MÉCANIQUE NEWTONIENNE Cours

Jimmy ROUSSEL - ENSCR
MÉCANIQUE NEWTONIENNE
Cours
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Dernière mise à jour : 8 mars 2017

Table des matières
1 CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL 5
1.1 Tempsetespace ..................................... 6
1.2 Repéraged’unpoint ................................... 8
1.3 Vitessed’unpoint .................................... 10
1.4 Accélérationd’unpoint ................................. 14
1.5 Quelques mouvements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 POSTULATS DE LA DYNAMIQUE 20
2.1 LoisdeNewton...................................... 21
2.2 Interactions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Interactions phénoménologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 PROBLÈMES DE CHUTE 35
3.1 Le principe d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 La chute libre sans frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Chute libre avec frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 APPROCHES ÉNERGÉTIQUES 43
4.1 Leconceptd’énergie ................................... 44
4.2 Energie mécanique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Bilan d’énergie pour un système de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 OSCILLATEURS MÉCANIQUES 59
5.1 Notion d’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Résonances ........................................ 65
5.3 Effetsanharmoniques................................... 71
6 THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE 75
6.1 Momentd’uneforce ................................... 76
6.2 Momentcinétique..................................... 78
6.3 Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Applications........................................ 81
7 MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE 86
7.1 Loisdeconservation ................................... 87
7.2 LeproblèmedeKepler.................................. 91
7.3 Interaction coulombienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8 RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS 102
8.1 Référentiels en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2 Référentiels en rotation uniforme autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.3 Généralisation....................................... 110
9 PROBLÈME À DEUX CORPS 114
9.1 Réduction du problème à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.2 Exemplesd’application.................................. 117
10 PHYSIQUE DES COLLISIONS 124
10.1Loisdeconservation ................................... 125
10.2Collisionsélastiques ................................... 126
10.3Collisionsinélastiques .................................. 129
1

TABLE DES MATIÈRES 2
A RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 134
A.1 Equation différentielle ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.2 Equations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.3 Équation à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B CALCUL PERTURBATIF APPLIQUÉ AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 140
B.1 Principegénéral ..................................... 140
B.2 Méthode appliquée aux oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
C PÉRIODE DU PENDULE SIMPLE 145
C.1 Miseenéquation ..................................... 146
C.2 FormuledeBorda .................................... 146
C.3 Utilisation de la moyenne arithmético-géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
D LES CONIQUES 151
D.1 Introduction........................................ 152
D.2 L’ellipse .......................................... 152
D.3 Laparabole........................................ 154
D.4 L’hyperbole........................................ 155

Notations
Notations mathématiques
Symbole Signification
hA(t)imoyenne temporelle de A(t)
Vecteurs
−→
Avecteur
−→
uvecteur unitaire
k−→ Akou Anorme du vecteur −→ A
Azcomposante suivant l’axe Oz;Az=−→ A·−→ uz
−→
d`vecteur déplacement infinitésimal
Systèmes de coordonnées
R,R∗Référentiel, référentiel barycentrique
(x,y,z)coordonnées cartésiennes
(−→ ux,−→ uy,−→ uz)base cartésienne
(r,θ,z)coordonnées cylindriques
(−→ ur,−→ uθ,−→ uz)base cylindrique
(r,θ,ϕ)coordonnées sphériques
(−→ ur,−→ uθ,−→ uϕ)base sphérique
Dérivées
˙you dy
dtdérivée première par rapport au temps
¨you dy2
dt2dérivée seconde par rapport au temps
∂f
∂x ou f0
xdérivée partielle
Relations
≡relation de définition
f(x)'
x→∞g(x)donne le comportement asymptotique de f(x)lorsque x→ ∞
3

TABLE DES MATIÈRES 4
Grandeurs physiques
Nom Symbole Unité
Masse mkg
Masse molaire Mkg.mol−1
Masse volumique ρkg.m−3
Charge électrique qC
Aire Am2
Volume Vm3
Temps ts
Fréquence νHz
Période Ts
Vitesse v,m.s−1
Vitesse angulaire, pulsation ωrad.s−1
Accélération am.s−2
Quantité de mouvement pkg.m.s−1
moment d’une force MN.m
Moment cinétique LJ.s
Couple ΓN.m
Moment d’inertie/∆I∆kg.m2
puissance mécanique PW
raideur kN.m−1
Facteur de qualité Qsans dimension
Travail WJ
Energie EJ
Constantes physiques (source : 2014 CODATA)
Nom Symbole Valeur
Vitesse de la lumière c299 792 458m.s−1
Constante électrique 1
4π08 987 551 787m.F−1
Perméabilité magnétique du vide µ04π.10−7H.m−1
Constante gravitationnelle G6,674 08(31).10−11 m3.kg−1.s−2
Charge élémentaire e1,602 176 6208(98).10−19 C
Constante de Planck h6,626 070 040(81).10−34 J.s
Nombre d’Avogadro NA6,022 140 857(74).1023 mol−1
Masse de l’électron au repos me9,109 383 56(11).10−31 kg
Masse du proton au repos mp1,672 621 898(21).10−27 kg
Masse du neutron au repos mn1,674 927 471(21).10−27 kg
Constante de Boltzmann kB1,380 648 52(79).10−23 J.K−1
Constante des gaz parfaits R8,314 4598(48)J.K−1.mol−1