TD07 : Électrostatique Charges ponctuelles et cartes de champ

Lycée Naval, Spé 2.
TD07 : Électrostatique
Charges ponctuelles et cartes de champ
EM001. Potentiel dans le plan médiateur d’un doublet (*)
Deux charges ponctuelles identiques égales à qsont placées en Aet Bsur l’axe
(Ox)à une distance ade part et d’autre du point O. On note Vle potentiel
électrostatique créé en un point Mde l’axe (Oy)par ces deux charges.
x
A
y
B
q q
M(y)
O
1. Exprimer le potentiel Ven fonction de q,aet y.
2. En déduire l’expression du champ électrostatique au point M.
3. Déterminer directement le champ électrostatique en utilisant l’expression du
champ créé par une charge ponctuelle.
Réponses : 1 : V(M) = q
2πε0pa2+y2; 2 : ~
EA(M) = q
4πε0(a2+y2)~uAM
EM002. Analyse d’une carte de champ (**)
Le schéma représente les lignes de champ créées par cinq charges ponctuelles
numérotées de 1 à 5 de la gauche vers la droite.
Le champ est nul aux points A,B,Cet D.
Les lignes en traits épais issues de ces points sont également des lieux de champ
nul.
1. Déterminer les signes des cinq charges.
2. Analyser la symétrie du schéma. Quelles relations peut-on en déduire pour
q1,q2,q4et q5?
3. À l’aide du théorème de Gauss, déterminer la relation liant q2et q3.
Réponses : 1 : q3<0, autres charges positives ; 2 : q1=q5et q2=q4; 3 - q3=−2q2
EM027. Champ et potentiel (*)
La figure représente les lignes équipotentielles d’un champ électrique créé par
un ensemble de fils rectilignes, très longs et perpendiculaires au plan de la figure.
Déterminer une valeur approchée du vecteur champ électrique aux points A,Bet
C.
Réponse :k~ EkA'9×102V.m−1;k~ EkB'3,5×103V.m−1;k~ EkC'2,2×103V.m−1
Théorème de Gauss
EM003. Sphère chargée en surface (**)
Soit une sphère de centre Oet de rayon Rportant une densité surfacique σ
uniforme.
1. Déterminer les symétries du champ ~ E.
2. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique
en tout point de l’espace.
3. Vérifier la relation de passage à la traversée de la sphère, c’est à dire :
~
E(R+)−~ E(R−) = σ
ε0
~ur
1

4. Donner l’expression du potentiel électrostatique Ven tout point de l’espace.
Montrer en particulier que Vest constant à l’intérieur de la sphère.
Réponses : 2 : pour r < R,~ E=~ 0; pour r > R,~ E=σR2
ε0r2~ur; 4 : pour r≤R,V(r) = σR ε0
;
pour r≥R,V(r) = σR2
ε0r
EM004. Champ créé par une couche uniformément chargée (**)
Une couche plane infinie d’épaisseur eest délimitée par les plans z=−e/2et
z= +e/2. Elle est chargée avec la densité volumique uniforme ρ. On note ~ Ele
champ électrostatique créé par la couche en tout point Mde l’espace, repéré par
ses coordonnées cartésiennes.
e/2
−e/2
ρ
x
z
O
1. Montrer que le champ électrostatique est a priori de la forme ~ E=E(z)~uz.
2. Que peut-on dire de E(z)et E(−z)? Justifier.
3. En utilisant la surface de Gauss adéquate, exprimer E(z). On distinguera
les cas où le point Mest à l’intérieur ou à l’extérieur de la couche plane.
4. Tracer l’allure de la fonction E(z).
5. On fait tendre l’épaisseur de la couche plane vers e→0et la charge ρ→ ∞,
de manière à se ramener au plan (xOy)portant la densité surfacique de
charge σ=ρe. Exprimer, en fonction de σ, le champ électrostatique ~ E0créé
par ce plan et retrouver le résultat du cours.
Réponses :2:E(z) = −E(−z); 3 : pour z > e/2,E(z) = ρe
2ε0
; pour 0< z < e/2,E(z) = ρz
ε0
;
5 - z > 0~ E0=σ
2ε0
~uz;z < 0~ E0=−σ
2ε0
~uz
EM028. Potentiel de Yukawa (**)
On considère le potentiel électrique V(r) = q
4πε0re−r/a0avec r=OM des coor-
données sphériques.
1. Exprimer le champ électrique associé au potentiel Ven tout point de l’es-
pace.
2. En déduire la charge électrique Q(R)contenue dans une sphère de rayon R
centrée sur l’origine.
3. Déterminer Q(R)pour R→0et R→+∞.
Montrer que la valeur de la charge au centre est compatible avec l’expression
du potentiel électrostatique.
Réponses : 1 : ~ E(M) = q
4πε0r2e−r/a01 + r a0~ur; 2 : Q(R) = qe−R/a01 + R a0;
3 : limR→0Q(R) = q, et limR→+∞Q(R) = 0
Théorème de superposition
EM005. Pentagone incomplet (*)
Aux sommets d’un pentagone de centre Oet de rayon R, contenu dans le plan
(xOy), sont placées des charges ponctuelles identiques égales à q, à l’exception du
sommet situé sur l’axe (Ox)où il n’y a aucune charge. On note ~ Eole champ créé
par cette distribution au point O.
x
y
O
q
q
q
q
1. Quel serait le champ ~ E0
ocréé en Osi tous les sommets du pentagone étaient
occupés par la même charge q?
2. En considérant une superposition de deux distributions de charges équiva-
lente à la distribution considérée, déterminer très simplement le champ ~ Eo
en fonction de qet R.
Réponses : 1 : ~ E0
o=~
0; 2 : ~ Eo=q
4πε0R2(~ux)
EM115. Champ dans une cavité cylindrique (**)
On considère un cylindre de hauteur h, d’axe (O1z)et de rayon R1, uniformément
chargée en volume (densité ρ). On creuse à l’intérieur de celui-ci un cylindre d’axe
(O2z)et de rayon R2. La distribution de charges constituée par le cylindre évidé
a l’allure ci-après.
2

