loi normale

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1
x
O 1 2
0,1
–1 3–2 –3
0,2
0,3
cette courbe est aussi appelée courbe de
Gauss (mathématicien allemand).
y
x
O
1b
a
0,1
P(a X  b)
loi normale
I) Loi normale centrée réduite
N (
0
;
1
)
:
a) définition :
définition : La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée N ( 0 ; 1 ),
si sa densité de probabilité est définie sur par :
( x ) = 1
2e
–
x
2
2
Remarques :
► est continue, dérivable, strictement positive sur 
► est paire donc est symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées. On désigne cette courbe par
«courbe en cloche»
► La variable aléatoire X admet pour densité de
probabilité donc, par définition, pour tous nombres
réels a et b tels que a  b, on a :
P(a X  b) = ⌡
⌠
a
b
( x )d x
► L'aire totale sous la courbe est égale à 1 donc P(X  ] – ; + [ ) = 1
► P(X  [0 ; + [ ) = 1
2 ce qui revient à P(X  0) = 1 2
► P(X  ] – ; 0] ) = 1
2 ce qui revient à P(X  0) = 1 2
(
x
) =
(
–
x
)
y
rappel : la loi normale centrée réduite est une loi à densité
donc, pour tout nombre réel k, on a P(X = k ) = 0. Par suite,
P(a X  b) = P(a X < b) = P(a< X  b) = P(a< X < b) !
y
x
O
1
0,1
P(X  0) =
1
2
P(X  0) =
1
2
appelée aussi loi normale standard !

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2
b) fonction de répartition :
définition : Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
La fonction de répartition associée à la variable aléatoire X est la fonction F définie
par : F( x ) = P(X  x ) = P(X  ]– ; x ] )
► Pour tout type d'intervalle I de , P(X  I) peut se déterminer à l'aide de F
La fonction F ne peut pas s'exprimer à l'aide de fonctions usuelles.
On ne connaît pas de primitive explicite de la fonction définie par ( x ) = 1
2e
–
x
2
2
On peut utiliser la calculatrice ou un tableur pour obtenir une valeur approchée de la
probabilité cherchée.
Ex : Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ).
Donnons l'arrondi à 10
–3
près de : a)P( –1  X  1) b) P(X  2) c) P(X 0,5)
a) P( –1  X  1)
avec la TI :
avec la Casio :
avec un tableur :
donc P( –1  X  1) ≃ 0,683
on peut étendre cette définition de la fonction de
répartition à une variable aléatoire suivant une loi
générale de probabilité à densité !
y
x
O
1
0,1
b
y
x
O
1
0,1
b
a
y
x
O
1
0,1
b
aire = P(X
b) = F(b)
aire = P( a X  b) = F(b) – F(a)
aire = P(X  b)
= 1 – P(X  b) = 1 – F(b)
normalcdf (cumulative distribution en anglais)
ou normalFRép (Fonction de Répartition en français)
N
(
0
;
1
)
on utilise le fait que
P( –1 X  1)
= P(X  1) – P(X  –1)
= F(1) – F(–1) !

