notes de cours (format A4) - Département de physique

MÉCANIQUE QUANTIQUE II
PHQ430
par
David SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
21 août 2016

2

Table des matières
Table des matières 3
1 Rappels et principes de base 9
A Postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.1 État d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.2 Grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.3 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A.4 Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B Observables compatibles, ECOC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.1 Ensemble complet d’observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B.2 Compatibilité des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
C Observables incompatibles et relations d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
C.1 Incompatibilité des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
C.2 Relations d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
D Mouvement d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
D.1 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
D.2 Moment conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
D.3 Particule dans un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
E Systèmes composés : produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E.2 Produit tensoriel d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
F Principe variationnel de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 L’oscillateur harmonique 35
A États propres de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A.1 Opérateurs d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A.2 États propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A.3 Opérateurs position et impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.4 Fonctions d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
B Mouvement dans un champ magnétique: niveaux de Landau . . . . . . . . . . . . . 39
C Le champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
C.1 Modes électromagnétiques dans une cavité simplifiée . . . . . . . . . . . . . 41
C.2 Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
D États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
D.1 Superposition d’états stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
D.2 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Théorie du moment cinétique 57
A Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
B Quantification du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B.1 États propres du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B.2 Matrices du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
C Harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
C.1 Moment cinétique orbital en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . 62
3

4 TABLE DES MATIÈRES
C.2 Harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
D Moment cinétique et rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
D.1 Rotations en tant que transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
D.2 Rotations infinitésimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
D.3 Rotations finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
D.4 Rotations d’une observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
D.5 Invariance par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
E Niveaux de rotation des molécules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
E.1 Le rotor quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
E.2 Le rigide quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Systèmes à deux niveaux 81
A Spin 1
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.1 Moment cinétique intrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.2 Spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.3 Expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B Description générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
B.1 Sphère de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
B.2 Correspondance avec le spin 1
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.3 Rotation d’un spineur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
B.4 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C Résonance magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C.1 Précession de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C.2 Champ transverse et oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
C.3 Résonance magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
D Autres systèmes à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
D.1 Restriction aux deux niveaux les plus bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
E Interaction lumière-matière: modèle de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Potentiel central et atome d’hydrogène 103
A Problème à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B Mouvement d’une particule dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
B.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
C Problème de Kepler: atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
C.1 Solution de l’équation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
C.2 Quantification de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
C.3 Description des états propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
C.4 Raies spectrales de l’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
C.5 Échelles caractéristiques et atomes hydrogénoïdes . . . . . . . . . . . . . . . 113
D L’oscillateur harmonique tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6 Théorie des perturbations 119
A Perturbations stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.1 Approximation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.2 Approximation du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.3 Cas d’un niveau dégénéré au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.1 Effet Stark dans l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2 Force de van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C Perturbations dépendant du temps et spectres continus . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
C.1 Série de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

TABLE DES MATIÈRES 5
C.2 Approximation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C.3 Règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.4 Processus de désintégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.5 Absorption et émission stimulée de rayonnement par un atome . . . . . . . 134
7 Particules identiques 139
A Particules indiscernables en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.1 Rappels sur les permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.2 Opérateur de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.3 Fermions et bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B Fonctions d’ondes à plusieurs fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.1 Déterminants de Slater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.2 Fermions sans interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.3 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.4 Principe d’exclusion de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
C Atomes à plusieurs électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
C.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
C.2 Couches électroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
C.3 Addition des moments cinétiques, termes spectroscopiques et règles de Hund 152
8 Mesure et environnement 161
A Matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.1 Motivation: système comportant deux spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.2 Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.3 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.4 Trace sur un sous-système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.5 Théorème de Gleason . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.6 Décomposition de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.7 Enchevêtrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B Le processus de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.1 Évolution temporelle de la matrice densité: systèmes découplés . . . . . . . 168
B.2 Évolution non unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.3 Décohérence et réduction du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
C Paradoxes de la réalité quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C.1 Paradoxe d’Einstein-Podolsky-Rosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
C.2 Le paradoxe de Greenberger-Horne-Zeilinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C.3 Inégalité de Clauser-Horne-Shimony-Holt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C.4 Confirmations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Index 181