COURS I Théorie générale

COURS I
Th´eorie g´en´erale
I.1 Rˆole de la gravitation
* Moteur principal de l’´evolution des structures `a grande ´echelle
* Analyse cin´ematique : estimation des masses
* Analyse dynamique : formation et ´evolution
I.2 Th´eorie du potentiel
I.2.1 L’´equation de Poisson
Cette section s’inspire largement du Binney & Tremaine (1987, chap. 2.0.1) et du Binney &
Tremaine (2008, chap. 2.1).
Le module de la force gravitationnelle de (Newton) qu’une masse M′exerce sur une masse
Ms’´ecrit
F=Gmm′
r2,
o`u G= 6.67 ×10−8cm3g−1s−2est la constante de gravitation. Plus g´en´eralement, la force
de gravitation subie par mprovenant d’une collection continue de masses dm =ρ(x′)d3x′
s’´ecrit
F(x) = Gm Zx′−x
|x′−x|3ρ(x′)d3x′.(I-1)
De mˆeme, le potentiel gravitationnel s’´ecrit g´en´eralement (avec la convention d’un potentiel
1

2COURS I. TH ´ EORIE G ´ EN ´ ERALE
nul `a l’infini)
Φ(x) = −GZρ(x′)
|x′−x|d3x′,(I-2)
avec
F=−m∇xΦ,(I-3)
ou le gradient du potentiel (´eq. [I-2]) est exprim´e par rapport aux coordonn´ees de x.
Calculons maintenant la divergence de la force. D’apr`es l’´equation (I-1) on a
∇x·F=G m Z∇x·Ãx′−x
|x′−x|3!ρ(x′)d3x′.(I-4)
On a en g´en´eral :
∇ · (λu) = X
i
∂
∂xi
(λui) = X
i
λ∂ui
∂xi
+X
iÃdλ
dxi!ui=λ∇ · u+u· ∇λ ,
donc,
∇x·Ãx′−x
|x′−x|3!=∇x·(x′−x) |x′−x|3+ (x′−x)· ∇x|x′−x|−3.(I-5)
Puisque
∇x·x=∂x
∂x +∂y ∂y +∂z ∂z = 3 ,
on a
∇x·(x′−x) = −3.(I-6)
D’autre part, avec
∇fα=X
i
ei
∂fα
∂xi
=α fα−1X
i
ei
∂f
∂xi
=α fα−1∇f ,
on a
∇x³|x′−x|−3´=∇x½h(x′−x)2i−3/2¾=−3
2∇x(x′−x)2
|x′−x|5.(I-7)
Or
∇(x′−x)2=X
i
ei
∂
∂xi
(x′−x)2=X
i
ei
∂
∂xi
(x′
i−xi)2=−2X
i
ei(x′
i−xi) = −2 (x′−x),
(I-8)
o`u, eiest le vecteur unitaire dans la direction i. Avec les ´equations (I-6), (I-7) et (I-8),
l’´equation (I-5) se ram`ene `a
∇x·Ãx′−x
|x′−x|3!=−3 |x′−x|3+ 3 (x′−x)2 |x′−x|5
= 0 (x6=x′).(I-9)
Donc, d’apr`es l’´equation (I-9), la contribution de l’int´egrale dans l’´equation (I-4) se limite
au point x′=x. On peut donc consid´erer, dans cette int´egrale, la sph`ere de rayon hautour

I.2. TH ´ EORIE DU POTENTIEL 3
de ce point. Pour un rayon hassez petit, la densit´e est constante dans la sph`ere et donc
l’´equation (I-4) devient
∇x·F=G mρ(x)Z|x′−x|≤h∇x·Ãx′−x
|x′−x|3!d3x′
=−G mρ(x)Z|x′−x|≤h∇x′·Ãx′−x
|x′−x|3!d3x′.(I-10)
L’int´egrale de l’´equation (I-10) se r´esout avec le th´eor`eme de la divergence :
ZV∇ · fdV =ZSf·dS ,(I-11)
qui, en sym´etrie sph´erique revient `a faire une int´egrale par parties :
Z1
r2
d
dr ³r2f´4πr2dr = 4πr2f−Zr2fd(4π) = 4πr2f . (I-12)
Avec les ´equations (I-10) et (I-11), la divergence de la force devient donc
∇x·F=−G mρ(x)
h3Z|x′−x|=h(x′−x)·dS′.(I-13)
Or il est facile de voir que le vecteur d’´el´ement de surface dS′est reli´e `a l’´el´ement d’angle
solide dΩ par
dS′= (x′−x)h dΩ.(I-14)
L’´equation (I-14) donne (x′−x)·dS′=h3dΩ et l’´equation (I-13) devient
∇x·F=−G mρ(x)Z|x′−x|=hdΩ = −4πG m ρ(x).(I-15)
Avec l’´equation (I-3), cela donne
∇2Φ = 4πGρ ,(I-16)
qui est l’´equation de Poisson. Le fait que dans l’´equation (I-16) de Poisson, la densit´e s’appa-
rente `a une d´eriv´ee seconde du potentiel implique que les potentiels gravitationnels sont plus
sph´eriques et r´eguliers que les profils de densit´e qui leur sont associ´es.
I.2.2 Applications de l’´equation de Poisson en sym´etrie sph´erique
En sym´etrie sph´erique, le laplacien s’´ecrit
∇2f=1
r2
d
dr Ãr2df dr !.(I-17)
Avec l’´equation (I-17), l’´equation (I-16) de Poisson devient
1
r2
d
dr Ãr2dΦ dr != 4πGρ (I-18)

