3) Python : Ecrire une fonction permettant de calculer l`image d`un

Devoir maison 1
PCSI
2014 - 2015
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises
en compte dans l'évaluation de la copie.
Les résultats et/ou réponses à chaque question doivent être encadrés ou soulignés
Exercice : Faire une étude complète de la fonction g dénie par :
g(x) = cos(x) − cos2 (x)
Problème : Soit f la fonction dénie sur [0, +∞[ par f (x) =
x3
− x + 1.
12
1) a) Déterminer la limite de f en +∞.
b) Dresser les variations de f .
2) a) Montrer que f s'annule exactement deux fois sur [0, +∞[.
On notera
β < α.
α
et
β
les deux solutions de l'équation
f (x) = 0
sur
[0, +∞[
avec
b) Préciser le signe de f sur [0, +∞[.
3)
Ecrire une fonction permettant de calculer l'image d'un
réel par f . Tracer la courbe représentative de f .
Python :
4) On cherche à obtenir une approximation de β . A cet eet, on introduit la suite
(un )n∈N dénie par :
(
u0 = 1
∀n ∈ N, un+1 = 1 +
u3n
12
a) Calculer u1 puis démontrer par récurrence que :
∀n ∈ N, un ∈ [0, β]
b) Montrer que :
∀n ∈ N, un+1 − un = f (un )
Que peut-on en déduire sur la monotonie de la suite (un )n∈N ?
c) Montrer que la suite (un )n∈N converge vers β .
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis