Extensions de représentations linéaires de groupes de Lie

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
J EAN D IEUDONNÉ
Extensions de représentations linéaires de groupes de Lie
Séminaire N. Bourbaki, 1956-1958, exp. no 159, p. 309-318.
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Séminaire BOURBAKI
(Décembre 1957)
EXTENSIONS DE
REPRÉSENTATIONS
LINÉAIRES
DE GROUPES DE LIE
par Jean DIEUDONNÉ
HOCHSCHILD et MOSTOW
1. Préliminaires et notations.
Sauf mention expresse du contraire, il s’agit de groupes de Lie réels. Soit p
représentation linéaire d’un tel groupe dans un espace vectoriel V de dimen-
une
sion
(s.f)(t)
par
l’espace C(G)
d . Dans
rets)
=
sont les fonctions
et
on a
R( r)
engendré
est
la
somme
V
de
il revient
quels
au
aussi ; si
dans
restrictions à
est alors
sous-K-module
R
connexe
K
G .
P
V)
dual de
donc le sous-espace
par G à droite et à
l’application
x
-7 (e
i
... ,
)
e
x,e n
d
(R( P ) ) ,
G-modules
G-module
simples figurant
comme
P~
on
quotients
dans
unipotente,
il
en
R( ~ ) .
K
est
de P
simple
de
rentielle d’une
Si
un
radical,
est
représentations unipotentes
de même de la représentation
sous-groupe de G ~
et 03C1’, 03C1’K = 0
K
de
de
est
est
distingué
semi-simple (il
K-module
est le
la
Sous-représentations, représentations quotien ts~
produits tensoriels
est vraie si
un
V*
x’ E
si P’
est
F
dante de G
gauche
V ;
désigne par
représentation
=
correspondant à V’ , et on dit que r est unipotente
0;
même de dire qu’il existe un entier n tel que
directes et
réciproque
f(st) ;
(x c V ,
G
que soient les
sommes
dans
directe des
x’ >
à
les coefficients de
P
V* ,
base de
une
=
opère
G
G~
sur
X~x~’t ’est stable
coefficients de
suite de Jordan-Holder du
linéaire de
Si
est
G-monomorphisme
V’
et
t
es
,
un
Soit
une
-~ 9X x~(s) _ ~ P(s)x ~
s
par
(e~)
gauche. Si
(f.s ) (t)
et à droite par
=
1
des fonctions continues
S~
et les
D(G)
entraîne que
dans
G~
car
est réunion des
r(s)T
sont des
FK
tout
représentation semi-simple
309
est
une
correspon-
les
unipotente. Tja
simple S
G-module
f (8)T ,
où T
est
un
K-modules).
le groupe des commutateurs de
contenue dans le noyau de
est
le sont
G ~ la composante
effet, la différeprésentation semi-simple de
en
l’algèbre de Lie g de G et on sait que
à l’algèbre de Lie de R) est contenu dans
de
simple
existe
une
le que
V
G
dans
sous-groupe G ~ une représentation
espace de dimension finie V . Il s’agit de savoir s’il
un
représentation 03C3
connexe
K
de
K~
dans
un
un
espace de dimension finie W ~ V telà G et que la représentation de
soit stable par la restriction de 0
définie par cette restriction
V
MOSTOW donne
H.G
semi-
‘
groupe de Lie
un
de
linéairs 03C1
dans
représentation
d’extension.
On se donne
G
égal
radical de
~’ .
problème
2. Le
( Y’
le noyau de toute
une
réponse
(G distinguée
H
à cette
est
question lorsque
un
produit semi-direct
K) :
fermés dans
G
et
Le travail de HOCHSCHILD et
soit P .K
,,
THEOREME 1. - Pour que
r
puisse être étendue
il faut et il suffit que l’on ait
posante connexe du radical de G).
