Corrigé du DS N◦ 4 10 décembre 2016 1 Problème : Champ électrostatique associé à l'atome d'hydrogène 1. Ce problème est de symétrie sphérique. Ce sont donc les coordonnées sphériques qu'il convient d'employer ici. 2. Le potentiel électrostatique se dénit comme une fonction scalaire V (M) liée au champ électrostatique par : −→ ~ = −− E grad V 3. (a) Il faut prendre en compte toutes les charges composant l'atome d'hydrogène, c'est à dire la charge ponctuelle +e du proton xe et la charge distribuée avec la densité volumique ρe correspondant au nuage électronique. (b) Soit M un point quelconque de l'espace. Tous les plans qui contiennent ce point M et le centre O où se localise le proton sont des plans de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrique en M devant être contenu dans chacun de ces plans doit donc appartenir à leur intersection, c'est à dire à la droite passant par M et orienté par ~ur . Le champ électrique en M s'écrit donc : ~ M) = E(M) ~ur E( (c) Le problème est invariant par toute rotation autour de centre O. Toutes les fonctions scalaires associées au champ électrostatique (ses composantes mais aussi le potentiel) sont donc uniquement dépendante de la distance r du point M considéré au centre O. Ainsi, la fonction scalaire E(M ) n'est en réalité qu'une fonction de r et le résultat de la question précédente s'écrit : ~ M) = E(r) ~ur E( et le potentiel électrostatique : V (M) = V (r) 4. Il s'agit du champ et du potentiel engendrés par une charge ponctuelle +e : 1 ~ + (M) = E e ~ur 4πε0 r2 V + (M) = e 4πε0 r 5. α a la dimension d'une charge volumique et le même signe que ρe c'est à dire le signe négatif puisqu'il s'agit de rendre compte de la densité volumique de charge du nuage électronique. (β r) est sans dimension donc β a la dimension de l'inverse d'une longueur . Son signe doit être positif pour que la densité volumique de charge tende vers zéro à l'inni. 6. La densité volumique de charge ne dépendant que de r, la charge élémentaire contenue entre deux sphères de centre O et de rayons r et r + dr correspondra au produit de la densité volumique de charge en r, ρe (r), par le volume (4πr2 dr) de l'espace entre ces deux sphères : dq = 4πr2 α exp [−β r] dr 7. D'après la question précédente, la densité radiale λ(r) est : λ(r) = 4πr2 α exp [−β r] La dérivée de la fonction λ : r → λ(r) s'écrit : dλ = 4πα exp [−β r] 2r − βr2 dr qui s'annule en : r = r0 = 2 β 8. Le nuage électronique ne comportant qu'un seul électron, sa charge totale est : Qe = −e 9. On doit donc avoir : ˆ ˆ ∞ −e = ∞ 4πr2 α exp [−β r] dr = 4πα dq = r=0 r=0 ce qui correspond à la relation demandée : 2 2 β3 −e = 8π α β3 10. En utilisant les résultats des questions 7 et 9, on peut exprimer α et β en fonction de r0 : 2 −eβ 3 −e β= et α = = 3 r0 8π πr0 On en déduit l'expression de ρe en fonction de r0 : −e 2r ρe = 3 exp − r0 πr0 puis celle de λ = 4πr2 ρe : 2r e 2r 2 2r −4er2 λ= exp − =− exp − r0 r0 r0 r0 r03 11. L'expression obtenue pour λ montre que cette quantité ne dépend de r que par l'intermédiaire de la variable adimentionnée x = 2r r0 . C'est donc le graphe de la fonction λ : x −→ λ(x) = − re0 x2 exp(−x) que l'on cherche à représenter. On peut remarquer que : Si x 1 (c'est à dire r r0 ), alors λ(x) ∼ − re0 x2 : La courbe osculatrice à λ(x) au voisinage de x = 0 est une parabole dont la concavité est dirigée vers le bas. λ(x) est extrémal en x = 2 (c'est à dire r = r0 ; cf. question 7). limx→∞ λ(x) = 0 On obtient ainsi le graphe de la gure 1. 