filtres - mpsi1-fenelon-sainte

filtres
Table des matières
1 grandeurs fondamentales des quadripoles
1.1 Impédances d’entrée et de sortie . . . . . . .
1.2 fonction de transfert . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 définition . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 représentation : diagramme de Bode
1.2.3 fréquences de coupures . . . . . . . .
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2
3
3
3
3
5
2 filtres passe-bas d’ordre 1
2.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . .
2.2 fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB
2.3.1 Représentation de la courbe de gain . . . .
2.3.2 Représentation de la courbe de phase . . . .
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5
5
5
6
6
6
3 filtres passe-haut du premier ordre
3.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . .
3.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB
3.3.1 Représentation de la courbe de gain . . . .
3.3.2 Représentation de la courbe de phase . . . .
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7
7
7
8
8
8
4 exemple d’un filtre passif du second ordre :
4.1 sortie ouverte sur C . . . . . . . . . . . . . .
4.2 sortie ouverte sur R . . . . . . . . . . . . .
4.3 sortie ouverte sur L . . . . . . . . . . . . . .
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circuit RLC série
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 filtres actifs
5.1 présentation de l’amplificateur opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 montages de bases en régime linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 exemple de filtre actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
11
11
14
15
On appelle quadripôle électrocinétique tout système relié électriquement à l’extérieur par
quatre conducteurs. Un quadripôle électrocinétique est donc caractérisé par quatre bornes
électriques : deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie.
Un quadripôle est généralement relié à un dipôle source par ses deux bornes d’entrée et
à un dipôle charge par ses deux bornes de sortie. D’un point de vue électrocinétique, le
quadripôle est caractérisé par quatre grandeurs électriques, tensions et courants d’entrée
et de sortie.
Si ces quatre grandeurs sont reliées entre elles par un système différentiel linéaire, homogène, de deux équations à coefficients constants, le quadripôle est dit linéaire.
Les tensions d’entrée ue et de sortie us sont reliées par une équation différentielle linéaire
à coefficients constants
An
dn us
dus
dm ue
due
+
...
+
A
+
A
u
=
B
+ ... + B1
+ B0 ue
1
0 s
m
n
m
dt
dt
dt
dt
En régime sinusoïdal, on a alors
B0 + B1 (jω) + ... + Bm (jω)m
us
=
ue
A0 + A1 (jω) + ... + An (jω)n
Si le signal d’entrée est sinusoïdal de pulsation ω, le signal de sortie est également sinusoïdal de même pulsation.
Un quadripôle dont la réponse en fonction de la fréquence n’est pas constante est un filtre :
il ne laissera passer (sans atténuation significative) que les signaux sinusoidaux de pulsation
adaptée alors que certaines composantes vont être atténuées (ou au contraire amplifiées),
ce qui va avoir pour effet de modifier l’allure du signal de sortie par rapport à celui appliqué
à l’entrée. Ceci est notamment utilisé pour transporter des signaux (radio notamment où
le signal sonore doit être modulé et démodulé pour être transporté à grande distance).
Si le filtre comporte au moins une source auxiliaire d’énergie électrique, il est dit actif.
A l’inverse, un filtre passif ne comporte que des éléments passifs ; la puissance moyenne
disponible en sortie d’un filtre passif est donc toujours inférieure ou égale à la puissance
moyenne reçue en entrée.
Un filtre actif comportant des sources, la puissance moyenne disponible en sortie peut être
supérieure à celle reçue en entrée.
On se placera pour toute la suite en régime sinusoïdal.
1
grandeurs fondamentales des quadripoles
Il est possible de définir pour un quadripôle des grandeurs caractéristiques comme les
impédances d’entrée et de sortie, et les gains en tension, courant et puissance.
2
1.1
Impédances d’entrée et de sortie
Pour un filtre passif, l’impédance d’entrée est l’impédance Ze =
Ve
vue à l’entrée quand
Ie
la sortie est chargée par une impédance de charge Zu infinie.
Vs
L’impédance de sortie est l’impédance Zs =
vue à la sortie quand l’entrée est reliée à
Is
la masse.
