loi normale

loi normale
appelée aussi loi normale standard !
I) Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) :
a) définition :
définition : La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée N(0 ; 1),
si sa densité de probabilité
(x) =
est définie sur
1
2
e
–
par :
y
x2
2
Remarques :
► est continue, dérivable, strictement positive sur
0,3
0,2
(x) = (–x)
► est paire donc
est symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées. On désigne cette courbe par
«courbe en cloche»
0,1
–3
–2
–1
O
1
2
x
3
cette courbe est aussi appelée courbe de
Gauss (mathématicien allemand).
y
► La variable aléatoire X admet pour densité de
probabilité donc, par définition, pour tous nombres
réels a et b tels que a b, on a :
⌠b
P(a X b) =  (x)dx
⌡a
P(a X
0,1
rappel : la loi normale centrée réduite est une loi à densité
donc, pour tout nombre réel k, on a P(X = k) = 0. Par suite,
P(a X b) = P(a X < b) = P(a< X b) = P(a< X < b) !
► L'aire totale sous la courbe
b)
a
est égale à 1 donc P(X
]–
;+
1 b
O
x
[)=1
y
P(X
► P(X
[0 ; +
► P(X
]–
1
ce qui revient à P(X
2
1
; 0] ) =
ce qui revient à P(X
2
[)=
1
2
1
0) =
2
0) =
1
2
P(X
0) =
0) =
0,1
O
1
1
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x
1
2
b) fonction de répartition :
définition : Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
La fonction de répartition associée à la variable aléatoire X est la fonction F définie
par : F(x) = P(X
x) = P(X
; x]
]–
► Pour tout type d'intervalle I de
)
on peut étendre cette définition de la fonction de
répartition à une variable aléatoire suivant une loi
générale de probabilité à densité !
, P(X
I) peut se déterminer à l'aide de F
y
y
y
0,1
0,1
0,1
O
aire = P(X
1 b
x
b) = F(b)
O
a
aire = P( a X
1 b
O
x
x
b 1
aire = P(X b)
= 1 – P(X b) = 1 – F(b)
b) = F(b) – F(a)
La fonction F ne peut pas s'exprimer à l'aide de fonctions usuelles.
x2
–
1
On ne connaît pas de primitive explicite de la fonction définie par (x) =
e 2
2
On peut utiliser la calculatrice ou un tableur pour obtenir une valeur approchée de la
probabilité cherchée.
Ex : Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
Donnons l'arrondi à 10–3 près de : a)P( –1
a) P( –1
X
1)
X
1)
b) P(X
2)
c) P(X
0,5)
normalcdf (cumulative distribution en anglais)
ou normalFRép (Fonction de Répartition en français)
avec la TI :
avec la Casio :
N (0 ;
1)
avec un tableur :
donc P( –1
X
on utilise le fait que
P( –1 X 1)
= P(X 1) – P(X –1)
= F(1) – F(–1) !
1) ≃ 0,683
2
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b) P(X 2)
avec les calculatrices, on peut utiliser les procédés suivants :
► P(X
2) = P(X
0) + P(0
X
2) ≃ 0,5 + 0,4772 ≃ 0,477
► on peut également calculer P(–1099
X
2)
on identifie –
!
99
à –10 , l'erreur sera ici négligeable
avec un tableur, on tapera la formule : = LOI.NORMALE(2;0;1)
b) P(X 0,5)
avec les calculatrices, on peut utiliser les procédés suivants :
► P(X 0,5) = P(X 0) – P(0 X 0,5) ≃ 0,5 – 0,1914 ≃ 0,309
► on peut également calculer P(0,5
1099)
X
on identifie +
!
99
à +10 , l'erreur sera ici négligeable
avec un tableur, on tapera la formule : = 1 – LOI.NORMALE(0,5;0;1)
propriété : Soit X une variable aléatoire suivant N(0 ; 1).
Soit F La fonction de répartition associée à X.
Pour tout nombre réel x, on a : F(–x) = 1 – F(x)
0,1
O
–x
► démonstration
Par définition, F(–x) = P(X –x)
rappel important : P(X b) = P(X < b) et P(X
Or, P(X –x) = P(X x)
(la courbe «en cloche» est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées)
De plus, "X < x" est un événement contraire à "X x".
Par suite, F(–x) = P(X –x) = P(X x) = 1 – P(X < x) = 1 – P(X x) = 1 – F(X)
Ex : Appliquons la propriété précédente pour déterminer P(–1,96
F(1,96) ≃ 0,975 donc F(–1,96) = 1 – F(1,96) ≃ 1 – 0,975 ≃ 0,025
Par suite, P(–1,96
X
X
1
x
b) = P(X > b)!
1,96)
y
1,96) = F(1,96) – F(–1,96)
≃ 0,975 – 0,025 ≃ 0,95
P(X < –1,96) = P(X > 1,96) ≃ 0,025
0,025
0,1
Il y a une probabilité de 95% que la variable
aléatoire soit comprise entre –1,96 et 1,96 !
0,954
0,1
–1
O
– 1,96
à retenir :
0,683
O
–2
O
3
1
x
1,96
0,997
0,1
0,1
1
0,025
0,95
1
2
–3
O
1
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3
c) espérance - variance :
définition : Soit une variable aléatoire X suivant N(0 ; 1) de densité de probabilité .
Son espérance E(X) est :
E(X) =
⌠0
 x