ser
Lorsqu’il
que la noyau de c-~1 contient celui de
en
C (G) :
si
C (G)
f E
suffisant
~ h 6H~
vérifie que l’on a u.(v.f)
que les transformée des f 6
on
on
R( f )
d’où
finie,
une
tion r de
C
répondra
K
dans
à la
On démontre
1° Soit
tout
h
que la
S
eH,
représentation
+
sous-groupe
il existe
composante
G/R déduit
de
K
de
on
pose
pour
u ,
K
par
R,
(com-
outre suppo-
dans
K
les
opérateurs
( (hs ) .f ) (y)
un
=
espace
un
étant
de
l’espace
f(h-1yhs) ,
con-
et
U
de dimension
représentaG-monomorphisme,
et par suite aussi
est
G
Supposons prouvé
K .
dans
v
engendrent
U,
le radical de
1,
V ~ (R(03C1))d ~ Ud
comme
K,
une
question.
dim U
est le groupe des
de
Ud ;
G~
= (uv).f
x e:
de
P~.
étend d’abord à
E
s
pour y ri K et
ainsi, on peut .en
est
La nécessité résulte de la remarque finale du n°
tenu dans celui de K .
Pour démontrer la
représentation 03C3
en une
oo
en
étapes :
semi-simple maximal
z 6 G
connexe
2
tel que
du groupe des
hz
G . On montre d’abord que pour
de
semi-simple G/R
considérant l’automorphisme
automorphismes
automorphismes intérieurs,
x --~ h^~ x h , il existe
pour tout sES. D’autre part,
R tel que ce groupe soit
r C
mais cela s’écrit
S . On remarque d’abord
centralise
donc
S(hu)
en
u ~ G
étant
du groupe
tel que
conjugué
on
(hu)
de
S,
conclut que
R
il existe
donc
(LEVI) ,
répond
S
et
s --a
h.f
=
connexe
à la
x(hz) . On a
parcourt H ~ les a
satisfaisant
a E A
peut
G
Alors
consiste à
aux
a , où
o
ensemble
un
problème
un
G
voit que
z
=
ur
a, pour tout
R( )
A
si
f=
R( P ) ~
et lorsque
d’automorphismes analytiques.de
G
R
en
On peut donc supposer G
pour tout x ~ G et tout
d’un
et si
A , lorsque
G,
relevant
(LEVI-MALEV) ;
utilisant la
a e
et ceci est combinaison linéaire des
G. On montre
R,
S
en
premier
et les
G).
de
connexe
=
(en
connexe
est combinaison linéaire
x e
l’automorphisme
est
concernant que
ne
simplement
se ramener au cas
de
a
~
produit semi-direct S.R
est
indépendantes
on
forment
supposer
P(a(x))
si
(z .f.z)
revêtement simplement
au
on
est discret
conditions suivantes :
On est donc ramené à
lieu qu’on
S n R
Comme
continue,
évidemment
x --3
G,
précédent.
question.
2° On écrit alors
h
par le résultat
R
aussi à
appartient
la,seconde réduction
première
condition
nombre fini de matrices
1T est la
(1) :
Fï(x)
projection S.R
et des
produits de
et f’ (a(x))
résoluble simplement connexe,
composante connexe T du noyau de fi est
alors un sous-groupe nilpotent distingué simplement connexe, contenant le groupe
des commutateurs de G . Soit ~’ l’algèbre de Lie de T ; l’application exponentielle est
et g
il leur
un
une
a e
homéomorphisme
de g
suite croissante
correspond
produit
chacun est
une
A . La
sur
d’idéaux
G , appliquant 1
t+
RX1 ,
sur
t
... ,
T . Insérant entre
+ RX1 +
...
suite croissante de sous-groupes entre T et G ~ dont
précédent et d’un groupe à 1 paramètre, d’où
semi-direct du
G tel que, pour Z = U
t. X. ~
d; de QT
y*
exp(U) exp(tl Xl)
exp(tn Xn ) . Soient a 8
ti réels ~
ait
t(Z)
entra!ne
les différentielles de
un
homéomorphisme
=
on
a
a’ (Xi) = Ai + X.
+
sur
avec
...
l’hypothèse
Soit
sur
q
a’( r ) G r
a
une
base
et
posons
Développant (2) on obtient une série absolument convergente dont chaque terme est
un produit (non commutatif) d’un certain nombre de matrices
d’un
Si
et
J
.
~
de certains des
produit
a.k et bjk, dont le degré total est égal au nom-
p
bre
des facteurs
r
et
et d’un monôme par rapport aux
1
le produit de plus de d matrices de
03C1T étant unipotente,
P °()
comme
est
ti
~j ,
idéal dans
un
1
lequel figurent plus de d seuls
p~ figurant dans (2)
qu’ils
sont
fonctions
en
nombre
analytiques
de prpuver que
dim U
de
ceux
produit
n~
degré
total
et
est
de
a ~
conclut que les
en
et par suite
1,
A,
nul ;
dans
(Z)
sont des matrices
p~‘
indépendantes
u~ ~
r ~ d -
Or
u..
03C1°()
et
des 03BEi
est donc nul. On
les coefficients des
ti
+
03C1°(g) ,
facteurs
sont
fini ;3
des
tout
anx
qui achève
ce
oo .
Reste à démontrer la dernière assertion. On voit d’abord que le noyau N
=
est normal dans K et non seulement dans G . Car si
1 ~ x = sr , s ~
de f
P~(x)
r ~ R ~
on a
d’où
appliquant l’hypothèse
en
fit par suite de montrer que
combinaisons de fonctions
y-1
xy ~ N
/
et
x. (y.f )
=
~"N
y.f ~
y.
P~,
est
sur
(y 20141
avec
1 .Il suf-
=
unipotente ;
y ~ K et f
xy.f) ;
comme
il y
or
S,
les éléments de
U
sont
e R( f) ; si
a un
nombre
n
tel que
B
THEOREME 2. - Pour que la
unipotente,
il faut et il suffit que
simplement
unipotente
connexe
adjointe de
et
est que la
K
(f construite dans le théorème 1 soit
le soient. Si G est nilpotent
représentation
et 03C3H
p
unipotente,
une
p
représentation do
condition suffisante pour que
soit
déduite de la représentation
03C3H
H
dans g
soit unipotente.
All’aide dos formules
(1 - hx)
=
h(l - x)
+
(1 - h),
(1 - x)h
=
h(l -
(1 - x)(l - h)
=
produits de
x. ~
la forme
dans le
premier produite
=0
il y
moins
a au
et on
m
donc de
a
facteurs
degré ~
d
Comme la
marne de
sur
degré
m
de
a
=0,
(1 -
d’où la
"-
donc
t
dans
première
et
m
(1 - hi x.)
assertion. Pour
que
représentation h --a Ad(h) de H dans ~ est unipotente, il en
la représentation de H dans l’espace des polynômes de degré ~ d
3. Application
x.)
est le nombre des
part, lorsque
d’autre
.~(~ -
t
où
-"
P’(Z) ;
en
Ad(h-1)
d
dans cet espace de
On
TT[1 -
produit
l’application exponentielle est un homéofo exp est un polynome de degré
G ; pour
coordonnées dans g puisque
(exp(Z)) est un polynôme de
f
il en est de morne pour f 6 U , car
aux
telle que h.P = P o
variants de degré
U
voit que tout
consécutifs de la forme
démontrer la seconde, remarquons
û’
on
h’i))((1 - x’j)) ,
est le
Si
lorsque t m ;
nouveau
morphisme de
(d par rapport
xh) ,
h
h.
1=1
dans 1 t algèbre de groupe de K est combinaison linéaire de
G)
(h. e H,
1
(1 - x) - h(l -
au
sur
(plonger
C() . leComme
des
f ~ f
o
exp
sur
l’espace des tenseurs coest un H-monomorphisme de
théorème est démontré.
polynomes,
problème
cet espace dans
est de
représentations fidèles.
peut appliquer les théorèmes
1 et 2 à la démonstration du
résultat
connu
sui-
vant :
THÉORÉME
connexe
que
en
G
3
Soient
S
R
La nécessité étant
(E. CARTAN) Si
tion linéaire
N
de
un
groupe de Lie connexe,
R
la composante
semi-simple maximal de G. Pour
sous-groupe
son radical.
admette une représentation linéaire fidèle il faut et il suffit qu’il
de
soit ainsi de
1°
G
et
S .