Pour un filtre actif, Pour calculer l’impédance d’entrée, on éteint toutes les osurces libres
Ve
quand la sortie est chargée par une impédance de charge Zu infinie.
et on évalue Ze =
Ie
On alimente le filtre par une source de tension Vs placée entre les bornes de sortie. La
tension d’entrée est rendue nulle, et toutes les sources libres sont éteintes. L’impédance de
Vs
sortie est alors l’impédance Zs =
Is
1.2
1.2.1
fonction de transfert
définition
La fonction de transfert en tension est définie par
H(jω) =
Us
Ue
Elle permet de comparer les tensions de sortie et d’entrée. On puet définir l’analogue en
terme d’intensité.
La fonction de transfert dépend en général de l’impédance complexe du dipôle d’utilisation ; on résume ceci en disant que l’utilisation "charge" le quadripôle. On ne peut
donc pas étudier le quadripôle seul.
Elle ne dépend par contre en général pas du circuit en amont de l’entrée du quadripôle.
La fonction de transfert se présente généralement comme le rapport de deux polynômes de
ω. On appelle ordre du filtre le degré le plus élevé des deux polynômes.
H(jω) = G(jω) exp(jϕ(ω))
- G(ω) = |H(jω)| =
|Vs (jω)|
|Ve (jω)|
est le gain en tension.
- ϕ(ω) = arg(Vs ) − arg(Ve ) est le déphasage de la tension de sortie par rapport à
la tension d’entrée.
Pour visualiser l’effet d’un filtre, on représente sa fonction de transfert sous la forme d’un
diagramme de Bode.
exercice 10
1.2.2
représentation : diagramme de Bode
On appelle représentation dans le plan de Bode d’une fonction de transfert H(jω) l’ensemble des deux diagrammes suivants :
3
- une courbe donnant le gain en décibels GdB de la fonction de transfert en fonction de
la pulsation ω en échelle logarithmique (vu la gamme de pulsations possibles !) :
GdB = f (log10 ω) = 20 log10 |H(jω)|
Le décibel est une unité sans dimension qui permet de mesurer le rapport de deux
grandeurs. Ainsi, si le gain en décibels pour une pulsation ω 0 augmente de 20 dB par
rapport à celui d’une pulsation ω,
20 log10 |H(jω 0 )| = G0 (ω 0 ) = 20 + 20 log10 |H(jω)| = 20 log10 |10 ∗ H(jω)|
ce qui signifie que le module de la fonction de transfert a été multiplié par 10. Si le gain
en décibels augmente de 40 dB, cela signifie que le module de la fonction de transfert a
été multiplié par 102 .
Remarque : le facteur 20 n’est pas anodin : le rapport, en décibel (1/10 de
Bel), des puissances
par effet Joule dans une résistance est
électriques dissipées
U12
P1
1
XdB = 10 log10 P0 = 10 log10 U 2 = 20 log10 U
U0 , U1 et U2 désignant les tensions
0
efficaces aux bornes de la résistance.
Remarque 2 :
Les gains en tension sont souvent très petits et l’utilisation des décibels permet de
manipuler des nombres plus grands.
Par ailleurs, si on place deux étages en cascade de gains G1 = P1 /P0 et G2 = P2 /P1 , le
gain total est égal au produit G1.G2 des gains des étages. Si les gains sont exprimés en
décibels, le gain total en décibels est la somme des gains.
- une courbe donnant l’argument ϕ(ω) de la fonction de transfert, en échelle linéaire en
fonction de la pulsation ω en échelle logarithmique, appelée courbe de phase :
ϕ(log10 ω) = arg H(jω)
Exprimentalement, ϕ(ω) = ϕs − ϕe peut être mesurée à l’aide d’un oscilloscope.
Remarques :
- les tracés expérimentaux se font en portant la fréquence en échelle logarithmique : on
utilise du papier semi-logarithmique.
- Les tracés théoriques se font souvent en utilisant une variable réduite sans dimension :
x =ω/ω0 , ω0 étant une pulsation caractéristique du système.
- On appelle diagrammes asymptotiques de Bode, les diagrammes de Bode réduits à leurs
asymptotes. Ces diagrammes permettent une approche beaucoup plus rapide de l’aspect
du diagramme de Bode "complet".
- Une décade est l’intervalle de pulsations séparant ω de 10 ω. Cela correspond à une unité
de l’abscisse sur le diagramme de Bode. Une octave est l’intervalle de fréquence séparant
une pulsation de son double, soit trois décibels sur le diagramme de Bode.
