Enseigner une autre discipline : gestion et économie

Enseigner une autre discipline : gestion et économie
1 Mathématiques financières
1. Un capital est placé aujourd’hui sur un carnet de dépôt pour lequel le taux d’intérêt
annuel est de 3%. Après combien de temps ce capital aura-t-il triplé dans la théorie de
l’intérêt simple ? dans la théorie de l’intérêt composé ? dans la théorie de l’intérêt mixte ?
2. Un entrepreneur souhaite acheter une nouvelle machine. Il peut soit la payer au moment
de l’achat à 15000 unités monétaires, soit la rembourser par deux versements égaux de
7650 UM respectivement 1 mois et 2 mois après l’achat, le taux annuel d’intérêt simple
étant de 12 %. Quelle est la solution la plus avantageuse ?
3. On considère un emprunt de 100 000 UM remboursable en deux versements de même
montant échéant respectivement à l’issue du premier et du deuxième mois. Calculer la
valeur de chaque versement sachant que le taux d’intérêt annuel est de 9%.
4. M. Dupont décide d’acheter un nouveau lave-vaisselle. Le modèle choisi lui coûte seule-
ment 1250 UM grâce au fait qu’il a pu revendre son ancien pour 100 UM. Ne disposant
néanmoins pas immédiatement d’une telle somme sur son compte, il décide de contracter
un emprunt de 1000 UM remboursable en deux versements de 510 UM échéant respec-
tivement à l’issue du premier et du deuxième mois. À quel taux cet emprunt est-il sans
frais pour M. Dupont, lorsque l’actualisation est commerciale ?
5. Un principal de 100 000 UM est placé en capitalisation mixte, au taux annuel de 10%.
Après combien de temps la valeur acquise par ce capital sera-t-elle de 153 000 UM ?
6. Avant de lancer un produit nouveau, une entreprise fait une étude de marché et en dé-
duit qu’elle devra faire des dépenses nettes d’investissement pendant les deux premières
années. Ce produit nouveau devrait par contre lui procurer des recettes nettes pendant
5 ans et ce, dès la première année. Les recettes et dépenses prévues sont rassemblées
dans le tableau suivant (en une certaine unité monétaire).
Année Recettes Dépenses
1 2 10
2 3 5
3 4 -
4 5 -
5 6 -
(a) Cet investissement est-il rentable au taux 12% ?
(b) Calculer le taux de rentabilité de l’investissement (c’est-à-dire le taux pour lequel les
recettes actualisées sont égales aux dépenses actualisées).
7. M. Durand souhaite se constituer un capital retraite. Il dispose de revenus assez impor-
tants chaque mois et aimerait que ce capital atteigne les 100.000 euros. Quelle somme
1

doit-il épargner chaque année s’il lui reste 20 ans à travailler et que le taux annuel de
l’intérêt composé est de 6% ? Qu’en est-il s’il préfère économiser chaque mois ?
8. Une publicité annonce qu’un versement de 30 euros par mois pendant 15 ans peut rap-
porter 12 700 euros, le capital étant géré par des experts en placements dans un por-
tefeuille d’actions réparties dans le monde entier. En effectuant la moyenne des taux
de rendement obtenus pendant les 15 dernières périodes de 15 ans chacune (1973-1987,
1974-1988,. . . ,1987-2001), ils ont obtenu un taux de rendement moyen annuel de 10,6%
sur base duquel ils ont calculé le résultat annoncé ci-dessus. A vous de vérifier si cette
publicité “dit vrai”.
9. Une personne a emprunté 1 500 000 UM qu’elle doit rembourser par une annuité de 20
termes annuels égaux. Si le taux annuel de l’intérêt composé est égal à 7%, quel est le
montant de chaque versement annuel ?
Pendant la période de remboursement, cette personne hérite d’une somme importante et
décide alors de rembourser anticipativement ce qu’il lui reste à payer. Plus précisément,
quelle somme doit-elle ajouter au 12ème terme pour éteindre la partie restante de sa
dette ?
10. Un emprunt de 110 000 UM doit être remboursé par des versements annuels de 20 000 UM,
plus le cas échéant, un versement supplémentaire à effectuer un an après le versement
du dernier terme de 20 000 UM. Calculer le nombre de termes et la valeur du versement
supplémentaire. Le taux annuel de l’intérêt composé est de 6%.
11. Il y a quelques années (en septembre 2000) une marque de voiture proposait une formule
particulière de financement voiture nommée “50/50” :
— le paiement d’un acompte de 184 300 FB qui représente 50% du prix de la voiture,
— plus 24 mensualités de 999 FB,
— et finalement le règlement du solde 184 300 FB, c’est-à-dire l’autre moitié du prix de
la voiture, après 2 ans.
Le TAEG annoncé était de 6,70%. Pouvez-vous vérifier ?
Si l’acheteur de la voiture préfère opter pour une formule de financement plus classique
avec 24 mensualités après avoir payé un acompte de 15%, calculer le montant de chaque
mensualité en supposant que le TAEG reste 6,70%.
12. Un emprunt doit être remboursé par nversements, tous de valeur égale à la constante a
et effectués à la fin des npremières années. Pour calculer le TAEG, ou taux annuel effectif
global qui est noté i, le législateur belge propose une méthode itérative qui consiste, dans
une première étape, à remplacer la succession de nversements d’échéances différentes
par un seul versement, égal à la somme des nversements anon actualisés. Démontrer
que l’échéance qde ce versement unique obéit à la formule suivante :
q=ln(n·i)−ln (1 −(1 + i)−n)
ln(1 + i).
2

