EXERCICE 4 Candidats ayant suivi l`enseignement de spécialité 5

EXERCICE 4
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
5 points
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On considère la suite (u n ) d’entiers naturels définie par u0 =14
u n+1=5u n − 6 ,∀ n∈ℕ
1. Calculer u1 , u 2 , u 3 et u 4 .
On calcule avec la définition : u 1=64 ; u 2 =314 ; u 3=1564 ; u 4 =7 814
a) Recopier et compléter le tableau suivant :
u 0 ≡ 14 [ 100 ]
u1 ≡ 64 [ 100 ]
u 2 ≡ 14 [ 100 ]
u 3 ≡ 64[ 100 ]
b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de u n ?
u 4 ≡ 14 [ 100 ]
On peut conjecturer que u 2p se termine par 14 et donc u 2p ≡ 14[100 ] et u 2 p+1 se termine par 64 et
u 2p+1 ≡ 64[ 100] .
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, u n+2 ≡ u n [ 4 ] .
En déduire, par récurrence immédiate, que pour tout entier naturel k, u 2k ≡ 2[ 4 ] et u 2k +1 ≡ 0[4] .
u n+2=5 u n+1 − 6=5(5 u n − 6)− 6=25 u n −36 = u n + 24 u n −36 = u n + 4(6 u n−9) avec 6 u n−9 entier.
donc u n+2 ≡ u n [ 4 ] .
Or u 0=14=4×3+2 , donc u 0 ≡ 2[ 4 ] , on en déduit par transitivité , puisque u 2 ≡ u 0 [ 4 ] , u 2 ≡ 2 [ 4 ] de
même pour u 4 , u 6 etc... Pour tout entier naturel p, u 2 p ≡ 2[ 4] .
(Vous savez rédiger comme il faut la récurrence)
De même, u 1=64=4×16 , donc u 1 ≡ 0[ 4 ] donc u 2 p+1 ≡0 [ 4] , pour tout entier naturel p.
n+2
3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2u n =5 +3 .
n+2
Soit la proposition P n « 2 u n =5 +3 »
Initialisation : 2 u 0=2×14=28 et 52 +3=28 donc P 0 est vraie.
n+2
n+3
Hérédité : supposons que pour un entier n donné on ait 2 u n=5 +3 , montrons qu'alors 2 u n+1 =5 +3 .
Calculons :
2 u n+1 =2 (5 u n − 6)=5×2 u n −12 = 5(5n+2 +3) −12=5n+3 +15−12 = 5n+3 +3 .
La proposition est donc vraie au rang (n +1). L'hérédité est vérifiée.
n+2
Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, pour tout entier naturel n, 2 u n=5 +3
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, 2u n ≡ 28[ 100 ] . Peut-on simplifier par 2 et affirmer que, pour tout
n , u n ≡ 14[ 100 ] ?
52 =25 ≡ 25 [ 100 ] , 53=125=100+25≡ 25[ 100 ] .
Montrons alors par récurrence rapide, que pour tout n entier naturel, 5n+2 ≡ 25[ 100 ]
L'initialisation est faite ; supposons que pour un n donné , 5n+2 ≡ 25[ 100 ] , alors , en multipliant par 5
nous obtenons 5n+3 ≡125[ 100 ]≡ 25[100 ] , l'hérédité est vérifiée.
Conclusion : pour tout n entier naturel, 5n+2 ≡ 25[ 100 ]
On a donc 2 u n ≡ 25+3[100 ] donc 2u n ≡ 28 [ 100 ] .
Nous savons que la division n'est pas compatible avec les congruences et la question 1 nous donne des
contre-exemples avec u 1 par exemple qui n'est pas congru à 14 modulo 100.
4. En utilisant les résultats de la question 2 et de la question 3 b, prouver la conjecture faite à la question 1
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sur les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de u n suivant les valeurs de n.
Nous allons utiliser : pour tout entier naturel k, u 2k ≡ 2[ 4 ] et u 2k +1 ≡ 0[4 ] et pour tout n, 2 u n ≡ 28[ 100 ]
♦ Si n=2 p avec p ∈ ℕ alors 2 u 2 p =28+ m×100 , m∈ℤ et en divisant l'égalité par 2 :
u 2 p =14+ m×50=4×3+2 +m×(4×12+2) donc u 2p ≡ 2+ 2 m[ 4 ] or nous savons que u 2p ≡ 2[ 4 ] donc
2+ 2 m≡ 2[ 4 ] donc 2 m ≡ 0[ 4] donc 2 m=4 s , s entier donc m=2 s donc u 2p =14+100 s ≡14[ 100 ]
Les nombres u 2p se terminent donc par 14.
On refait de même :
♦ Si n=2 p+1 avec p∈ ℕ alors 2 u 2 p+1 =28+m×100 , m∈ℤ et en divisant par 2 :
u 2 p+1=14 +m×50=4×3+ 2+m×(4×12+ 2) donc u 2p+1 ≡ 2+2 m[ 4 ] or nous savons que u 2p+1 ≡ 0 [ 4 ] donc
2+ 2 m≡ 0[ 4 ] donc 2 m ≡ 2 [ 4 ] donc 2 m=2+ 4 s , s entier donc m=1+2 s donc
u 2p+1 =14+(1+2s)×50=64+100s ≡ 64 [100 ]
Les nombres u 2 p+1 se terminent donc par 64.
5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (u n ) est constant et préciser sa valeur.
On utilise la propriété : PGCD(a ; b)=PGCD( a−k b; b) , k entier
Donc PGCD(u n+1 ; u n )=PGCD(5 u n − 6; u n ) = PGCD(5 u n − 6−5u n ; u n ) = PGCD(−6; u n )=PGCD(u n ; 6)
Ce PGCD est donc un diviseur de 6 donc c'est 1 ou 2 ou 3 ou 6.
n+2
n+2
La relation 2 u n=5 +3 équivalente à 5 =2 u n−3 , nous indique que u n n'est pas divisible par 3 car
sinon 5n+2 le serait aussi, ce qui est impossible.
donc le PGCD ne peut pas être 3 ou 6 , d'autre part , tous les termes sont pairs puisque se terminant par
14 ou 64 , donc divisibles par 2 donc PGCD n'est pas 1 mais 2.
Conclusion : PGCD(u n+1 ; u n )=2 .
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