ensembles 1 définitions d`ensembles de nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q

ensembles
1 dénitions d'ensembles de nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
N est l'ensemble des entiers naturels. N = {0, 1, 2, 3....}
Z est l'ensemble des entiers relatifs. Z = {..., −11, −10...0, 1, 2, 3....}.
D est l'ensemble des nombre décimaux, nombres qui s'écrivent avec une quantité quelconque, mais nie, de
chires derrière la virgule en base 10. D = {...0, 1...0, 569... − 0, 25...2569, 5...}
Q est l'ensemble des nombres rationnels, nombres que l'on peut représenter par des fractions de nombres entiers.
2,7
10
−58
Q = {..., − 11
1 ... 3 ... −256 ... 580 ...}
√
R est l'ensemble des réels. R = {..., −11, −10...0, 569... − 0, 25...0, 1, 2, 3...π... 10} √
√
C est l'ensemble des complexes. {..., −11, −10...0, 569... − 0, 25...0, 1, 2, 3...π...(1 + i 2)...e3i .... 10} ∈ C
2 ensembles munis d'opérations
2.1
groupe (E, •)
E muni d'une opération • tel que
a, b, c trois éléments quelconques de A
a•b∈A
⇔ loi de composition interne
(a • b) • c = a • (b • c)
⇔ associativité
∃e tel que a • e = e • a = a ⇔ élément neutre
a•b=b•a
⇔ commutativité
Un groupe est un ensemble
:
Soient
un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre
et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique.
Soit E ensemble. (E,
2.1.1
•)
groupe ssi :
∀(a, b) ∈ E 2 , a • b ∈ E
associativité ∀(a, b, c) ∈ E , a • (b • c) = (a • b) • c
élément neutre e ∀a ∈ E, a • e = e • a = a
élément symétrique ∀a ∈ E, ∃b ∈ E tel que a • b = 0
•,
loi de composition interne
3
exemple : les entiers
Un des groupes les plus communs est l'ensemble des entiers relatifs
Z
muni de l'addition.
Les propriétés suivantes de l'addition usuelle servent de modèle pour les axiomes de la dénition générale donnée
plus bas.
Pour deux entiers quelconques a et b, la somme a+b est aussi un entier. En d'autres termes, le fait d'additionner deux entiers ne peut jamais mener à un résultat non entier. On dit que l'addition est une loi de
composition interne.
Pour tous entiers a, b et c, (a + b) + c = a + (b + c). Littéralement, additionner d'abord a et b, puis ajouter
c au résultat donne le même résultat nal qu'ajouter a à la somme de b et c. Cette propriété est nommée
associativité.
Si a est un entier, alors 0 + a = a + 0 = a. Zéro est ce qu'on appelle un élément neutre pour l'addition, parce
qu'ajouter 0 à tout entier renvoie cet entier.
Pour tout entier a, il existe un entier b tel que a + b = b + a = 0. L'entier b est appelé l'élément symétrique
de l'entier a et est noté -a (pour l'addition, on dit aussi opposé.
1
2.2
anneau (A, +, ×)
Un anneau est un ensemble
A
muni de deux opérations, appelées addition (+) et multiplication(×).
(A, +)
est
un groupe commutatif. La multiplication est associative, distributive par rapport à l'addition, et elle possède un
élément neutre.
2.2.1
propriétés
Soient
a, b, c
trois éléments quelconques de




(a + b) + c = a + (b + c)
a+0=0+a=a
a + (−a) = (−a) + a = 0 


a+b=b+a
(a × b) × c = a × (b × c)
a×1=1×a=a
a × (b + c) = a × b + a × c
(b + c) × a = b × a + c × a
2.2.2
A
⇔ (A, +)
⇔ la
⇔ la
⇔ la
⇔ la
est un groupe commutatif
multiplication est associative
multiplication possède un élément neutre
multiplication est distributive à gauche par rapport à l'addition
multiplication est distributive à droite par rapport à l'addition
anneau commutatif
∀a ∈ A, ∀b ∈ A, a × b = b × a
2.2.3
corps commutatif
Un corps commutatif est un anneau commutatif pour lequel tous les éléments non nuls sont inversibles pour la
multiplication.
(A, +, ×)
2.3
corps commutatif
⇔ (A, +, ×)
anneau commutatif ET
∀a ∈ A∗ , ∃b ∈ A tq a × b = b × a = 1
corps (A, +, ×)
A muni de deux opérations, appelées addition (+) et multiplication(×). (A, +) est un
(A\{∅}, ×) est un groupe commutatif. La multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Un corps est un ensemble
groupe commutatif.
2.3.1
propriétés
Soient
a, b, c
trois éléments quelconques de




(a + b) + c = a + (b + c)
a+0=0+a=a
a + (−a) = (−a) + a = 0 


a+b=b+a

(a × b) × c = a × (b × c) 


a×1=1×a=a
−1
−1
a × (a ) = (a ) × a = 1 


a×b=b×a
a × (b + c) = a × b + a × c
(b + c) × a = b × a + c × a
A
⇔ (A, +)
est un groupe commutatif
⇔ (A\{∅}, ×)
⇔ la
⇔ la
est un groupe commutatif
multiplication est distributive à gauche par rapport à l'addition
multiplication est distributive à droite par rapport à l'addition
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