Introduction à la théorie quantique de l`information.

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Introduction à la théorie quantique de
l’information.
Richard Feynman Charles Bennett

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Bits & Qubits.
L’information est une grandeur quantifiée et le quantum d’information est le bit ou le
qubit selon la nature, classique ou quantique, du support physique qui l’abrite. Voici quelques
systèmes physiques élémentaires, capables d'encoder un qubit, ils nous serviront de fils
conducteurs, notés, A, B et C.
A : Une particule porteuse d'un moment magnétique, μ, (électron,
noyau, …) adopte l'orientation parallèle ou anti parallèle lorsqu'elle est
soumise à une induction magnétique extérieure : ce sont ses états de base.
L'état '1' est plus probable que l'état '0' car son énergie, zzBB.E μμ −=−=
est moindre. Au zéro absolu, seul l'état '0' est possible.
B : Un photon astreint à ne se déplacer que d'Ouest en Est ou de Sud
en Nord, sur une table d'optique, encode également un qubit. Cet encodage
repose sur les états spatiaux du photon, de loin les plus simples à
comprendre. On évitera de les confondre avec les états de polarisation
décrits ci-après et qui réclament davantage d'explications.
C : Le même photon autorise un autre
encodage du qubit, selon son état de
polarisation linéaire, parallèle à Ox ou à Oy.
On différencie ces états en interposant un
polariseur analyseur sur le trajet du photon.
Il laisse passer la lumière polarisée selon sa propre direction passante et absorbe la lumière
polarisée perpendiculairement. Pour rappel, il n’existe pas de photons polarisés
longitudinalement et cela est en rapport avec le fait que le photon ne possède que deux états
internes de spin.
L'œil humain n'est pas équipé pour distinguer les deux états
de polarisation de la lumière, il lui faut de l'aide. Une aide possible
est fournie par un cristal biréfringent, de calcite (CaCO3), par
exemple. Celui-ci, taillé en forme de lame à faces parallèles,
fournit généralement deux images de tout objet, posé en-dessous de
lui. Une image, dite ordinaire, est simplement dans l'axe de l'objet
tandis que l'autre, dite extraordinaire, est décalée par rapport à
l'objet. Ce comportement résulte de l'anisotropie dans la
disposition des atomes au sein du cristal.

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Une conséquence de cette anisotropie est que la
lumière se déplace plus lentement dans la direction de
l'axe optique que dans n'importe quelle direction
orthogonale.
Autrement dit l'indice de réfraction, n, dépend de
la direction de propagation de la lumière et dans le cas
de la calcite, il est maximum dans la direction de l'axe
optique. Une lame de calcite sépare donc les états de
polarisation de la lumière en ses composantes parallèles
ou perpendiculaires à l'axe optique. Les 2 figures
suivantes (à gauche) distinguent clairement les deux cas
puis elles envisagent (à droite) le cas où la lumière est un
mélange des deux types de polarisation.
Les photons polarisés selon y (resp. x) subissent une réfraction (extra)ordinaire. L'angle,
re, que font les rayons réfractés ordinaire et extraordinaire est donné par la relation suivante :
αα
αα
22
e
22
o
2
o
2
e
ecosnsinn cossin)nn(
)r(tg +
−
=
Un cas particulier s'avère essentiel pour la suite, soit lorsque
α=90°. La lame de calcite est alors taillée parallèlement à l'axe
optique et les photons sortent de la lame selon une trajectoire unique
quel que soit leur état de polarisation. Dans cette disposition, les deux
paramètres essentiels de la lame sont d'une part l'angle, β, que l'axe
optique fait avec l'axe Ox et le déphasage, δ, relié à l'épaisseur de la
lame par la relation,
λ
Δ
π
δ
L)n(2
= (où,
Δ n = ne-no). Cette lame est
l'outil de choix permettant de modifier à loisir la polarisation des
photons.
Plus généralement, tout système quantique possédant n états discrets peut encoder un
alphabet à n symboles et le cas, n=2, correspond évidemment à l’encodage binaire. On trouve,
en annexe, l’exemple de l’encodage d’un qutrit à l’aide d’une particule chargée de spin 1.