O1
O2
O1
O2
M
z z
+ρ
Déterminer le champ électrostatique régnant dans la cavité vide de charges.
Indication : on pourra considérer le cylindre évidé comme la superposition de
deux cylindres l’un de charge volumique −ρ, l’autre de charge volumique +ρ, et
appliquer deux fois le théorème de Gauss.
Réponse :~ E(M) = ρ−−−→
O1O2
2ε0
Condensateurs
EM024. Condensateur sphérique (**)
On considère deux sphères conductrices concentriques de rayons respectifs R1et
R2placées au potentiel V1et V2. Entre les deux sphères le milieu est assimilé au
vide.
Déterminer la capacité d’un tel condensateur par deux méthodes :
— en utilisant la définition de la capacité d’un condensateur ;
— en déterminant l’énergie stockée dans le condensateur.
Réponse :C=4πε0R2R1
R2−R1
EM117. Condensateur diédrique (**)
Les deux armatures rectangulaires en regard se déduisent l’une de l’autre d’une
rotation d’angle angle αautour de l’arête Ddu dièdre formé par les plans conte-
nant les armatures. Elles sont comprises entre les cylindres de révolution autour
de D, de rayons aet b > a. Leur largeur dans la direction parallèle à Dvaut h.
Les plaques sont respectivement aux potentiels V1et V2. On suppose h(b−a).
Un point Mde l’espace entre les armatures est repéré en coordonnées cylindriques
(r,θ,z).
1. On cherche des solutions du potentiel sous la forme V(r, θ) = f(r)g(θ).
Justifier que le potentiel est en fait une simple fonction de θque l’on notera
par la suite V(θ).
On rappelle l’expression du laplacien en coordonnées cylindriques.
∆V(r, θ, z) = ∂2V
∂r2+1 r
∂V
∂r +1 r2
∂2V
∂θ2+∂2V ∂z2
En déduire la loi V(θ).
2. En déduire l’expression du champ électrostatique dans l’espace inter-
armatures.
3. Tracer l’allure des équipotentielles et des lignes de champ.
On rappelle la relation de passage ~ E2−~ E1=σ
ε0
~n12.
4. Sachant que le champ électrique est nul au sein des plaques métalliques, en
déduire la charge surfacique σen un point de l’armature horizontale.
5. En déduire la capacité Cde ce condensateur diédrique.
Réponses : 1 : V(θ) = V1+V2−V1
αθ; 2 : ~
E=V1−V2
rα ~uθ; 3 : σ(r) = ε0(V1−V2) rα ;
4 : C=ε0h
αln b a
EM116. Ligne bifilaire (**)
Une ligne bifilaire est formée de deux fils conducteurs cylindriques C1et C2,
parallèles, de rayons respectifs a1et a2, dont les axes sont distants de d(avec
da1et da2), de grande longueur h(hd).
On note O1et O2les centres des deux cylindres et V1et V2les potentiels de chacun
des cylindres.
3