⌡t
lim
t→–
(x)dx +
lim
s→+
⌠s
 x (x)dx

⌡0
propriété :
Soit une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
Son espérance E(X) est 0.
► démonstration
2
2
x
x
s
⌠s
⌠s
–
–
1
1 ⌠



2
2 dx = 1
► x (x)dx =  x
e
dx =
x
e
2
2 
2
⌡0
⌡0
⌡0
x

– 

– e 2 
2
s
0
s2

– 
1 
=
1 – e 2 
2
⌠0
►
 x
⌡t
2
2
x
x
0
⌠0
–
–
1
1 ⌠
1


2
(x)dx =  x
e
dx =
x e 2 dx =

2
2 ⌡t
2
⌡t
0
x

– 

– e 2 
2
t
t2

– 
1 
=
1 – e 2 
2
Or,
lim
s→+
Donc, E(X) =
s2 

– 
1 
1
1 – e 2  =
et lim
t→–
2
2
1
2
–
1
2
t2

– 
1 
1
1 – e 2  =
2
2
=0
propriété (admise) :
Soit une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
Sa variance V(X) est 1
les deux paramètres de la loi normale centrée
réduite correspondent à E(X) et V(X) !
4
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d) intervalle centré en 0 correspondant à une probabilité donnée :
propriété :
Soit une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
Pour tout réel tel que 0 <
que : P(–u
X u )=1–
< 1, il existe un unique réel strictement positif u tel
► démonstration - exigible
Soit un nombre réel u.
La courbe de la densité associée à la variable aléatoire X
est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On a donc :
⌠u
P(–u X u) = 2 x P(0 X u) = 2
(x)dx = 2F(u)

⌡0
où F est la primitive unique de
sur
1–
2
2
0,1
O
–u
qui s'annule en 0.
1
u
Or, F est continue et strictement croissante ( >0) sur [0 ; + [.
1
De plus, lim F(u) = (aire sous la courbe de sur [0 ; + [ )
2
u→+
On obtient alors le tableau de variation de la fonction 2F suivant :
On sait que 1 –
[0;1] (car 0 < < 1).
x
u
0
+
1
2F(x)
1–
0
De plus, 2F est continue et strictement
croissante sur [0 ; + [ donc d'après le
théorème des valeurs intermédiaires, il
existe un unique réel u tel que :
2F(u ) = 1 – . Il en résulte que :
P(–u
X u )=1–
à retenir :
0,99
0,95
0,1
0,1
–1,96
O
–2,58
1 1,96
O
1
2,58
u0,05 ≃ 1,96
u0,01≃ 2,58
P(–1,96 X 1,96) ≃ 0,95
P(–2,58 X 2,58) ≃ 0,99
5
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II) Loi normale (cas général) :
N(
;
σ2)
appelée aussi Loi de Laplace-Gauss ou loi de Gauss !
et σ
2
définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres
quand la variable aléatoire
X–
σ
suit la loi normale centrée réduite
propriété : Si une variable aléatoire suit une loi normale N(
;
N(0 ;
"sigma"
1)
σ2), alors son espé-
et sa variance est égale à σ2
rance est égale à
► démonstration
Soit la variable aléatoire Z =
X–
Par définition, E(Z) = 0 !
.
σ
► D' une part, on a E(X) = E(σZ + ) = σE(Z) + =
► D' autre part, par définition, V(X) = E[(X – E(X))2]
2
2
2
2
2
2
2
donc V(X) = E  σZ + –
 = E (σZ) = σ E(Z ) = σ E[(Z – E(Z)) ] = σ V(Z).
(
)
Or, V(Z) = 1 donc V(X) = σ2.
σ = 1,8
=4
Remarques :
► Toutes les lois normales ont pour densité une fonction dont la courbe représentative est «en cloche».
Ex :
Ci-dessus la courbe de la densité de la loi
normale N 4 ; 1,82 = N 4 ; 3,24
(
► L'espérance
)
(
0,1
O
1
σ=1
=0
)
σ=1
=2
d'une variable
aléatoire X suivant
;
N(
σ2) est un
paramètre de position désignant la
région où les réalisations de X sont
les plus nombreuses.
σ=1
= –2
0,1
O
► L'écart-type σ d'une variable aléatoire X suivant
N(
;
σ = 0,7
=0
σ ) est un para2
mètre de dispersion. Plus σ est
grand, plus les réalisations de X sont
dispersées autour de l'espérance.
1
σ=1
=0
σ=2
=0
0,1
6
O
1
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Ex : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N(116 ; 25)
Calculons P(110 X
120) à 10
–4
près.
l'écart-type est 5 !
► méthode 1 : -en centrant et en réduisant la loiX suit la loi normale d'espérance
La loi Z =
110 X
X–
= 110 et de variance σ2 = 25
X – 116
suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
5
σ
on centre la loi !
120 équivaut à 110 – 116 X – 116 120 – 116
110 – 116
=
X – 116
Il en résulte que –
6
5
120 – 116 équivaut à
Z
110 – 116
5
X – 116
5
120 – 116
5
on réduit !
4
.
5
6
Z suivant la loi N(0 ; 1), on utilise la calculatrice et on a P–
 5
Il en résulte que P(110 X 120) ≃ 0,6730
Z
4
≃ 0,6730
5
► méthode 2 : On peut utiliser directement la calculatrice ou un tableur pour obtenir
une valeur approchée de la probabilité cherchée.
normalcdf (cumulative distribution en anglais)
ou normalFRép (Fonction de Répartition en français)
avec la TI :
avec la Casio :
N(116 ;
52)
avec un tableur :
Ex : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N(116 ; 25)
P( 110 X 120)
= P(X 120) – P(X
110)
invNorm (en anglais)
ou FracNormale (en français)
Déterminons u tel que : P(X u) = 0,7
avec la TI :
avec la Casio :
u ≃ 118,62
7
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intervalles σ, 2σ, 3σ
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N(
► P( – σ
X
► P( – 2σ
X
► P( – 3σ
X
 –σ–
+ σ) = P 
σ2 Soit Z =
σ
 – 2σ –
σ

