Trigonométrie I Fonctions circulaires

1
Trigonométrie
I
Fonctions circulaires
1
Premières propriétés
sin x
cos x
Ensemble de
définition
R
R
Période
2π
2π
π
π
impaire
paire
impaire
impaire
sin x
− cos x
− tan x
− cotan x
− sin x
− cos x
tan x
cotan x
cos x
sin x
cotan x
tan x
cos x
− sin x
− cotan x
− tan x
R
R
Parité
f (π − x)
f (π + x)
π
f
−x
2
π
f
+x
2
Ensemble de
dérivabilité
Dérivée
2
cos x
− sin x
tan x
Rr
Rr
nπ
2
nπ
2
cotan x
o
+ kπ k ∈ Z
o
+ kπ k ∈ Z
1
1 + tan2 x =
cos2 x
R r πZ
R r πZ
−1−cotan 2 x
−1
=
sin2 x
Valeurs remarquables
π
2
π
3
1
2
π
4
π
2
cotan x
π
6
tan x
sin x
1
2
0
cos x
0
2
II
1
Trigonométrie
π
6
√
1
2
√
3
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
√
3
2
√
1
2
0
1
√
3
1
√
indéfini
√
1
1
√
3
x
0
sin x
0
cos x
1
tan x
cotan x
3
π
2
1
0
indéfini
3
0
Fonctions réciproques des fonctions circulaires
Définition
La périodicité et la parité des fonctions sinus et cosinus introduisent une ambiguïté
dans la définition de leurs fonctions réciproques. Par exemple, les trois nombres π/6 ,
5π/6 et π/6 + 4π ont tous la même image par sinus. Pour s’en sortir, on définit deux
notations : arcsin x désigne n’importe quel nombre dont l’image par sinus est x (ce
n’est pas une fonction), et Arcsin x désigne l’unique nombre compris entre −π/2 et
+π/2 dont l’image par sinus vaut x (Arcsin est une fonction). On a donc les relations
suivantes :
h π πi
x = sin y ⇐⇒ y = Arcsin x
si y ∈ − ;
2 2
⇐⇒
x = cos y
y = arcsin x =
Arcsin x
+2kπ
ou π − Arcsin x
+2kπ
si y ∈ [ 0 ; π ]
⇐⇒
y = Arccos x
⇐⇒
y = arccos x =
Arccos x
ou − Arccos x
x = tan y
x = cotan y
+2kπ
+2kπ
i π πh
si y ∈ − ;
2 2
⇐⇒
y = Arctan x
⇐⇒
y = arctan x = Arctan x + kπ
⇐⇒
y = Arccot x
⇐⇒
y = arccot x = Arccot x + kπ
si y ∈ ] 0 ; π [
3
Trigonométrie
2
3
Propriétés
Arcsin x
Arccos x
Arctan x
Arccot x
Ensemble de
définition
[ −1 ; 1 ]
[ −1 ; 1 ]
R
R
Période
aucune
aucune
aucune
aucune
Parité
impaire
aucune
impaire
aucune
Ensemble de
dérivabilité
] −1 ; 1 [
] −1 ; 1 [
R
R
Dérivée
√
1
1 + x2
−1
1 + x2
1
1 − x2
√
−1
1 − x2
Relations
Arccos x + Arcsin x =
π
2
Arctan x + Arctan y = Arctan
x+y
+ επ
1 − xy


0
si xy < 1


avec ε = 1
si xy > 1 et x , y > 0



−1 si xy > 1 et x , y 6 0
Arctan x + Arccot x =
π
2

1

Arctan
x
Arccot x =

π + Arctan 1
x
Arctan x + Arctan
III
1
si x > 0
si x < 0
π
1
= sign(x) ×
x
2
Formules
Corollaires du théorème de Pythagore
cos2 x + sin2 x = 1
1
1 + tan2 x
tan2 x
1
sin2 x =
=
2
1 + cot x
1 + tan2 x
cos2 x =
4
2
Trigonométrie
Addition des arcs
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a tan b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
tan(a − b) =
3
tan a − tan b
1 + tan a tan b
p+q
p−q
cos
2
2
p+q
p−q
sin p + sin q = 2 sin
cos
2
2
sin(p + q)
tan p + tan q =
cos p cos q
p−q
p+q
sin p − sin q = 2 sin
cos
2
2
p+q
p−q
sin
cos p − cos q = −2 sin
2
2
sin(p − q)
tan p − tan q =
cos p cos q
cos p + cos q = 2 cos
Arc double, arc moitié
cos 2x = cos2 x − sin2 x
= 2 cos2 x − 1
= 1 − 2 sin2 x
cos2 x =
1 + cos 2x
2
sin2 x =
1 − cos 2x
2
tan x =
sin 2x
1 − cos 2x
=
1 + cos 2x
sin 2x
sin 2x = 2 sin x cos x
tan 2x =
2 tan x
1 − tan2 x
x
1 − t2
, on a :
cos x =
2
1 + t2
Ces formules servent dans les règles de Bioche.
En notant t = tan
4
et
sin x =
2t
.
1 + t2
Formule de Moivre
(cos a + i sin a)n = cos na + i sin na
cos 3a = cos3 a − 3 cos a sin2 a = 4 cos3 a − 3 cos a
d’où
sin 3a = 3 cos2 a sin a − sin3 a = 3 sin a − 4 sin3 a
tan 3a =
5
3 tan a − tan3 a
1 − 3 tan2 a
Arcs en progression arithmétique
n
P
k=0
sin
sin kx =
(n + 1)x
nx
sin
2
2
x
sin
2
n
P
k=0
cos
cos kx =
nx
(n + 1)x
sin
2
2
x
sin
2
5
Trigonométrie
IV
Trigonométrie hyperbolique
ch 2 x − sh 2 x = 1
p+q
2
p+q
q = 2 sh
2
sh (p + q)
q=
ch p ch q
p+q
q = 2 sh
2
p−q
q = 2 sh
2
sh (p − q)
q=
ch p ch q
ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b
ch p + ch q = 2 ch
sh (a + b) = sh a ch b + sh b ch a
sh p + sh
th (a + b) =
th a + th b
1 + th a th b
th p + th
ch (a − b) = ch a ch b − sh a sh b
ch p − ch
sh (a − b) = sh a ch b − sh b ch a
sh p − sh
th (a − b) =
th a − th b
1 − th a th b
th p − th
p−q
2
p−q
ch
2
ch
p−q
2
p+q
ch
2
sh
ch 2x = ch 2 x + sh 2 x
= 2 ch 2 x − 1
ch 2 x =
ch 2x + 1
2
sh 2x = 2 sh x ch x
sh 2 x =
ch 2x − 1
2
= 1 + 2 sh 2 x
th 2x =
2 th x
1 + th 2 x
En posant t = th
th x =
x
, on a
2
ch x =
1 + t2
1 − t2
et
sh 2x
ch 2x − 1
=
ch 2x + 1
sh 2x
sh x =
2t
.
1 − t2
(ch a + sh a)n = ch na + sh na
d’où
ch 3a = ch 3 a + 3 ch a sh 2 a = 4 ch 3 a − 3 ch a
sh 3a = 3 ch 2 a sh a + sh 3 a = 4 sh 3 a + 3 sh a
th 3a =
3 th a + th 3 a
1 + 3 th 2 a