évidente,
G
connexe
un
la suffisance
se
démontre
en
3
étapes
est résoluble et simplement connexe, il
fidèle, unipotente
G. On raisonne par
a une
représenta-
dans le
plus grand sous-groupe nilpotent connexe
récurrence sur dim G ; le centre Z de N est connexe
(la représentation adjointe de N étant unipotente), simplement connexe[1] et non
trivial, on a donc une représentation 03C1 de G de noyau Z , unipotente sur N .
D’autre part, on a une représentation fidèle 6~G de Z ; on passe de Z à N ~
à
N
de
puis
G
cessivement
Z
et
N
entre
N
et r
G
et
une
(ce qui
et G ,
répond
produits semi-directs, et on étend sucreprésentation de G ~ en appliquant le théorème 2 entre
une représentation unipotente sur
N) puis le théorème 1
une
une
donne
succession de
à la
D(G)
utilisant le fait que
en
fidèle dans
G
(GOTO [4])
2°
à
f’ 0
d’ de
tion
par
Z
et
unipotente
C N . On
dans
N~
a
ainsi
et la
une
représenta-
directe de
somme
question.
Si la composante
simplement connexe, et si
connexe
T
S
une
admet
f
D(G) est fermée dans
représentation fidèle, G admet
du radical de
représentation fidèle.
Il est immédiat que
T
est la
composante
connexe
de
D(G)
R/T
donc
est
et par suite est abélien
abélien,
puisque connexe,
M de
réciproque
vectoriel
;
l’image
v~
tore,
V dans R est telle que T et M/T soient simplement connexes, donc il en est
de même de M . Utilisant 1°, on peut donc définir une représentation fidèle de
M qui est unipotente dans le plus grand sous-groupe nilpotent connexe de M,
donc dans T . On applique ensuite le théorème 1 pour obtenir une représentation
P. de R qui est fidèle sur M et unipotente sur T . D’autre part, comme
R/M = A , des raisonnements dûs à IWASAWA [7, exp. 22 p. 4 et 16] prouvent que R
est produit semi-direct B.M ~ où B est compact ; il y a une représentation
de R de noyau M ; la somme directe
fidèle de B ~ donc une représentation
est une représentation fidèle de R unipotente sur T .
de
P1 et
localement
R/T
soient
isomorphe à
=
A
un
groupe
A
x
V
espace
f2
P2
f
On forme alors le
par le théorème 1
a une
neyau
produit
on
semi-direct
étend 03C1
représentation fidèle
R ~ la somme directe
de
de
S.R ~
avec
représentation 6’1 de S.R ; comme il y
S ~ il y a une représentation 6’z de S.R de
~1 et ~’2 est une représentation fidèle de
à
une
S.R .
le noyau de
Enfin,
(S n R).(S n R) ,
et
est dans le centre de
a.
Si
un groupe
eet fini
b. Si
une
l’épimorphisme
S fi R
comme
S . On
semi-simple
naturel de
est discret
applique alors
oonnexe
S.R
(LEVI)
sur
et
G
est contenu dans
distingué
dans
S~
son
centre
il
2 lemmes de Goto :
a une représentation fidèle,
[3] .
un groupe de Lie
G
admet un
représentation fidèle, alors G/P
sous-groupe
admet
une
distingué
fini
représentation
P
et
fidèle
possède
[4~.
