Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

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Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles
Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maxima. Les commandes en ligne sont précédée de (%i) en
police courrier. Ce logiciel est disponible sur internet (google: calcul formel maxima)
I - Continuité
1/ Définition
Définition de la continuité : Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Soit un réel a
appartenant à I.
La fonction f est continue en a si
ax→
lim f(x) = f(a)
Par extension, f est dite continue sur I si elle est continue en tout réel a de I.
Remarques :
- Si f est continue en a, alors f doit être définie sur un « voisinage » de a de la forme ]a-ε ;a+ε[, ε>0.
- f est continue à droite en a si f est définie sur un « voisinage » de a de la forme [a ;a+ε[, ε>0 et
+
→ax
lim f (x) = f ( a ).
- On reconnaît graphiquement qu’une fonction est continue sur un intervalle I si elle peut être tracée sans
lever le crayon.
Corollaire 1 : L’image d’un intervalle fermé borné
[a ;b] par une fonction continue est un intervalle fermé
borné [m ;M]. De plus la fonction atteint ses bornes.
Corollaire 2 :
- En appliquant les propriétés sur les opérations avec les limites, le produit, la somme de fonctions
continues est continue (voir le cours sur les limites).
- Les fonctions polynômes, cos x et sin x, ex sont continues sur Ë .
- La fonction x est continue sur [0 ;+ õ [, ln(x) est continue sur ]0 ;+ õ [.
- Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de
définition.
-Les fonctions construites algébriquement à partir des fonctions usuelles sont continues sur leur
ensemble de définition.

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Exemple : Montrer que la fonction f définie par
f (x)= x ² ln x pour x >0 et f (0)=0
est continue en 0 puis sur [0;+ õ [ .
(%i) f(x):=x^2*log(x);
(%i) limit(f(x)), x, 0, plus);
(%i) plot2d([x^2*log(x),[x,0,2]);
2/ Application : Existence de solutions pour l'équation f(x) = k
Théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ;b].
Alors, pour tout réel λ compris entre f(a) et f(b),
il existe au moins un réel c compris dans [a ;b] tel que f(c) = λ.
Justification graphique :
Remarque : Ce théorème ne montre que l’existence mais pas l’unicité.
Exemple : Montrer que la fonction f (x) = cos x admet un point fixe sur [0;
2
π
].
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x
cos(x)
x
(%i20) plot2d([cos(x),x],[0,%pi/2]);
(%i25) find_root(x=cos(x), x, 0, %pi/2);

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II Nombre dérivé
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, un réel a ∈ I, et h un réel non nul (a+h ∈ I).
f est dérivable en a si le taux d’accroissement f(a+h)-f(a)
h admet une limite finie
l quand h
tend vers 0.
l est appelé le nombre dérivé de f en a et on note f’(a)= l .
Interprétation géométrique : Tangente
Si f est dérivable en a , la tangente (Ta) à C
f au point A
d’abscisse a a pour coefficient directeur f ’( a ).
Une équation de (Ta) est : (T
a
) y = f’(a) (x-a) + f(a)
Interprétation numérique
• Si f est dérivable en a , on a f ( a+h ) = f ( a ) + f ’( a ) h + h ε ( h ) avec
0
lim
→h
ε ( h ) =0
• f ( a ) + f ’( a ) h + h ε ( h ) est appelé développement limité d’ordre 1 de f en a .
• Si h voisin de 0, on a f ( a+h ) ≈ f ( a ) + f ’( a ) h , approximation affine de f ( a+h ) au voisinage de a .
Exemple d’application :
1/ Démontrer que la f onction f définie par f (x)=x² ln x pour x >0 et f (0)=0 est dérivable en 0.
(%i) limit(f(x)/x,x,0,plus);
2/ Déterminer la meilleure approximation affine de (1+x)
n
pour x voisin de 0.
(%i20) diff((1+x)^n,x);
(%i28) taylor((1+x)^n,x,0,1);

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III Fonction dérivée
Définition : Lorsque f est dérivable en tout point de l’intervalle I , on dit que f est dérivable sur I et on
note f ’(x) la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x.
1/ Dérivées des fonctions usuelles
Le tableau ci-dessous sera complété au cours de l’année
f(x)= f’(x)= f dérivable sur
k
x
x
n
(n∈N
*
)
x
α
(α ∈ Ë)
x
cos x
sin x
tan x
e
x
ln x
2/ Opérations et fonctions dérivées
• Si u et v sont 2 fonctions dérivables sur I alors u+v, k × u (k∈Ë) et uv le sont aussi et :
(u+v)’ = u’ + v’ (ku)’=k u’ (uv)’= u’v + uv’
• Si u et v sont dérivables sur I et v non nul sur I ,
1
v
et
u
v
sont dérivables sur I et :
(
1
v )’=-
v’
v² (
u
v )’=
u’v-uv’
v²
Conséquence : Les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur domaine de
définition.
Exemple : Calculer la dérivée de f(x)=x ln x - x après avoir précisé D
f.
(%i29) diff(x*log(x)-x,x);
3/ Dérivée d’une fonction composée
Dérivée d’une fonction composée (admis): Soit v une fonction dérivable sur J.
Soit u une fonction dérivable sur I telle que pour tout x de I, u(x) appartient à J.
Alors la fonction f(x) = v o u (x) est dérivable sur I et :
f’(x)= v’(u(x)) ×
××
× u’(x) ( (v o u)’ = (v’ o u) u’ )

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Applications de la dérivée d’une fonction
composée
f f' I
u(ax+b)
sin (ax+b)
u
n
, n ∈ É
x
α
( α ∈ Ë)
e
u
ln u
Exemple : Calculer la dérivée de ln
1²
1
+
+
x
x
et de
e2x² après avoir précisé D
f
(%i29) diff(log((x+1)/(x^2+1)),x);
4/ Classe d’une fonction
Dérivées successives : Soit f une fonction dérivable sur I .
f ’(x) est appelée dérivée première de f sur I .
Si f ’(x) est également dérivable sur I alors on définit la fonction dérivée de f ’(x) notée f ’’(x) et appelée
fonction dérivée seconde de f : ( f ’(x))’= f ’’(x).
Pour la dérivée d’ordre 3, 4, on note f
(3)(x)
f
(4)(x)
Classe d’une fonction : Soit n ∈ É . On dit que f est de classe Cn sur I ssi :
- f est n fois dérivable sur I
- f
(n) est continue sur
I
f est de classe C0 si f est continue sur I et de classe Cõ si f est infiniment dérivable (cos x).
Propriété : Si f et g sont de classe Cn alors : ( f + g ), fg ,
f
g
( g non nulle sur I) g o f sont de classe Cn.
Exemple : Calculer la dérivée première, deuxième, troisième de ln(1+x) et (1+x)
n
(%i40) diff(log(1+x),x,4);
5/ Notations différentielles.
Notation différentielle :
En posant ∆ x = h et ∆ y= f (x+ ∆ x) – f (x), on obtient :
∆ y = f ’(x) ∆ x + ∆ x ε ( ∆ x) avec
0
lim
→h
ε ( ∆ x ) =0 et au voisinage de x : ∆ y ≈ f ’(x) ∆ x
En physique on note f ’(x) =
df
dx
f ’’(x) =
d²f
dx²