Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

Jean – Paul Tsasa & Marina Mavungu
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
62
Fonction génératrice, par Jean – Paul Tsasa et Marina Mavungu
Laboratoire d’ Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One pager
Décembre 2012
Vol. 4 – Num. 010
Copyright © Laréq 2012
Fonction Génératrice des MoMents d’une Variable Aléatoire
Analyse Conjointe des Cas Univarié, Bivarié et Multivarié
Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu1 & Marina Mavungu Ngoma2
Les grands esprits ont toujours rencontré une opposition
farouche des esprits médiocres.
Albert Einstein
Résumé
Ce papier répond à la question de savoir comment passer d’une fonction caractéristique à la
fonction génératrice des moments afin d’extraire plus aisément les moments associés à la
distribution des probabilités d’une ou de plusieurs variables aléatoires. Le développement
proposé est illustré en considérant succinctement et respectivement les cas univarié, bivarié et
multivarié de la loi gaussienne.
Mot – clé : Fonction génératrice des moments.
Abstract
This paper focuses on the calculation of moments of a random variable from the moment generating
function. To illustrate Mathematical formula applications, we consider a Gaussian distribution
univariate, bivariate and multivariate.
Introduction
Est – il possible de dériver tous les moments d’une variable aléatoire partant d’une fonction unique ? La
réponse à cette question constitue l’essence du présent papier. Il convient de noter que l’analyse de
moments occupe une place de choix dans toute étude économétrique (Tsasa, mai-2012 ; Tombola, juin-
2012), car facilitant, notamment, l’appréhension des propriétés que possède une variable aléatoire
(analyse exploratoire).
Au – delà de cette providence, les moments d’une variable aléatoire éclairent la démarche du
modélisateur, notamment dans la détermination de l’approche à privilégier (paramétrique ou non). Aussi,
il convient de relever que dans ses interventions, il est des fois où le modélisateur suppose
implicitement que les moments d’une variables aléatoire sont identiques
(). Mais hélas cela devient plus dangereux notamment dans le
traitement des variables aléatoires, telles que financières ou plus généralement des variables
caractérisées par des trajectoires volatiles et erratiques ou ayant des distributions dont les queues sont
épaisses. Ainsi, pour minimiser les incidences dans l’analyse de telles variables, le modélisateur est
conduit des fois à générer tous les moments de la variable avant de procéder à son étude.
1 Ph.D. candidate (sciences économiques) à l’Université de Montréal et Chercheur au Laboratoire d’Analyse –
Recherche en Economie Quantitative [LAREQ]. Mail : [e-mail].
2 Licence 2 Economie Mathématique/Université Protestante au Congo et Aspirante chercheure au Laboratoire d’Analyse
– Recherche en Economie Quantitative [LAREQ]. Mail : [e-mail].

Jean – Paul Tsasa & Marina Mavungu
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
63
A cet effet, le travail apparaîtrait plus fastidieux s’il n’existait pas un support idoine pour réaliser une
telle application. Heureusement, qu’il en existe un. Ainsi, dans pareil cas, on recourt généralement à la
fonction génératrice des moments. Cet argument constitue l’objet du présent papier.
A l’effet de décrire la fonction en cause, nous procédons comme suit. Nous présentons dans une
première section la fonction génératrice des moments, après un bref aperçu de la fonction
caractéristique. Nous étudions le cas univarié, avant de généraliser l’analyse au cas de vecteur aléatoire.
Afin d’illustrer notre exposé, nous considérons, dans une deuxième section, un exemple générique de la
dérivation des moments à partir de la fonction génératrice des moments. Les lois gaussiennes univariée,
bivariée, puis multivariée serviront de support d’analyse illustratif.
Fonction caractéristique et Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique
Comme l’indique son appellation, la fonction caractéristique, notée  caractérise la loi ou la distribution
d’une variable aléatoire  ou d’un vecteur aléatoires,  :
Sur  la fonction génératrice d’une variable aléatoire  s’écrit :
Nous verrons plus loin qu’il suffit de remplacer  par  dans la relation (2) pour définir la fonction
génératrice des moment d’une variable aléatoire .
Pour toute variable aléatoire  possédant une densité, notée  la fonction caractéristique est définie par
la transformée de Fourier inverse de la densité. En effet, l’opération de la transformée de Fourier inverse,
 appliquée à la transformée de Fourier de ,  permet de dériver  en se servant des
données fréquentielles :
En se ramenant à la définition fréquentielle, avec le temps  et la fréquence , il vient :
Considérons, à présent, un vecteur aléatoire  à valeurs  la fonction caractéristique dans ce cas est
définie par l’expression :