3° On
2° sont
voir enfin que sous les hypothèses du théorème 3, les conditions de
remplies . Par le théorème de Lie, toute représentation de R est unipova
D(R)
l’image de R’ par cette représentation, étant contenue dans un groupe de matrices triangulaires unipotentes (qui est simplement
connexe) est fermée dans le groupe linéaire général et simplement connexe. Si R
admet une représentation fidèle, R’ est donc fermé dans R et simplement
tente dans
donc
R~ ~
=
Les mêmes méthodes d’Iwasawa prouvent que
connexe.
groupe distingué fermé simplement
M
façon à
de
mé et
G’
distingué
D(G) ;
=
Pour cela
Comme
donc
bre
avoir
A
0
G
contenant
R’ . On
regarde d’abord les algèbres de
compact, la représentation adjointe
somme
directe
de ~ CY, ~ ~ ~
de
dans 0(
X~
et du centralisateur
(somme
est
B
directe ) . soit §
non
dans
G
et tel que
G
de
R
=
est donc
il est clair que
R/R’
de
Alors
B
il
en
son
et
~
idéal
pas fermé
(peut-être
l’algèbre de Lie
B~
produit direct
qui contient B/R’
B/R’ s’y relève en
cause
un
;
un
au
de
Si
la
priori),
a
T est
AR’/R’
et de
revêtement sim-
sous-espace vectoriel
supplé-
redescenalgèbres
Lie)~
R/R’ (l’application canonique sur
de
donc
en
noyau contenu dans le relèvement de
B/R’
et
ce
qui achève la démonstration du théorème 3.
R’
et
sont
simplement
Le théorème 3 ramène la question de la représentabilité aux groupes
part (en vertu du lemme b.) ~ aux groupes résolubles de l’autre.
A.
adjointe
TCB.
G
comme
est
de
donc
du tore
remontant
des
est fermé dans
revêtement universel à
est de même de
est
ARJ/R’ (à
B/R’
est fermé dans
sous-algè-
un
correspondant
AB . En outre
R/R’ qui
mentaire du revêtement de
dans ~ ;
une
où
~i~~+~~ ~r ~_~~ ~~ ~+~~ ~r ~ C~
l’espace vectoriel M/R’
plement connexe de R/R~
de
dans 51 ; 03B1 + [r , r]
~~ ~ 1^ ~ r ~ - 0 ; comme la représentation
connexe
On considère maintenant
G ~ R ~ A .
est semi-simple
donc maximale
complètement réductible, on a r =
un S .~nodule~ la somme étant directe ; b
le sous-groupe
distingué
sous-
modifier
de
A
dans ~‘ est
de S
va
B
danset p ,
et b
M
tore et
on
semi-simple maximale
-sous-module dans ~
soit
A
A,M ~
ayant les mêmes propriétés mais étant en outre feret contenant la composante connexe T
du radical de
groupe
dans
R
de
=
alors les conditions de 2° seront bien vérifiées.
est
est
un
connexe
R
connexes
simples
d’une
Groupes simples.
G
est
un
complexifiée
groupe
simple (réel)
de cette
connexe~ ~
dernière, gC
son
algèbre
de
peut n’être pas simple
Lie,
ou
~L
dans
le
premier cas, il existe
l’algèbre h
soit
Premier
algèbre de Lie simple complexe (~
comme algèbre de Lie réelle [2] .
une
considérée
Soit
K
le groupe compact
telle
que
ayant pour algèbre
fidèle
dans un groupe
représentation
de $ ;
unitaire U(n) C GL(n , C) ; les matrices de l’algèbre de Lie de K sont donc
antihermitiennes, et une base de cette algèbre est par suite linéairemment indépendante sur £. ; dans GL(n ~ ~) il correspond donc à cette algèbre de Lie
de Lie
une
cas. -
forme
complexifiée (isomorphe
se
22]
K
que
K
compacte
à )~ )
un
est sous-groupe
simplement
connexe
a une
groupe de Lie
complexe
compact maximal de
KC ;
et que
KC
on
K
au
Second
cas. -
Soit GC
le groupe
complexe simplement
réel correspondant
G le sous-groupe de Lie
gC
,
représentation fidèle (voir
ci-dessus ),
G
un
dans
groupe
un
g ~ g (n , R) devient
groupe simple complexe
GCest~ Gç restreinte à G ,
d’oxdre
au
Lie g ,
en
est de
admettant
dans
gC ,
même
une
expo~
donc est
Lie
simple-
(réel)
d’algèbre
connexe
de
Lie
comme G., admet une
de G . Sàit maintenant
représentation fidèle
GL(n ~ Ç~) ,
une
base de
gC
un
correspond donc à
connexe
L’application canonique
GC C GL(n ,
donne un homomorphisme G ~ G ; le centre de G
Pour que tout groupe simplus égal à celui du centre de
une
donc
il
simple d’algèbre
F~) 9 plongeant GL(n , R)
de
connexe
à sr ;3
[7 ,
l’espace topologique
et d’un espace vectoriel,
homéomorphe
produit de
KC
ment connexe. On en conclut (lemmes
b.) que tout groupe de
d’algèbre de Lie g admet une représentation fidèle.