0 2 4 6 8 10 λ(x) 0 − re0 −2 re0 −3 re0 Figure 1 Graphe de λ(x) avec x = rr 0 12. La distribution de charge à l'intérieur du nuage électronique est à symétrie sphérique. Il en résulte, en adoptant le même raisonnement qu'à la question 3, que le champ électrique et le potentiel associés à cette distribution s'écrivent : ~ − (M) = E − (r) ~ur E 3 et V − (M) = V − (r) On utilise le théorème de Gauss en utilisant comme surface de Gauss Σ une sphère de rayon r et de centre O : ‹ ~ − · dS ~ = Q(r) Φ= E ε0 Σ ~ = dS ~ur . La surface Σ est une sphère. Donc dS ~ − = E − (r) ~ur . La distribution électronique est à symétrie sphérique. Donc E Le ux Φ s'écrit donc : ‹ E − (r) dS = 4πr2 E − (r) Φ= Σ On a donc : ˆ ~ − (M) = Q(r) ~ur E 4πε0 r2 avec Q(r) = r λ(u)du u=0 Si r r0 : 4e Q(r) = − 3 r0 ˆ ˆ 4e r 2 e 2r 3 2u u exp − du ∼ − 3 u du = − r0 6 r0 r0 u=0 u=0 r 2 donc : si r r0 ~ − (M) ∼ − e r ~ur E 3πε0 r03 Si r r0 : Q(r) ∼ −e donc : si r r0 ~ − (M) ∼ − E e ~ur 4πε0 r2 13. On obtient immédiatement : ~ − (r = r0 ) = − e [1 − 5 exp(−2)] ~ur E 4πε0 r02 14. Application numérique : E − (r = r0 ) ∼ −16, 6.1010 V.m−1 15. Pour r → 0, le champ et le potentiel du proton divergent. Donc, par superposition : limr→0 E(r) = ∞ et limr→0 V (r) = ∞ Pour r → ∞, le champ et le potentiel du proton et du nuage électronique tendent vers 0. Donc, par superposition : 4 limr→∞ E(r) = 0 et limr→∞ V (r) = 0 16. La charge −e du nuage électronique se distribue uniformément sur la surface de la sphère de rayon r0 dont l'aire est 4πr02 . Donc : σ0 = − e 4πr02 17. Pour r > r0 , la charge intérieure à une sphère de rayon r centrée en O est nulle. Par application du théorème de Gauss, on obtient que le champ électrostatique est nul et donc que le potentiel est constant. Comme ce dernier doit être nul à l'inni (cf. question 15), il est uniformément nul dans cette zone. En résumé : si r > r0 ~ = ~0 et V = 0 E 18. Pour r < r0 , la charge intérieure à une sphère de rayon r centrée en O est la charge +e du proton central. Par application du théorème de Gauss, on obtient que le champ électrostatique est : ~ = E si r < r0 e ~ur 4πε0 r2 19. En r = r0 , il y a discontinuité du champ électrostatique ce qui était prévisible du fait de la présence à cet endroit de charges surfaciques. 20. Les charges se distribuent en une charge ponctuelle en O et des charges surfaciques sur la sphère de centre O et de rayon r0 . Donc : si 0 < r < r0 ρ(r) = 0 21. En coordonnées sphériques, pour une fonction V ne dépendant que de r, le laplacien ∆ s'écrit : 1 d 2 dV ∆V = 2 r r dr dr Pour 0 < r < r0 , l'équation de Poisson s'écrit donc : 1 d 2 dV r =0 r2 dr dr qui s'intègre une première fois en : r2 dV =a dr et une deuxième fois en : 5 ⇒ dV a = 2 dr r si 0 < r < r0 a V (r) = − + b r 22. La continuité du potentiel en r = r0 s'écrit : 0=− a +b r0 −→ ~ = −− 23. Pour 0 < r < r0 , la relation E gradV s'écrit : e a =− 2 2 4πε0 r r ⇒ a=− e 4πε0 ⇒ b=− e 4πε0 r0 donc : si 0 < r < r0 e V (r) = 4πε0 1 1 − r r0 24. On obtient alors les graphes de V (r) (gure 2) et de E(r) (gure 3). V (r) r r0 Figure 2 Graphe de V (r) 25. En r = 0, il y a divergence du champ et du potentiel dus à la présence d'une charge ponctuelle. Pour r → ∞ le champ devient nul (éloignement inni de l'atome) de même que le potentiel (pas de charge à l'inni). En r = r0 , il y a discontinuité du champ à cause de la modélisation du nuage électronique par une distribution surfacique de charge. 