2a 12a 2
O1O2
O1O2
r1r2
h
d
M
r
O
θ
1. On appelle σ1et σ2les densités surfaciques de charge de chacun des cy-
lindres. Les cylindres sont en influence totale (les charges contenues sur les
deux cylindres sont opposées). Relier σ1,σ2,a1et a2.
2. Compte tenu des relations entre les différentes longueurs, on considère qu’on
a affaire à une situation de 2 fils infinis de densité linéique λ1et λ2. Exprimer
λ1et λ2en fonction de σ1et a1d’une part et de σ2et a2d’autre part.
3. Déterminer l’expression du potentiel V11 créé par le fil C1seul à une distance
r1de son axe.
4. En déduire l’expression du potentiel Vcréé par les 2 fils à des distances r1
et r2de chaque fil.
5. Déterminer la capacité par unité de longueur Cu=C/h de cette ligne bifi-
laire. On notera a=√a1a2.
6. Application numérique. On donne a1=a2= 1,0 mm,d= 2 cm, ε0=
8,85 ×10−12 F.m−1. Déterminer Cu.
7. Montrer qu’à grande distance des fils, au premier ordre en d/r, le potentiel
électrique est donné par :
V(r, θ) = −λ1
2πε0×dcos θ r
Réponses :1:σ1a1=−σ2a2;2:λ1=σ1×2πa1;3:V11(M) = −λ1
2πε0
ln (r1) + V01 ;
4 : V(M) = λ1
2πε0
ln r2
r1+V0; 5 : Cu=πε0 ln (d/a); 6 - Cu= 9,3×10−12 F.m−1.
Pour aller plus loin
EM036. Détection de gisements par gravimétrie (**)
On modélise la Terre comme une sphère de rayon Ret homogène avec une masse
volumique ρ.
1. Exprimer le champ de gravitation G0à la surface de la Terre.
On considère un gisement correspondant à un défaut d’homogénéité de la
Terre : dans une sphère de centre O0et de rayon R0, entièrement enfouie
dans la Terre à une profondeur h > R0, la masse volumique est ρ0< ρ.
2. Quelle est alors la variation relative de la norme du champ de pesanteur
au point Asitué à la surface de la Terre, à la verticale de O0? Commenter
l’influence de R0et de h.
Réponses : 1 : G0=Gρ ×4
3πR ; 2 : δG G0
=ρ0−ρ
ρ×R03 h2R.
EM010. Phénomène d’écran dans un plasma (***)
Un plasma est un milieu électriquement neutre macroscopiquement, mais dont les
atomes sont ionisés : il est donc constitué de cations et d’électrons. Il en existe des
naturels (foudre, ionosphère-aurores polaires, étoiles. . .) et des artificiels (lampes
fluorescentes, propulseurs de fusée. . .).
On considère un ion argon Ar+, placé en Oet pris comme origine. Du fait de
l’attraction coulombienne, on observe un surplus de charges négatives au voisinage
de cet ion. Soit V(r)le potentiel qui règne en un point à la distance rde O. On
peut montrer que les densités particulaires des charges positives et négatives sont
respectivement :
n+(r) = neexp −eV (r)
kBTet n−(r) = neexp eV (r) kBT
où neest la densité particulaire moyenne des électrons et cations, kBla constante
de Boltzmann et Tla température.
1. Justifier les expressions des densités particulaires.
2. Donner l’expression de la densité volumique de charges totale ρ(r)en M
(r6= 0).
3. Pour une fonction ne dépendant que de la variable r, le laplacien en coor-
données sphériques a pour expression :
∆V(r) = 1
r
d2rV (r)
dr2
En déduire l’équation différentielle vérifiée par le potentiel électrostatique.
4. On se place dans le cas des hautes températures kBTeV (r). Simplifier
l’équation précédente et la résoudre en posant f(r) = rV (r). On choisira
l’origine des potentiels à l’infini, et on utilisera le fait qu’au voisinage de l’ion,
le potentiel est essentiellement dû à Ar+. On fera apparaître une longueur
caractéristique λD, appelée longueur de Debye.
4

5. Pourquoi parle-t-on d’effet d’écran ? Calculer λDpour l’argon dans le cas
où ne= 3,0×1021 m−3et T1= 103K puis pour T2= 104K.
ε0= 8,85 ×10−12 S.I et kB= 1,38 ×10−23 J.K−1.
6. Calculer le champ électrostatique et en déduire la charge totale contenue
dans une sphère de rayon r. Étudier les cas limites rλDet rλD.
Réponses : 2 : ρ(r) = −2enesh eV (r)
kBT; 3 : 1 r
d2[rV (r)]
dr2=2ene ε0
sh eV (r)
kBT;
4 : V(r) = e
4πε0re−r/λD; 5 - λD,1= 2,8×10−8m,λD,2= 8,9×10−8m;
6 - ~ E=e
4πε0re−r/λD1 r+1 λD~ur;Q(r) = e×e−r/λD1 + r λD
EM030. Champ électrostatique et demi-cercle (**)
Un demi-cercle de rayon Rporte une charge électrique quniformément répartie.
Calculer le potentiel électrique et le champ électrique créé au centre du cercle.
ux
uy
O
Réponses : 1 : V(O) = q
4πε0R;~
E(O) = −q
2π2ε0R2~uy.
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