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Table des matières
1Découverte de la symétrie centrale .............................................................................................................2
1Figures symétriques par rapport à un point.............................................................................................2
2Centre de symétrie...................................................................................................................................2
3Construire le symétrique de la figure par rapport au point O à l’aide du quadrillage ............................3
2Le symétrique d'un point..............................................................................................................................4
1Définition.................................................................................................................................................4
2Construction............................................................................................................................................4
3démonstration..........................................................................................................................................4
3Symétries de figures.....................................................................................................................................5
1Segments..................................................................................................................................................5
Propriété 1 : ..........................................................................................................................................5
Propriété 2 :...........................................................................................................................................5
2Polygones................................................................................................................................................5
3Droites.....................................................................................................................................................6
Construction..........................................................................................................................................6
Propriétés..............................................................................................................................................6
Remarques ...........................................................................................................................................6
4Cercles.....................................................................................................................................................6
5Angles......................................................................................................................................................7
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Symétrie Centrale
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1 Découverte de la symétrie centrale
1
Figures symétriques par rapport à un point
Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si, en faisant tourner un calque d’un demi-tour
autour de O, les deux figures se superposent exactement.
Ici, les deux lapins sont symétriques par rapport au point O.
On dit également :
•
Le lapin 1 est le symétrique du lapin 2 par rapport au point O.
•
Le lapin 2 est le symétrique du lapin 1 par rapport au point O.
2
Centre de symétrie
Une figure admet un centre de symétrie par rapport à un point O si le
symétrique de la figure par la symétrie de centre O est la figure elle-même.
Exemples :Les figures sont symétriques par rapport au point O :
┼O
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┼O
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┼O
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Construire le symétrique de la figure par rapport au point O à
l’aide du quadrillage
2 carreaux à droite 1 carreau en bas
Je suis les lignes horizontales et
verticales qui mènent du point D
au point O.
J’effectue un déplacement « dans
le même sens » par rapport à O.
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Je fais de même pour les trois
autres points.
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Je n’ai plus qu’à relier les quatre
points obtenus.
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2 Le symétrique d'un point
1
Définition
Dire que le point A’ est le symétrique du point A par rapport au point O signifie que :
•
les points A , O et A’ sont alignés
•
et que OA = OA’
Cela revient à dire que le point O est le milieu du segment [AA’].
2
Construction
Je trace la demi-droite [AO) .
Je place le compas tel que :
• le centre soit en O
• et d' ouverture AO
•
•
Je trace un demi-cercle qui coupe [AO),
Je nome le point d'intersection A'
A' est le symétrique de A par rapport à O
Astuce : On peut tracer qu'un petit arc de cercle
3
démonstration
On sait que : les points A , O et A’ sont alignés et que AO = OA’.
Définition : Si O est le milieu de [AA'] alors A' est le symétrique de A par rapport à O.
Conclusion : A et A’ sont symétriques par rapport au point O.
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3 Symétries de figures
1
Segments
Pour construire le symétrique d'un segment, on construit les
symétriques de ses extrémités.
Propriété 1 :
Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un
segment.
exemple : Le symétrique, par rapport au point O, du segment
[AB] est le segment [A’B’].
Propriété 2 :
Si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors ils ont la même longueur.
exemple : A’B’ = AB
remarques :
On dit que la symétrie centrale (comme la symétrie axiale) conserve les distances.
On dit aussi que les distances sont invariantes par une symétrie centrale.
2
Polygones
Pour tracer le symétrique d'un polygone, on trace le symétrique de chacun de ses côtés.
Exemples :
A' B' C' D' E' est le symétrique de ABCDE par rapport à O.
Figure 1
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Figure 2
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Droites
Construction
Pour construire le symétrique d'une droite, on place deux points sur la droite, puis on trace leurs
symétriques.
Astuces : plus les points sont éloignés, plus la figure est précise.
Propriétés
-Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite.
-Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors ces deux droites sont parallèles.
exemple : (∆) // (∆’)
Remarques
•
Des points alignés ont pour symétriques par rapport à un point des points qui sont, eux aussi,
alignés. On dit que la symétrie centrale conserve les alignements de points (comme la symétrie axiale).
•
Le symétrique d’une demi-droite est une demi-droite.
exemple : le symétrique de [AB) est la demi-droite [A’B’).
4
Cercles
Le symétrique d’un cercle par rapport à un point est un cercle dont :
•
le rayon est le même que celui du cercle initial
•
le centre est le symétrique par la symétrie centrale, du centre du cercle initial.
exemple :
le cercle C , de centre O et de rayon 1,5 cm, a pour symétrique par rapport au point M, le
cercle C’ de centre O’ et de rayon 1,5 cm.
le point O’ est le symétrique du point O par rapport au point M.
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Angles
Propriété
Le symétrique d’un angle par rapport à un point est un angle de même mesure.
̂
exemple : comme les angles x̂
Oy et x
' O' y ' sont symétriques par rapport au point S, on peut en
déduire que leurs mesures sont égales : x̂
Oy=̂
x ' O' y ' .
4 Conservation des périmètres et des aires par une symétrie
orthogonale ou centrale
Propriété :
Si deux figures sont symétriques, par rapport à un point, alors elles ont le même périmètre et la même
aire.
exemple : les deux figures sont symétriques par rapport au point O, donc elles ont le même périmètre et la
même aire.
On dit que la symétrie centrale conserve les périmètres et les aires (comme la symétrie axiale).
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