est
sait
base de
et il
C) .
.
Ple d’algèbre de Lie
soit représentable, il fôut et il suffit donc que G
SI
soit simplement connexe ; ce n’est pas toujours le cas, comme le montre l’exemple
G - SL(2 , C), G = SL(2 9
Bo
Groupes
THÉORÈME
4
2°
[4
admet
D(G)
DBG)
(E. CARTAN).
°
résolubles.
suivantes sont
1 ° G
R)
Soit
G
un
groupe de Lie connexe
résoluble.
Les conditions
équivalentes :
une
représentation fidèle ;
est fermé et
simplement connexe ,.
3°
simplement connexe ;
4° le centre de D(G) est connexe et simplement connexe ;
5° si A est un sous-groupe compact (tore) maximal de G , A n D(G)
e ;
6° il existe un sous-groupe compact (tore) maximal A et
un sous-groupe fermé
N
G
connexe
tels
que
soit produit semi-direct A.N .
distingué simplement
est
=
On
a vu
que 1° entraine 2° dans la démonstration de 3° du théorème 3. 2°
en-
traîne 3° trivialement, et comme tout sous-groupe nilpotent connexe d’un groupe
résoluble simplement connexe est fermé ~1~ ~ 3 ° ~ 2 ° . Comme le centre d’un
nilpotent simplement connexe est connexe et simplement connexe, 2° ~ 4° ;
d’autre part, si le centre d’un groupe résoluble est connexe et simplement
connexe, tout sous-groupe nilpotent connexe est simplement connexe et fermé, comme on le voit en passant au revêtement universel ; donc
4~ =~ 2° . Comme un groupe nilpotent simplement connexe ne peut contenir de sous-groupe compact / e ,
2° ~ 5° . Supposons 5° vérifiée ; si ~G est l’algèbre de Lie de A ~ on peut
directe où n ~
QG
], et le revêtement univergroupe
écrireG gest=
sel
de
A ;
donc
un
G ~ /D
on a
rement
sans
[g , Ag
~.N ~
semi-direct
produit
où
est le revêtement universel
où
D
est discret dans le centre de
quoi
A
ne
serait pas
N
dans
G
de
A~
donc
un
G,
et
on a
nécessai-
compact maximal ;
sous-groupe
on en
simplement connexe et que G = A.N
est produit semi-direct, autrement dit 5° ~ 6° . Enfin, supposons que 6° ait
lieu ; d’après la partie 1° du théorème 3, N admet une représentation fidèle,
unipotente dans le plus grand sous-groupe nilpotcnt de G ; le théorème 1 s’applique et prouve qu’il y a une représentation de G ~ fidèle dans N . Comme il y
conclut que
a une
l’imago
N
de
représentation fidèle
on
conclut
4.
Remarques.
comme
d’ordinaire que
HOCHSCHILD et MOSTOW démontrent
les
algèbres
rapide
on
de
Lie,
d’où
suppose
HG ,
représentation de G de
une représentation fidèle.
une
G
admet
un
analogue infinitésimal
(utilisant
LEVI-MALCEV)
du théorème d’Ado. Ils ont aussi
K =
est
mais seulement
une
H ~ G
du théorème
ils obtiennent
généralisation
compact.
noyau
une
N~
l’pour
démonstration
du théorème 1
au cas
où
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