2 La loi de demande et la théorie de l’utilité
1. La demande individuelle d’un consommateur pour un bien xs’exprime, toutes autres
choses restant égales, par l’équation
Qx= 72 −6px
où pxreprésente le prix du bien.
(a) Etablissez le barême de la demande du consommateur pour ce bien.
(b) Tracez la courbe de demande individuelle de ce consommateur pour le bien x.
(c) Calculez la valeur de l’élasticité-prix de la demande du consommateur lorsque le prix
du bien vaut successivement 2,6,10. Quelles conclusions tirez-vous de vos résultats ?
2. Un consommateur disposant d’un revenu donné a le choix entre deux biens, du pain et
de la viande. On sait que l’élasticité-prix de la demande de viande est constante et vaut
-0.8. Supposons que le prix de la viande augmente, celui du pain restant inchangé. La
courbe de demande se déplace-t-elle alors et si oui, dans quel sens ?
3. Un consommateur est confronté au choix entre deux biens aet b. Sa demande pour le
bien as’exprime en fonction de son revenu Ret du prix de chaque bien :
Qa=−
R
5+ 25pb pa
Sachant que R, paet pbvalent initialement 60,5 et 4, calculez l’élasticité-revenu, l’élasticité-
prix directe et l’élasticité-prix croisée de la demande pour le bien a.
4. Parmi un ensemble de biens entre lesquels un consommateur a le choix, envisageons trois
biens : A,Bet C. La demande pour ces biens se formule de la manière suivante :
QA= 70 −
R
500 −10pA+ 5pC
QB= 120 + R
125 −8pB+ 8pA
QC= 90 + R
100 −9pC+ 4pA
Initialement, R= 5000, pA= 4, pB= 5 et pC= 2.
(a) Le bien Cest-il un bien inférieur, un bien normal et nécessaire ou un bien de luxe ?
(b) La demande pour le bien Best-elle rigide ou élastique ?
(c) Lorsque le prix du bien Adiminue, la dépense totale du consommateur pour acquérir
ce bien augmente-t-elle, diminue-t-elle ou reste-t-elle inchangée ?
5. La fonction de demande d’un consommateur pour un bien donnée zs’écrit :
Qz=R
10 +px−3py−2pz
Initialement, R= 1000, px=py=pz= 2.
3