 – 3σ –
+ 3σ) = P 
σ

X–
+ 2σ) =P 
).
X–
σ
. Z suit N(0 ; 1)
+σ– 
 = P(–1 Z 1) ≃ 0,68
σ

X–
σ

;
σ
X–
σ
+ 2σ – 
= P(–2 Z 2) ≃ 0,95
σ

+ 3σ – 
=P(–3 Z 3) ≃ 0,997
σ

densité de N (
la probabilité d'avoir une réalisation de X
distante de plus de 3σ de la moyenne
(espérance) est quasi nulle ! !
– 3σ
–σ
– 2σ
+σ
+ 2σ
;
σ2)
+ 3σ
III) Approximation d'une loi binomiale par une loi normale :
Théorème de Moivre-Laplace (admis) :
Soit n un entier naturel non nul. Soit Xn une variable aléatoire suivant une loi binoX – np
miale (n ; p). Soit Zn la variable aléatoire telle que Zn =
np(1 – p)
Pour tous nombres a et b tels que a<b,
2
lim
n→+
P(a
x
⌠b 1
–

b) = 
e 2
2
⌡a
Zn
Pour n assez grand, la loi binomiale est très proche de la loi
normale de même espérance np et de variance np(1–p) !
important : on ne procèdera à l'approximation d'une loi normale (n ; p) par la loi
normale que quand les trois conditions suivantes seront vérifiées :
np 5, np(1 – p) 5
n 30,
espérance de
(n ; p)
8
variance de
(n ; p)
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illustration par un exemple :
On dispose d'une pièce de monnaie truquée. Lors d'un lancer, la probabilité que la
pièce tombe sur le côté Face est de 0,24. On répète 31 fois l'épreuve consistant à jeter la pièce. On note le nombre de fois où on obtient Face.
Cette répétition de 31 épreuves identiques indépendantes à deux issues (Face, Pile)
constitue un schéma de Bernoulli (l'issue Face correspondant ici au succès).
La variable aléatoire X associée au nombre de succès obtenus suit la loi binomiale
(n ; p) avec n=31 et p=0,24.
Les 3 conditions sont vérifiées pour procéder à l'approximation normale de
En effet, E(X) = np =7,44 et V(X) = np(1 – p) = 5,6544
(n ; p).
probabilité
P(X)
X
nombre de succès
On remplace le diagramme à bâtons par un histogramme.
Chaque bâton est remplacé par un rectangle de même hauteur et de
largeur 1
9
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On procède à l'approximation de
(n ; p) par la loi normale
N(7,44 ;
5,6544) de densité
histogramme
(loi binomiale)
densité
de la loi normale
Le fait d'avoir transformé le diagramme à bâtons en histogramme nous oblige à une
correction de continuité !!
Ceci n'est pas explicitement au programme de la Terminale.
Nous nous contenterons d'admettre que, pour une meilleure qualité du résultat,
Pour tous nombres réels a et b avec a < b, on calculera P(a – 0,5 X b + 0,5)
pour estimer P(a X b)
une application : Calculons P(10 X 14)
P(10 – 0,5 X 14 + 0,5) = P(9,5 X 14,5)
► méthode 1 : les 3 conditions (n
30, np
5, np(1 – p)
5)
étant vérifiées, on consi-
dère que X suit la loi normale N(7,44 ; 5,6544). On trouve alors directement :
P(9,5
X
14,5) ≃ 0,19
TI
Casio
► méthode 2 : -en centrant et en réduisant la loiX suit la loi normale N(7,44 ; 5,6544).
X – 7,44
X – 7,44
=
. Z suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
7,44 x (1 – 0,24)
5,6544
Soit Z =
On a :
P(9,5
X
9,5 – 7,44
14,5) = P 
 5,6544
Z
14,5 – 7,44
 ≃ P(0,86
5,6544 
2,96) ≃ 0,19
X
TI
Casio
P(10
X
10
14) ≃ 0,19
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