6 E(r) r r0 Figure 3 Graphe de E(r) 2 Autour des diodes D'après MINES - MP - 2013 26. C'est l'équation de Poisson qui s'écrit ici : d2 V dx2 + ρ ε0 =0 27. Dans le champ de pesanteur, le poids d'un électron est une force dont le module est de l'ordre de 10−29 N. Dans l'espace interarmature d'un condensateur, on peut prendre comme ordre de grandeur de la norme du champ électrique celle correspondant au champ disruptif de l'air : 106 V.m−1 . La charge portée par l'électron étant de l'ordre de 10−19 C, il sera soumis à une force électrostatique de l'ordre de 10−13 N soit environ 1016 fois le poids. Le poids est négligeable devant la force électrostatique. 28. L'énergie potentielle d'une particule de charge q située en un point M de l'espace correspond au travail que doit dépenser un opérateur pour amener cette particule depuis l'inni (où le potentiel électrique est nul) jusqu'au point M considéré. Donc : ˆ M ~ · d~l Ep (M) = qE ∞ ~ · d~l = −dV et V (∞) = 0 : C'est à dire, puisque E Ep (M) = q V (M) 29. La force électrostatique est la seule présente (poids négligé). Donc le mouvement des électrons est un mouvement à énergie mécanique constante : 1 me v 2 (x) + (−e)V (x) = Cte 2 La plaque C (x = 0) est au potentiel nul : V (0) = 0 et la vitesse des électrons au voisinage de cette plaque est aussi nulle : v(0) = 0. Donc : 7 v(x) = q 2eV (x) me 30. Comme il y a un seul type de porteurs de charges (les électrons) la densité volumique de courant s'écrit : ~j = ρ(x)v(x)~ex Pour des électrons allant de C vers A, on aura v > 0, ρ < 0 et I > 0. Donc : q (x) I(x) = −Sρ(x)v(x) = −Sρ(x) 2eV me 31. En régime permanent, div~j = 0 ce qui est équivalent à dire que le ux de ~j se conserve le long d'un tube de champ de ~j . Donc : I ne dépend pas de x. 32. D'après les résultats précédents, on peut écrire : r I me ε0 a ρ(x) = − = −p S 2eV (x) V (x) L'équation de Poisson s'écrit donc : d2 V dx2 − √a V (x) =0 33. Comme le conseille l'énoncé, on multiplie cette équation par dV dx : " # " # p a d 1 dV 2 dV d2 V −p = − 2a V (x) 0= dx dx2 dx 2 dx V (x) Une première intégration conduit donc à : p 1 dV 2 − 2a V (x) = Cte 2 dx L'énoncé précise que V (0) = 0 et que E(0) = − dV dx (0) = 0. La constante est donc nulle, soit : p dV 2 = 4a V (x) dx Comme VA > 0, le potentiel est une fonction croissante de x : précédente conduit donc à : √ 1 dV =2 aV4 ⇒ dx Une nouvelle intégration donne alors : 3 V 4 (x) = dV dx > 0. L'équation √ 1 V − 4 dV = 2 a dx 3√ a x + Cte 2 La condition V (0) = 0 permet d'armer que la constante est nulle si bien que l'expression nale de V est : 8 V (x) = 3√ 2 a 4 x 3 34. Comme V (d) = VA , l'équation précédente montre que : VA = 4 3 3√ ad 2 c'est à dire, en remplaçant a par son expression : q 3 4Sε0 2e 2 I = 9d2 me VA 35. Cette équation a été uniquement démontrée dans le cas où les électrons sont accélérés de C vers A, ce qui correspond au cas VA > 0. Si VA < 0, Le champ électrique sera dirigé de C vers A et la force s'exerçant sur les électrons de A vers C. Ceux-ci ne pourront donc pas atteindre A : Le courant sera nul. 36. 37. Voir le graphe ci-dessus. 38. Les interactions entre électrons ont été prises en compte de manière partielle. En eet, c'est la présence des électrons qui engendre la densité volumique de charge ρ. Or celle-ci est directement liée aux variations du potentiel V dans lequel les électrons se déplacent sous l'eet de l'énergie potentielle −eV . Il y a donc une prise en compte de l'interaction électrostatique des électrons entre eux. Mais cette modélisation ne décrit pas les chocs entre électrons qui sont une autre forme d'interaction (à courte distance). 9