Trigonométrie I Fonctions circulaires

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Trigonométrie
I Fonctions circulaires
1 Premières propriétés
sin xcos xtan xcotan x
Ensemble de
définition R R R r nπ
2+kπ 
k∈ZoR r πZ
Période 2π2π π π
Parité impaire paire impaire impaire
f(π−x)sin x−cos x−tan x−cotan x
f(π+x)−sin x−cos xtan xcotan x
fπ
2−xcos xsin xcotan xtan x
fπ
2+xcos x−sin x−cotan x−tan x
Ensemble de
dérivabilité R R R r nπ
2+kπ 
k∈ZoR r πZ
Dérivée cos x−sin x1 + tan2x=1
cos2x
−1−cotan 2x
=−1
sin2x
2 Valeurs remarquables
π
2
π
6
π
4
π
3
1
2
1
20
π
2
0
tan x
cos x
cotan x
sin x

2Trigonométrie
x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin x0√1
2
√2
2
√3
21
cos x1√3
2
√2
2
√1
20
tan x01
√31√3indéfini
cotan xindéfini √3 1 1
√30
II Fonctions réciproques des fonctions circulaires
1 Définition
La périodicité et la parité des fonctions sinus et cosinus introduisent une ambiguïté
dans la définition de leurs fonctions réciproques. Par exemple, les trois nombres π/6,
5π/6et π/6 + 4πont tous la même image par sinus. Pour s’en sortir, on définit deux
notations : arcsin xdésigne n’importe quel nombre dont l’image par sinus est x(ce
n’est pas une fonction), et Arcsin xdésigne l’unique nombre compris entre −π/2et
+π/2dont l’image par sinus vaut x(Arcsin est une fonction). On a donc les relations
suivantes :
x= sin y⇐⇒ y= Arcsin xsi y∈h−π
2;π 2i
⇐⇒ y=arcsin x= Arcsin x+2kπ
ou π−Arcsin x+2kπ
x= cos y⇐⇒ y= Arccos xsi y∈[0;π]
⇐⇒ y=arccos x= Arccos x+2kπ
ou −Arccos x+2kπ
x= tan y⇐⇒ y= Arctan xsi y∈i−π
2;π 2h
⇐⇒ y=arctan x= Arctan x+kπ
x= cotan y⇐⇒ y=Arccot xsi y∈]0;π[
⇐⇒ y=arccot x=Arccot x+kπ

Trigonométrie 3
2 Propriétés
Arcsin xArccos xArctan xArccot x
Ensemble de
définition [−1 ; 1 ] [ −1 ; 1 ] R R
Période aucune aucune aucune aucune
Parité impaire aucune impaire aucune
Ensemble de
dérivabilité ]−1 ; 1 [ ] −1 ; 1 [ R R
Dérivée 1
√1−x2−1 √1−x2
1
1 + x2−1 1 + x2
3 Relations
Arccos x+ Arcsin x=π
2
Arctan x+ Arctan y= Arctan x+y
1−xy +επ
avec ε=
0si xy < 1
1si xy > 1et x , y >0
−1si xy > 1et x , y 60
Arctan x+ Arccot x=π
2
Arccot x=
Arctan 1
xsi x > 0
π+ Arctan 1
xsi x < 0
Arctan x+ Arctan 1
x=sign(x)×π 2
III Formules
1 Corollaires du théorème de Pythagore
cos2x+ sin2x= 1
cos2x=1
1 + tan2x
sin2x=1
1 + cot2x=tan2x 1 + tan2x

4Trigonométrie
2 Addition des arcs
cos(a+b) = cos acos b−sin asin bcos p+ cos q= 2 cos p+q
2cos p−q 2
sin(a+b) = sin acos b+ sin bcos asin p+ sin q= 2 sin p+q
2cos p−q 2
tan(a+b) = tan a+ tan b
1−tan atan btan p+ tan q=sin(p+q) cos pcos q
cos(a−b) = cos acos b+ sin asin bsin p−sin q= 2 sin p−q
2cos p+q 2
sin(a−b) = sin acos b−sin bcos acos p−cos q=−2 sin p+q
2sin p−q 2
tan(a−b) = tan a−tan b
1 + tan atan btan p−tan q=sin(p−q) cos pcos q
3 Arc double, arc moitié
cos 2x= cos2x−sin2x
= 2 cos2x−1
= 1 −2 sin2x
sin 2x= 2 sin xcos x
tan 2x=2 tan x
1−tan2x
cos2x=1 + cos 2x
2
sin2x=1−cos 2x
2
tan x=sin 2x
1 + cos 2x=1−cos 2x sin 2x
En notant t= tan x
2, on a : cos x=1−t2 1 + t2et sin x=2t 1 + t2.
Ces formules servent dans les règles de Bioche.
4 Formule de Moivre
(cos a+ i sin a)n= cos na + i sin na
d’où cos 3a= cos3a−3 cos asin2a= 4 cos3a−3 cos a
sin 3a= 3 cos2asin a−sin3a= 3 sin a−4 sin3a
tan 3a=3 tan a−tan3a
1−3 tan2a
5 Arcs en progression arithmétique
n
P
k=0
sin kx =
sin nx
2sin (n+ 1)x 2
sin x
2
n
P
k=0
cos kx =
cos nx
2sin (n+ 1)x 2
sin x
2

Trigonométrie 5
IV Trigonométrie hyperbolique
ch 2x−sh 2x= 1
ch (a+b) = ch ach b+ sh ash bch p+ ch q= 2 ch p+q
2ch p−q 2
sh (a+b) = sh ach b+ sh bch ash p+ sh q= 2 sh p+q
2ch p−q 2
th (a+b) = th a+ th b
1 + th ath bth p+ th q=sh (p+q) ch pch q
ch (a−b) = ch ach b−sh ash bch p−ch q= 2 sh p+q
2sh p−q 2
sh (a−b) = sh ach b−sh bch ash p−sh q= 2 sh p−q
2ch p+q 2
th (a−b) = th a−th b
1−th ath bth p−th q=sh (p−q) ch pch q
ch 2x= ch 2x+ sh 2x
= 2 ch 2x−1 ch 2x=ch 2x+ 1
2
= 1 + 2 sh 2x
sh 2x= 2 sh xch xsh 2x=ch 2x−1
2
th 2x=2 th x
1 + th 2xth x=sh 2x
ch 2x+ 1 =ch 2x−1 sh 2x
En posant t= th x
2, on a ch x=1 + t2 1−t2et sh x=2t 1−t2.
(ch a+ sh a)n= ch na + sh na
d’où ch 3a= ch 3a+ 3 ch ash 2a= 4 ch 3a−3 ch a
sh 3a= 3 ch 2ash a+ sh 3a= 4 sh 3a+ 3 sh a
th 3a=3 th a+ th 3a
1 + 3 th 2a