On peut donner les mêmes définitions en terme de fréquence.
4
1.2.3
fréquences de coupures
La courbe de module du gain dans le plan de Bode d’une fonction de transfert d’un système linéaire est caractérisée par un gain maximal noté Gm et une ou deux fréquences (ou
pulsations) pour lesquelles la valeur du gain a diminué de 3 dB par rapport au maximum,
appelées fréquences (ou pulsations) de coupure.
Gmax
GdB (ωc ) = GdBmax − 3dB ou G(ωc ) = √
2
Le choix de 3 dB revient à définir la bande passante comme la gamme de fréquence pour
1
laquelle la puissance délivrée à la charge est comprise dans l’intervalle [ Pmax , Pmax ]
2
exercice 11
2
filtres passe-bas d’ordre 1
A condition que la sortie ne soit pas cnargée, ce circuit est un diviseur de tension idéal.
2.1
Comportement asymptotique
L’impédance du condensateur vaut Z C =
1
.
jCω
- Si ω → 0, le condensateur équivaut à un interrupteur ouvert et Z C → ∞ et U s → U e .
- Si ω → ∞ alors Z C → 0 et U s → 0.
On peut donc dire que le filtre transmet les signaux de basse fréquence et atténue ceux de
haute fréquence. C’est un filtre passe-bas.
2.2
fonction de transfert
H(jω) =
Us
=
Ue
Us
Ue
1
1
jCω
=
1
1 + jRCω
R+
jCω
H(jω) =
1
1+j
en posant ω0 =
ω
ω0
1
ω
1
. Soit x =
. H(jx) =
RC
ω0
1 + jx
5
2.3
2.3.1
Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB
Représentation de la courbe de gain
GdB (x) = 20 log10 |H(jω)| = 20 log10 √
1
1 + x2
- Si x → 0, c’est-à-dire si ω ω0 alors GdB ' 0
- Si x → ∞, c’est-à-dire si ω ω0 alors GdB ' −20 log10 x droite de pente −20 dB par
décade, ce qui signifie que si ω est multiplié par 10, log x augmente de 1 et GdB diminue
de 20 dB
- Les deux asymptotes se coupent pour 0 = −20 log x c’est-à-dire pour ω = ω0 ;
1
1
- Pour ω = ω0 , H(ω) = √ et GdB = 20 log √ ' −3 dB.
2
2
ω0 est la pulsation de coupure à −3 dB, notée ωc .
Elle peut être interprétée comme la limite entre les comportements BF et HF du filtre :
- les signaux de pulsations ω < ωc sont transmis en sortie avec une atténuation inférieure
à 3 dB ;
- les signaux de pulsations ω > ωc sont transmis en sortie avec une atténuation supérieure
à 3 dB ;
Idéalement on considérera que le filtre laisse passer une pulsation ω si l’atténuation en
sortie est inférieure à 3 dB.
La bande passante de ce filtre, c’est-à-dire l’ensemble des pulsations qu’il laisse passer,
est donc [0, ω0 ].
2.3.2
Représentation de la courbe de phase
ϕ(ω) = arg H(jω)
ω
ω
ϕ(ω) = 0 − arg(1 + j ) = − arctan
ω0
ω0
ϕ(x) = − arctan x
π π
avce cos ϕ > 0 donc ϕ ∈ [− , ]
2 2
- Si ω ω0 alors ϕ ' 0
- Si ω ω0 alors ϕ ' −
π
2
6
- Si ω = ω0 alors ϕ = −
π
4
Pour ω = 0, 1 ω0 , ϕ = −0, 1 rad et pour ω = 10 ω0 , ϕ = −1, 47 rad.
L’essentiel de la rotation de phase se fait donc entre 0, 1 ω0 et 10 ω0 c’est-à-dire sur deux
décades.
Remarque : On vérifiera qu’en remplaçant la résistance par une inductance L, le condenR
sateur par une résistance et en posant ωc = , on obtient la même fonction de transfert.
L
3
3.1
filtres passe-haut du premier ordre
Comportement asymptotique
1
.
jCω
- En régime permanent, c’est-à-dire si ω → 0, le condensateur équivaut à un interrupteur
ouvert : Z C → ∞ et U s → 0.
L’impédance du condensateur vaut Z C =
- Si ω → ∞ alors Z C → 0 et U s → U e .