(a) Qu’advient-il de la position de la coube de demande du consommateur pour le bien
zlorsque le prix du bien xdiminue ?
(b) Calculez l’élasticité-revenu de la demande pour le bien z. Quelle conclusion pouvez-
vous en tirer quant à la nature de ce bien ?
6. Pour un certain produit, la loi de demande est donnée par q=90
p
−2 et celle d’offre par
q=p−1, où qdésigne la quantité demandée ou mise sur le marché et ple prix unitaire
du produit. Représenter graphiquement et calculer le surplus du consommateur lorsque
le marché est à l’équilibre.
7. Le tableau ci-dessous exprime le niveau d’utilité totale d’un consommateur en fonction
de la quantité qu’il consomme de deux biens donnés Aet B.
❍❍❍❍❍
❍
A
B1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 10 25 38 48 56 62 67 71 74 76
2 25 43 58 71 82 91 98 103 106 108
3 38 58 74 88 98 106 113 118 121 123
4 48 71 88 103 113 120 126 131 135 137
5 56 82 100 115 126 133 138 143 147 148
6 62 91 108 124 138 145 150 155 157 158
7 67 98 115 130 144 154 160 164 166 167
8 71 103 121 135 148 160 166 170 173 175
9 74 106 124 138 151 162 170 175 178 180
10 76 108 126 140 153 163 172 178 182 184
(a) Supposez que ce consommateur dispose de 4 unités du bien B. Exprimez alors son
niveau de satisfaction en fonction de la quantité consommée du bien A.
(b) Déduisez-en, dans cette hypothèse (4 unités de Bconsommées), son barême d’utilité
marginale. Peut-on en conclure que la satisfaction retirée de la consommation du
bien Adiminue avec la quantité consommée ?
(c) Tracez sur un graphique les courbes d’indifférence de ce consommateur correspondant
aux niveaux d’utilité suivants : 71,98,106 (vous ferez l’hypothèse que les biens Aet
Bsont parfaitement divisibles).
(d) Notre consommateur dispose de 1 unité de Aet de 8 unités de B. Calculez son taux
marginal de substitution du bien Bpar le bien A. Que devient ce taux marginal de
substitution s’il dispose initialement de 4 unités de Aet de 2 unités de B? Quels ren-
seignements tirez-vous de ceci quant à la forme générale des courbes d’indifférence ?
(e) Le revenu du consommateur est de 24. Les prix des biens Aet Bsont respectivement
de 4 et de 2. Tracez, sur votre graphique, sa contrainte budgétaire et mesurez-en la
pente.
(f) Dites la quantité de chaque bien qui sera consommée par ledit consommateur si ces
biens ne peuvent être consommés que par unités indivisibles.
4

(g) Vérifiez ce résultat graphiquement. Dites ce que vaut le taux marginal de substitution
du bien Bpar le bien Aen la position d’équilibre du consommateur.
8. Un consommateur qui dispose d’un revenu de 20 a le choix entre la consommation de
deux biens, le pain et le vin pour lesquels le prix unitaire est de 2. On connaît le barême
de l’utilité marginale de chacun de ces biens pour ce consommateur.
Pain Vin
Unités consommées Utilité marginale Unités consommées Utilité marginale
1 14 1 15
2 12 2 13
3 11 3 12
4 10 4 8
5 9 5 6
6 8 6 5
7 7 7 4
8 6 8 3
9 5 9 2
10 3 10 1
11 2 11 0
12 1 12 0
(a) Quelle quantité de chaque bien ce consommateur va-t-il acquérir ?
(b) Que devient la position d’équilibre de ce consommateur si, le prix du vin restant
inchangé, le prix du pain vaut cette fois 1 ?
(c) Donner la valeur du taux marginal de substitution entre les deux biens envisagés en
la position d’équilibre du consommateur.
(d) Que devient la demande de pain lorsque le prix du pain prend successivement les
valeurs 0.5,1,1.5,3,4,5, celui du vin demeurant inchangé ? Déduisez-en la forme de
la courbe de demande du pain de ce consommateur.
(e) Que devient la demande du pain lorsque le revenu du consommateur est successi-
vement de 10,26,30,36, le prix du pain demeurant égal à 2 ? Quelles conclusions
pouvez-vous en tirer quant à la nature du bien en question ?
3 La théorie de la production
1. Une firme utilise un stock de capital constant égal à 10 unités de capital et elle peut
faire varier comme elle l’entend la quantité de travailleurs qu’elle emploie (court terme).
Capital et travail sont, par ailleurs, les seuls facteurs de production utilisés.
Le barême ci-dessous exprime la production de cette firme en fonction du nombre de
travailleurs.
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