calcul de
l’espérance de la variable aléatoire
une fonction
où t est un paramètre. L’opération fonctionnelle associant à
à la fonction
est appelée transformée de Laplace.
Ainsi définie, la fonction génératrice des moments permet de générer les moments d’une distribution de
probabilité.
Subséquemment, si l’espérance de la variable aléatoire existe, alors la fonction génératrice des moments
existe aussi. Cependant, l’absence de certains moments implique la non existence de la Fonction
génératrice des moments (par exemple, la loi
de Student n’a pas de moments au – delà du moment
d’ordre n – 1 ; d’où la nécessité du recours à la fonction caractéristique). Par ailleurs, la dérivation de la
Fonction génératrice conduisant à une valeur infinie, en dépit l’existence de tous les moments d’une loi,
implique la non existence de la fonction génératrice des moments (par exemple, c’est le cas de la loi lognormale).
L’emploi des relations du système (8) permet de générer plus aisément les moments d’une distribution.
Ainsi, le nème moment de la variable aléatoire X sera donné par la nème dérivée de la fonction génératrice
évaluée en t=0.
Considérons :
La permutation entre les opérateurs de dérivation et d’espérance mathématique étant légitime, on
obtient :
En exécutant la même opération au système (8), on a :
Pour t = 0, on obtient le moment d’ordre 1 :
De même,
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Ainsi, l’expression générale de la
de la fonction
peut donc s’écrire :
En évaluant l’expression (14) à t = 0, on obtient :
Le tableau 2 donne la fonction génératrice des moments de quelques distributions courantes.
Tableau 2 : Fonction génératrice des moments
Distribution
Binomiale
Géométrique
Fonction caractéristique
Poisson
Uniforme
Exponentielle
Gamma
Gaussienne
Notons, avant de procéder à l’analyse du cas multivarié, que si une fonction génératrice des moments
d’une variable aléatoire quelconque
la distribution de
et ses dérivées existent et sont finies dans un voisinage de 0,
est dès lors entièrement déterminée par ces fonctions.
Fonction génératrice des moments d’un vecteur aléatoire
Considérons une expérience aléatoire dans un espace d’échantillonnage
telles que, pour chaque élément
de l’espace
numérique réelle
on obtient l’espace
En ramenant le vecteur aléatoire
variables aléatoires
on enregistre une et une seule valeur
En notant par
de
avec
le vecteur aléatoire défini par
avec :
à une longueur
et en posant
et
l’espérance mathématique de l’expression mathématique de l’expression
tel que
existe toujours,
on définit la fonction génératrice des moments du vecteur aléatoire, notée
comme suit :
Notons que les fonctions génératrices des moments des variables aléatoires
et
respectivement, par le calcul de
et
Ainsi, les variables aléatoires
se dérivent,
et
sont
mutuellement indépendantes si et seulement si :
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Partant du cas bivarié, l’extension de la définition de la fonction génératrice des moments vers le cas
multivarié apparait plus intuitive :
En notation vectorielle, on obtient :
Si les variables
sont mutuellement indépendantes et identiquement distribuées (
), la
fonction génératrice des moments devient :
Précisons, par ailleurs, que lorsque le vecteur aléatoire comprend des variables aléatoires qui sont
mutuellement indépendantes mais n’ayant pas une même distribution, l’expression de la fonction
génératrice des moments s’écrit :
Une fois la fonction génératrice spécifiée, il devient plus aisé de calculer les moments d'une loi.
Dérivation des moments : Cas d’une distribution gaussienne
Pour illustrer la dérivation des moments à partir d’une fonction génératrice des moments, nous
distinguons deux cas, un cas univarié et un cas multivarié. Nous considérons dans les deux cas une
distribution normale centrée – réduite. Nous montrerons également le passage vers le cas d’une variable
normale quelconque.
Soit
une variable aléatoire normalement distribuée de moyenne nulle et de variance unitaire. Sa
fonction de densité s’écrit :
Pour
la fonction génératrice des moments de la variable
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est donnée par l’expression suivante :
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Puisque par identité, on vérifie toujours :
on obtient ainsi :
Par définition :
ainsi, on a :
Les moments d’ordre 1, 2, 3 et 4 de la variable gaussienne
de l’expression
correspondent aux dérivations respectives
évaluées pour chaque ordre à
Ainsi, on calcule, partant de l’expression de la fonction génératrice des moments, les quatre moments
remarquables3 d’une variable gaussienne standard :
-
le moment d’ordre 1 de la variable gaussienne centrée - réduite
qui correspond exactement à
sa moyenne arithmétique (espérance mathématique) :
-
le moment d’ordre 2 (variance de la variable) :
-
le moment d’ordre 3 (coefficient d’asymétrie) :
-
le moment d’ordre 4 (coefficient d’aplatissement non normalisé) :
Notons, au passage que lorsque l’ordre est impair, le moment correspondant est nul.
3
Parallèlement aux moments remarquables, on distingue, par ailleurs, les moments centrés et les moments centrés –
réduits.
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Dérivons à présent la fonction génératrice des moments de la variable quelconque
et de distribution normale bi – paramétrique
définie par
Dès lors, on écrit :
Après réaménagement, l’expression (21) devient :
Ainsi, par exemple, pour les moments d’ordre 1 et 2, on a :
Et pour
Du moment d’ordre 2 de la variable
on obtient ainsi le théorème de König – Huygens.
La même analyse se généralise facilement lorsqu’on considère le cas d’un vecteur aléatoire gaussien
standard, noté,
avec
variables aléatoires. En transposant l’expression générique de la
fonction génératrice des moments et la forme fonctionnelle de la densité de probabilité, il vient :
la fonction génératrice des moments du vecteur aléatoire
s’écrit :
En notation vectorielle, on note donc :
In fine, remarquons qu’il est également possible, partant du vecteur aléatoire gaussien centré - réduit
de dériver la fonction génératrice des moments du vecteur aléatoire gaussien standard
. Il faudra, donc,
procéder à une décomposition spectrale d’une matrice carrée, symétrique et semi – définie positive et à
la spécification de la forme fonctionnelle de la densité de probabilité du vecteur
. L’illustration de cette
démarche sera explicitée dans un papier ultérieur.
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Bibliographie