On peut donc dire que le filtre transmet les signaux de hautes fréquences et atténue ceux
de basses fréquences d’où la dénomination de filtre passe-haut.
3.2
Fonction de transfert
H(jω) =
7
Us
Ue
Avec le diviseur de tension, on obtient
Us
=
Ue
H(jω) =
en posant ω0 =
3.3
j
R
1
R+
jCω
=
ω
ω0
jRCω
=
ω
1 + jRCω
1+j
ω0
jx
1 + jx
1
ω
et x =
RC
ω0
Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB
3.3.1
GdB
Représentation de la courbe de gain
ω
= 20 log |H(jω)| = 20 log
− 10 log 1 +
ω0
ω
ω0
2 !
GdB (x) = 20 log x − 10 log 1 + x2
- Si x → 0, c’est-à-dire si ω ω0 alors GdB ' 20 log x
- Si x → ∞, c’est-à-dire si ω ω0 alors GdB ' 20 log x − 10 log x2 = 0
1
1
Pour ω = ω0 , H(ω) = √ et GdB = 20 log √ = GdBmax − 3 dB.
2
2
ω0 est la pulsation de coupure à −3 dB, notée ωc .
Les deux asymptotes se coupent pour 0 = 20 log x c’est-à-dire pour ω = ω0 = ωc , pulsation
de coupure à −3 dB.
La bande passante de ce filtre est donc [ω0 , ∞[.
3.3.2
Représentation de la courbe de phase
ϕ(ω) = arg(j
ω
ω
π
ω
) − arg(1 + j ) = − arctan
ω0
ω0
2
ω0
ϕ(x) =
π
− arctan x
2
π π
avec cos ϕ > 0 donc ϕ ∈ [− , ] .
2 2
π
La courbe se déduit de celle du passe-bas par une translation de .
2
La phase varie de 90˚ pour x = 0,1 à 0 pour x = 10. Elle est égale à 45˚ pour la fréquence
8
de coupure.
On vérifiera qu’en remplaçant la résistance par une inductance L, le condensateur par une
R
résistance R et en posant ωc = , on obtient la même fonction de transfert.
L
4
4.1
exemple d’un filtre passif du second ordre : circuit RLC
série
sortie ouverte sur C
La fonction de transfert en tension du filtre est :
H(jω) =
Us
1/jCω
=
Ue
R + jLω + 1/jCω
H(jω) =
On pose ω0 = √
1
1 − LCω 2 + jRCω
1
ω
1
, x=
et Q=
.
ω0
RCω0
LC
1
H(jx) =
1 − x2 + j
x
Q
étude du gain :
GdB = 20 log( s
1
(1 − x2 )2 +
x2
)
Q2
x2
GdB (x) = −10 log (1 − x ) + 2
Q
Si x→ 0, GdB → 0
Si x→ ∞, GdB → −40 log x
9
2 2
Pour des valeurs de Q allant de 0,1 à 40, on obtient le diagramme suivant :
Ce filtre est un filtre passe-bas d’ordre deux. Un phénomène de résonance apparaît, d’autant
plus marqué que Q est grand et les courbes de gain peuvent s’écarter sensiblement des
formes asymptotiques au voisinage de ω =0 . La forme asymptotique n’est utilisable que
pour les valeurs de Q inférieures à 0,5
4.2
sortie ouverte sur R
La fonction de transfert du filtre est :
H(jω) =
Us
R
=
Ue
R + jLω + 1/jCω
H(jω) =
jRCω
jRCω + 1 − LCω 2
H(jω) =
H(jx) =
jx/Q
1 − x2 + jx/Q
1
1 + jQ(x − 1/x)
étude du gain :
1
GdB = 20 log( p
)
2
1 + Q (x − 1/x)2
GdB (x) = −10 log(1 + Q2 (x − 1/x)2 )
Si x→ 0, GdB → 20 log x − 20 log Q
Si x→ ∞, GdB → −20 log x − 20 log Q
Pour des valeurs de Q allant de 0,1 à 20, on obtient le diagramme suivant :
10
Le filtre est un filtre passe-bande d’ordre 2.
étude du déphasage :
ϕ(x) = −Arg(1 + jQ(x − 1/x)) = − arctan(Q(x − 1/x))
π π
avec cos ϕ > 0 donc ϕ ∈ [− , ] .