4COURS I. TH ´ EORIE G ´ EN ´ ERALE
ce qui donne l’expression simple pour le gradient du potentiel
dΦ
dr =GM(r) r2,(I-19)
o`u, par d´efinition,
M(r) = Zr
04π s2ρ(s)ds (I-20)
On voit que dans l’´equation (I-19), la force ne d´epend que de la masse `a l’int´erieur du rayon
r(th´eor`eme de Gauss).
Consid´erons une particule test de masse men orbite circulaire de rayon rdans un po-
tentiel sph´erique. D’apr`es la seconde loi de Newton, la particule subit une force
F(r) = −mdΦ
dr er=ma=−m ω2r=−mv2
circ
rer,(I-21)
o`u aest le vecteur acc´el´eration, vcirc est la vitesse circulaire et erest le vecteur unitaire dans
la direction radiale (pointant vers l’ext´erieur). Les ´equations (I-19) et (I-21) donnent pour
la vitesse circulaire :
v2
circ =G M(r)
r.(I-22)
I.2.3 Th´eor`emes de Newton
Les d´emonstrations de cette section figurent dans le Binney & Tremaine (1987, chap. 2.1.1;
2008, chap. 2.2.1).
Th´eor`eme 1 :A l’int´erieur d’une coquille mince sph´erique et homog`ene, la force gravita-
tionnelle nette est nulle et le potentiel gravitationnel est constant.
Φ(r) = Φ(0) = −GdM
rcoquille
(I-23)
Th´eor`eme 2 :La force et le potentiel gravitationnel `a l’ext´erieur d’une coquille sph´erique
sont les mˆemes que si sa masse ´etait concentr´ee en son centre.
Φ(r) = −GdM
r(I-24)
Comme, les potentiels s’ajoutent de fa¸con lin´eaire, le potentiel d’une distribution sph´e-
rique g´en´erale `a la position rg´en´er´e par une distribution sph´erique de masse ρ(s) est obtenue
en consid´erant s´epar´ement les coquilles `a s < r et s > r (eqs. [I-23] et [I-24]) :
Φ(r)=−Zr
0
G dM(s)
r−Z∞
r
G dM(s)
s

I.2. TH ´ EORIE DU POTENTIEL 5
=−GM(r)
r−4πG Z∞
rρ(s)s ds =−Z∞
r
GM(s)ds
s2,(I-25)
o`u la derni`ere ´egalit´e est obtenue par int´egration par parties. La derni`ere ´egalit´e de l’´equa-
tion (I-25) s’obtient aussi directement de l’expression (I-19) pour le gradient du potentiel.
I.2.4 Couples densit´e-potentiel
Il existe des profils simples de densit´e et/ou des potentiels simples qui sont commun´ement
employ´es pour les amas globulaires, galaxies elliptiques et amas de galaxies.
Kepler Le potentiel de Kepler est celui provenant d’une masse tr`es concentr´ee, c’est-`a-dire
une masse ponctuelle, `a laquelle est associ´ee le potentiel Φ(r) = −GM/r et la vitesse
circulaire
v2
circ =GM
r.(I-26)
Le potentiel de Kepler s’applique autour de trous noirs ainsi que loin des structures
(e.g. galaxies).
isotherme singulier Le profil de densit´e
ρ(r)∝1
r2=v2
circ/4πG
r2(I-27)
donne lieu `a une masse qui diverge :
M(r) = v2
circ r
G(I-28)
et une vitesse circulaire constante. Le potentiel de l’isotherme singulier non-tronqu´e
diverge en r= 0 et r→ ∞. N´eanmoins, il peut s’´ecrire
Φ(r) = Φ(r1)−v2
circ ln µr
r1¶,(I-29)
o`u r1est un rayon quelconque.
Le profil singulier isotherme a ´et´e rendu populaire par l’observation de courbes de
rotation plates autour des galaxies spirales ainsi que par la pr´ediction par les cosmol-
ogistes dans les ann´ees 70-80 de profils de densit´e de masse similaires (en r−9/4Gott
1975; Bertschinger 1985). Les cosmologistes, s’appuyant d´esormais sur des simulations
`a tr`es haute r´esolution de l’´evolution gravitationnelle de l’Univers, penchent main-
tenant vers des profils de densit´e de masse avec des pentes plus faibles au centre (−1 :
Navarro, Frenk & White 1995; −3/2 : Fukushige & Makino 1997, Moore et al. 1998,
voire homog`ene au centre Navarro et al. 2004) et plus forts aux bords (−3 : Navarro,
Frenk & White 1995, voire plus : Navarro et al. 2004).