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Vecteur d'état d'un qubit.
Dans le formalisme de la mécanique quantique, les états de base du qubit sont représentés
par deux vecteurs, notés, 0 et 1. Ils évoluent dans un espace de Hilbert à 2 dimensions où ils
acceptent la représentation matricielle, 
=0
1
0 et  =1
0
1. Ils sont orthonormés :
00110et11100 ====
Préparer un qubit dans son état de base 0 est chose plus ou moins aisée :
A : Il "suffit" d'abaisser progressivement la température du noyau : en pompant l'énergie du
système, on l'amène à coup sûr dans son état d'énergie minimum.
B : Il suffit d'orienter le faisceau de lumière d'ouest en est.
C : Il suffit d'absorber toute composante polarisée selon Oy au moyen d'un filtre polarisant
orienté selon Ox.
Alors qu'un bit classique n'existe que dans l'un ou l'autre de ses états de base, 0 ou 1, un
qubit peut exister dans un état quelconque de superposition quantique,
1c0c 21 +=
ψ
Cependant le contenu informationnel n'excède pas 1 bit pour autant : il est inscrit dans les
principes de la mécanique quantique que toute mesure ne peut révéler aléatoirement que l'un ou
l'autre des états, 0 (avec la probabilité, 2
1
c) ou 1 (avec la probabilité, 2
2
c). Les
coefficients c1 et c2 doivent donc respecter la relation de normalisation, 1cc 2
2
2
1=+ .
)20,0(1)2/sin(e0)2/cos( i
πϕπθθθψ
ϕ
<≤≤≤+= .
Cet état admet une représentation géométrique immédiate sous la forme d'un point de
coordonnées sphériques, θ et ϕ, sur la sphère de Bloch. Les pôles N et S sont associés aux états
de base, 0et 1, tandis que l’équateur correspond aux états,
()
1e0
2
1i
ϕ
+.

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Evolution du qubit isolé.
Un qubit reste dans l'état où on l'a préparé tant qu'il n'est pas soumis à une intervention
externe. Dans le formalisme de la mécanique quantique, un opérateur unitiare est associé à toute
transformation affectant l'état d'un qubit. Il agit sur cet état et le modifie conformément à la
règle,
stateoldOpstatenew =
Les systèmes quantiques purs étant exempts de toutes formes de frottements, il en résulte
qu'aucune énergie n'est jamais dissipée. Vu le principe de Landauer, il s'ensuit une absence de
perte d'information. Tout opérateur agissant sur le qubit isolé doit donc être unitaire, afin de
préserver la norme des vecteurs d'états auxquels il est appelé à s'appliquer, il donc être de la
forme générale suivante ( 1nnn 2
z
2
y
2
x=++ ) :
[]
σωω
ωωω
ωωω
ωωω
ωωω
αα
α
⋅+=
−+
−+
=
−+−
++++=
nsiniIdcose
sinincossin)inn(i sin)inn(isinincos
e
]11)sinin(cos01sin)nin(
10sin)nin(00)sinin[(coseU
i
zyx
yxz
i
zyx
yxz
i
où les matrices 2x2, σx, σy et σz, sont les matrices de Pauli.
L'opérateur général, U, transforme l'état 0en l'état de superposition le plus général dans
lequel le qubit peut exister :
]1sin)nin(0)sinin[(cose0U yxz
i
ωωω
α
−++=
qu'on réécrit généralement, à une phase inessentielle près, sous la forme canonique,
)20,0(1)2/sin(e0)2/cos( i
πϕπθθθψ ϕ <≤≤≤+=
En pratique, on n'a pas besoin de considérer la transformation unitaire générale, U. On se
contente de trois cas particuliers, Not, H (Hadamard) et Φ (déphasage), plus faciles à
appréhender, et qui, par assemblage convenable, sont de toutes façons capables de reproduire le
cas général. Ces trois cas se notent :
- Porte Not (nx=1, ny=nz=0, ω = π /2) :
=+= 01 10
1100Not
On vérifie que l'on a bien : 01NOT
10NOT
=
=