2 2
Si x→ 0, ϕ → π/2
Si x→ ∞, ϕ → −π/2
ϕ(ω0 ) = 0
4.3
sortie ouverte sur L
On pourra montrer qu’on constitue un filtre passe-haut d’ordre 2.
5
5.1
filtres actifs
présentation de l’amplificateur opérationnel
Les amplificateurs opérationnels ont été conçus initialement pour la résolution analogique
de problèmes numériques tels que l’étude d’équations différentielles dont les solutions analytiques sont inconnues. Le développement des calculateurs numériques a rendu caduc
l’usage de ces calculateurs analogiques. Ils sont maintenant utilisés dans de nombreux domaines de l’électronique analogique.
- L’AO est un "CIL" (circuit intégré logique). L’A.O. est un petit circuit imprimé (puce de
silicium de 1 mm2 environ) qui renferme l’équivalent d’une vingtaine de composants différents. Ce circuit interne est toujours compliqué, et on ne cherchera pas à savoir en détails
ce qui s’y passe. La puce est encapsulée et munie d’au moins cinq pattes (ou broches) :
- deux bornes d’entrée E+ (non inverseuse) et E− (inverseuse)
- une borne de sortie S
- deux bornes d’alimentation +V et −V
11
L’A.O. ne peut jouer son rôle d’amplificateur que grâce à l’énergie électrique qu’il reçoit du
milieu extérieur, par une alimentation +15V/-15V qui n’est généralement pas représentée
sur les schémas.
ATTENTION : sous peine de détérioration, les bornes d’alimentation sont
toujours branchées en premier et débranchées en dernier.
- symbole :
En général, les courants d’entrée iE + et iE − sont négligeables. Par contre, le
courant de sortie is est non nul. La tension de sortie dépend de la tension différentielle d’entrée ε = VE + − VE − .
- caractéristique de transfert en régime continu :
En régime saturé (zones 1 et 3), Vs = ±Vsat .
En régime linéaire (zone (2)), Us = µ0 (ε − Vd ) , avec µ0 ∼ 105 . On admettra que l’AO
peut fonctionner en régime linéaire s’il y a une boucle de rétroaction entre la sortie et
l’entrée inverseuse.
Un amplificateur est considéré comme idéal si l’on peut admettre que son gain est infini, que ses impédances d’entrée sont infinies et que sa résistance de sortie est nulle. La
tension de sortie étant finie, la tension différentielle d’entrée ε doit alors être nulle.
Les impédances d’entrée étant infinies, les courants d’entrée sont nuls.
Le symbole de l’AO idéal est le suivant :
12
Remarque : si Vd est non nulle, elle peut être compensée par le réglage de l’offset.
- caractéristique de transfert en régime linéaire sinusoïdal forcé :
Le comportement dynamique des AO courants est décrit par la fonction de transfert
H(jω) =
µ0
1 + jω/ω0
Il se comporte donc comme un filtre passe-bas du premier ordre. Son diagramme de Bode
est le suivant :
Les performances de l’AO s’écroulent donc à haute fréquence. Le modèle de l’AO idéal ne
sera valable qu’à basse fréquence.
13
5.2
montages de bases en régime linéaire
nom
schéma
gain
G=1
suiveur
non inverseur
G=1+
inverseur
G=−
Vs = −R(
sommateur
R0
R
R0
R
V2
V1
+
)
R1 R2
dérivateur
H = −jRCω
intégrateur
H=−
14
résistance négative
1
jRCω
exercices 13 à 16
5.3
exemple de filtre actif
Les filtres réalisés à partir de dipôles passifs introduisent une atténuation du signal. L’emploi des amplificateurs opérationnels permet de réaliser simplement des filtres RC actifs
dont les caractéristiques sont équivalentes à celles des filtres LC passifs. Il existe un nombre
considérable de filtres actifs différents classés selon la forme de leur fonction de transfert.
Soit l’exemple ci-dessous :
D’après le théorème de Millman en A,
Ve
1
+ Vs
+ jCω
R1
R2
0 = VA =
1
1
+
+ jCω
R1 R2
R2
−
Vs
R1
=
Ve
1 + jR2 Cω
Il s’agit donc d’un filtre passe-bas actif, pour lequel le gain peut, avec un choix approprié
des résistances, être spérieur à 1.
15