AIGNER Martin et Günter M. ZIEGLER, 1998, Raisonnements Divins : Quelques Démonstrations
Mathématiques Particulièrement Elégantes, 2ième édition Springer, Berlin, 270p.

ARNOLD Steven F, 1981, The Theory of Linear Models and Multivariate Analysis, New York: John
Wiley and Sons Inc, 494p.

FOATA Dominique, Jacques FRANCHI et Aimé FUCHS, 2010, Calcul des Probabilités : Cours,
Exercices et Problèmes Corrigés, 3ième édition Dunod, Paris, 347p.

HOGG Robert V., Joseph W. McKEAN and Allen T. CRAIG, 2013, Introduction to Mathematical
Statistics, 7th edition, Pearson, Montreal, 694p.

KENDALL, Maurice G. and Alan STUART, 1979 (1958), The Advanced Theory of Statistics, Vol. 2
(vol. 1), New – York, Macmillan, 748p (433p).

MICHEL Christian, Probabilités, Université Louis Pasteur Strasbourg, Département informatique,
84p.

ROSS Sheldon M., 2009, Introduction aux Probabilités, Traduction de la septième édition
américaine, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 592p.

RUDIN Walter, 1976, Principles of Mathematical Analysis, 3th edition, McGraw – Hill, New – York,
342p.

TOMBOLA Cédrick, (juin) 2012, Économétrie 1 : Rappels et recueils d’exercices (suite), Guide Laréq
pour étudiant, GLEN 010, 109p.

TSASA Jean – Paul, (mai) 2012, "Dérivation de la Règle d’or d’Estimation : un regard plus attentif
sur les points focaux de la méthode des moindres carrés linéaires", One Pager Laréq, vol. 2, num.
004, 22 – 28.
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