Jean – Paul Tsasa & Marina Mavungu
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
64
Le tableau 1 regroupe les fonctions caractéristiques associées aux distributions couramment utilisées.
Tableau 1 : Fonction caractéristique
Distribution
Fonction caractéristique
Bernoulli 
Binomiale 
Géométrique 
Poisson 
Uniforme 
Exponentielle 
Cauchy 
Gaussienne 
En considérant la variable aléatoire normale standard 
 il y a lieu d’écrire : 
 En développant l’expression  il
vient :
et après réaménagement, il s’ensuit que :
Sachant que  il suffit dès lors de résoudre la différentielle 
 pour
trouver :
Il existe une relation entre les moments et la fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Pour le cas
discret, si les moments de la variable en cause existent et que la série considérée converge, on a :
Fonction génératrice des moments d’une variable aléatoire
La fonction génératrice des moments de la variable aléatoire X, est la fonction  définie par :

Jean – Paul Tsasa & Marina Mavungu
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
65
Elle est donc une dérivée de la fonction de densité (loi) de probabilité, obtenue par le calcul de
l’espérance de la variable aléatoire  où t est un paramètre. L’opération fonctionnelle associant à
une fonction  à la fonction 
 est appelée transformée de Laplace.
Ainsi définie, la fonction génératrice des moments permet de générer les moments d’une distribution de
probabilité.
Subséquemment, si l’espérance de la variable aléatoire existe, alors la fonction génératrice des moments
existe aussi. Cependant, l’absence de certains moments implique la non existence de la Fonction
génératrice des moments (par exemple, la loi  de Student n’a pas de moments au – delà du moment
d’ordre n – 1 ; d’où la nécessité du recours à la fonction caractéristique). Par ailleurs, la dérivation de la
Fonction génératrice conduisant à une valeur infinie, en dépit l’existence de tous les moments d’une loi,
implique la non existence de la fonction génératrice des moments (par exemple, c’est le cas de la loi log-
normale).
L’emploi des relations du système (8) permet de générer plus aisément les moments d’une distribution.
Ainsi, le nème moment de la variable aléatoire X sera donné par la nème dérivée de la fonction génératrice
évaluée en t=0.
Considérons : 
La permutation entre les opérateurs de dérivation et d’espérance mathématique étant légitime, on
obtient :
En exécutant la même opération au système (8), on a :
Pour t = 0, on obtient le moment d’ordre 1 :
De même,

Jean – Paul Tsasa & Marina Mavungu
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
66
Ainsi, l’expression générale de la  de la fonction  peut donc s’écrire :
En évaluant l’expression (14) à t = 0, on obtient :
Le tableau 2 donne la fonction génératrice des moments de quelques distributions courantes.
Tableau 2 : Fonction génératrice des moments
Distribution
Fonction caractéristique
Binomiale 
Géométrique 
Poisson 
Uniforme 
Exponentielle 
Gamma 
Gaussienne 
Notons, avant de procéder à l’analyse du cas multivarié, que si une fonction génératrice des moments
 d’une variable aléatoire quelconque  et ses dérivées existent et sont finies dans un voisinage de 0,
la distribution de  est dès lors entièrement déterminée par ces fonctions.
Fonction génératrice des moments d’un vecteur aléatoire
Considérons une expérience aléatoire dans un espace d’échantillonnage  avec  variables aléatoires
 telles que, pour chaque élément  de l’espace  on enregistre une et une seule valeur
numérique réelle  En notant par  le vecteur aléatoire défini par
 on obtient l’espace  de  avec :
En ramenant le vecteur aléatoire  à une longueur  et en posant  et  tel que
l’espérance mathématique de l’expression mathématique de l’expression  existe toujours,
on définit la fonction génératrice des moments du vecteur aléatoire, notée  comme suit :
Notons que les fonctions génératrices des moments des variables aléatoires  et  se dérivent,
respectivement, par le calcul de  et  Ainsi, les variables aléatoires  et  sont
mutuellement indépendantes si et seulement si :