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3
rappel important :
P(
X
b) =
P(
X
<
b) et
P(
X
b) =
P(
X
>
b)!
y
x
O
1
0,1
1,96
– 1,96
0,95
0,025
0,025
b) P(X  2)
avec les calculatrices, on peut utiliser les procédés suivants :
► P(X  2) = P(X  0) + P(0  X  2) ≃0,5 + 0,4772 ≃0,477
► on peut également calculer P(–10
99
 X  2)
avec un tableur, on tapera la formule : = LOI.NORMALE(2;0;1)
b) P(X  0,5)
avec les calculatrices, on peut utiliser les procédés suivants :
► P(X  0,5) = P(X  0) – P(0  X  0,5) ≃0,5 – 0,1914 ≃0,309
► on peut également calculer P(0,5  X  10
99
)
avec un tableur, on tapera la formule : = 1 – LOI.NORMALE(0,5;0;1)
propriété : Soit X une variable aléatoire suivant N ( 0 ; 1 ) .
Soit F La fonction de répartition associée à X.
Pour tout nombre réel x , on a : F(– x ) = 1 – F( x )
► démonstration
Par définition, F(– x ) = P(X  – x )
Or, P(X  – x ) = P(X  x )
(la courbe «en cloche» est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées)
De plus, "X < x " est un événement contraire à "X  x ".
Par suite, F(– x ) = P(X  – x ) = P(X  x ) = 1 – P(X < x ) = 1 – P(X  x ) = 1 – F(X)
Ex : Appliquons la propriété précédente pour déterminer P(–1,96  X  1,96)
F(1,96) ≃0,975 donc F(–1,96) = 1 – F(1,96) ≃1 – 0,975 ≃ 0,025
Par suite, P(–1,96  X  1,96) = F(1,96) – F(–1,96)
≃ 0,975 – 0,025 ≃0,95
P(X < –1,96) = P(X > 1,96) ≃0,025
on identifie – à –10
99
, l'erreur sera ici négligeable
!
on identifie + à +10
99
, l'erreur sera ici négligeable
!
O
1
0,1
x
–
x
Il y a une probabilité de 95% que la variable
aléatoire soit comprise entre –1,96 et 1,96 !
0,1
0,1
0,1
1
O
1 1 O O –1 –2 2 3 –3
0,683
0,954
0,997
à retenir :

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4
c) espérance - variance :
définition : Soit une variable aléatoire X suivant N ( 0 ; 1 ) de densité de probabilité .
Son espérance E(X) est :
E(X) = lim
t → – ⌡
⌠
t
0
x ( x )d x + lim
s → + ⌡
⌠
0
s
x ( x )d x
propriété :
Soit une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ).
Son espérance E(X) est 0.
► démonstration
►⌡
⌠
0
s
x ( x )d x = ⌡
⌠
0
s
x 1
2 e
–
x
2
2
d x = 1
2⌡
⌠
0
s
x e
–
x
2
2
d x = 1
2 
– e
–
x
2
2
s
0
= 1
2 
1 – e
–
s
2
2
►⌡
⌠
t
0
x ( x )d x = ⌡
⌠
t
0
x 1
2 e
–
x
2
2
d x = 1
2⌡
⌠
t
0
x e
–
x
2
2
d x = 1
2 
– e
–
x
2
2
0
t
= 1
2 
1 – e
–
t
2
2
Or, lim
s → + 1
2 
1 – e
–
s
2
2 = 1
2 et lim
t → – 1
2 
1 – e
–
t
2
2 = 1
2
Donc, E(X) = 1
2 – 1 2 = 0
propriété (admise) :
Soit une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ).
Sa variance V(X) est 1
les deux paramètres de la loi normale centrée
réduite correspondent à E(X) et V(X) !

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5
1
0
u
+
x
2F(x)
1 –
0
u
O
–u
1 – 
2
2
1
0,1
d) intervalle centré en 0 correspondant à une probabilité donnée :
propriété :
Soit une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ).
Pour tout réel  tel que 0 <  < 1, il existe un unique réel strictement positif u tel
que : P(–u X u ) = 1 – 
► démonstration - exigible -
Soit un nombre réel u.
La courbe de la densité associée à la variable aléatoire X
est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On a donc :
P(–u X u) = 2 x P(0 X u) = 2⌡
⌠
0
u
( x )d x = 2F(u)
où F est la primitive unique de sur qui s'annule en 0.
Or, F est continue et strictement croissante ( >0) sur [0 ; + [.
De plus, lim
u → + F(u) = 1
2 (aire sous la courbe de
sur [0 ; + [ )
On obtient alors le tableau de variation de la fonction 2F suivant :
On sait que 1 –   [0;1] (car 0 <  < 1).
De plus, 2F est continue et strictement
croissante sur [0 ; + [ donc d'après le
théorème des valeurs intermédiaires, il
existe un unique réel u tel que :
2F(u ) = 1 – . Il en résulte que :
P(–u X u ) = 1 – 
à retenir :
–1,96 O
0,95
1,96 –2,58
2,58
0,99
O
u
0,05
≃1,96
P(–1,96X1,96) ≃0,95
u
0,01
≃2,58
P(–2,58X2,58) ≃0,99
0,1 0,1
1
1