Etude de la densité de la matière cristalline Objectif : Trouver un

Etude de la densité de la matière cristalline
Objectif :
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Trouver un argument en faveur d’une organisation géométrique de la matière cristalline
Retrouver une donnée théorique par le calcul et par l’expérience
Démontrer une formule mathématique utilisée dans une l’application physique
I Détermination par le calcul de la densité du sulfate de cuivre penta hydraté
On considère l’espèce chimique sulfate de cuivre pentahydraté de formule brute :
𝐶𝑢𝑆𝑂4 − 5𝐻2 0
On a les paramètres de la maille cristalline primitive pour l’espèce donnée :
Angle (en °)
𝛼 = 77.333°
𝛽 = 82.267°
𝛾 = 72.567°
Longueur (en Angstrom 1A = 10−10m)
a=5.986
b=6.141
c=1.074 ×101
La masse volumique ρ d’une espèce chimique donnée c’est le rapport entre une masse de cette
espèce et le volume occupée par cette masse.
La densité c’est le rapport entre la masse volumique d’une espèce chimique et la masse volumique
de l’eau noté ρeau
Soit ρ(CuSO4 -5H2 0) la masse volumique du sulfate de cuivre penta hydraté
Soit d(CuSO4 -5H2 O) la densité du sulfate de cuivre penta hydraté
d(CuSO4 -5H2 O) =
𝜌(𝐶𝑢𝑆𝑂4 − 5𝐻2 0)
𝜌𝑒𝑎𝑢
D’après les propriétés d’organisations des espèces chimiques cristallisées, la masse volumique peut
être déterminée par le rapport entre la masse propre à une maille de cristal et le volume occupée par
cette maille.
On exprime la masse m’ propre à une maille de cristal de l’espèce chimique considérée.
Figure 1 Modèle moléculaire du cristal de cuivre pentahydraté faisant apparaître la maille primitive
D’après le modèle moléculaire avec la maille primitive,
La maille cristalline comporte 10 molécules l’espèce chimique considérée.
8 de ces molécules sont situées sur les sommets de la maille. Comme la maille forme un solide à 8
faces alors ces molécules sont partagées entre 8 autres mailles.
De plus, les 2 autres molécules sont partagées entre 2mailles
1
1
Il y a donc 8× 8 +2× 2 = 2 molécules spécifiques à une maille.
Application numérique
m'=
2[M(Cu)+M(S)+9M(O)+10M(H)]
NA
NA =6,02×10-22 mol-1 est le nombre d’Avogadro
M(Cu) = 63.546 g/mol
M(O) = 15.999 g/mol
M(S) = 32.065 g/mol
M(H) = 1.0080 g/mol
m' =8.2951×10-22 g
On exprime le volume v’ propre à une maille de cristal assimilable à un parallélépipède non rectangle.
On admet la formule que l’on démontrera par la suite,
v'=abc√1-cos2 α-cos 2 β-cos 2 γ+2co s(α) co s(β) cos(γ)
v ' =3.665×102 Ȧ3 soit v ' =3.665×10-22 cm3
Application numérique
D’après ce qui précède,
ρ(CuS04 -5H2 0)=
m'
v'
Ainsi,
d(CuS04 -5H2 0)=
m'
ρeau ×v'
𝑑(𝐶𝑢𝑆04 − 5𝐻2 0) = 2.263 𝑔/𝑐𝑚3
Densité théorique officielle
Densité théorique calculée
Ecart absolu
Ecart relatif
Interprétation des résultats :
2,29 à 2.27
2,26
0,03 à 0.01
1,3% à 0,44%
Les écarts relatifs étant très faibles, on peut considérer que la démarche de calcul se rapproche
sensiblement de celle utilisée pour le calcul théorique.
Apport au modèle géométrique :
La démarche calculatoire se base sur la propriété d’organisation en maille de la matière cristalline. Le
calcul peut être fait pour différentes espèces cristallines. Si les résultats théoriques correspondent à
la densité expérimentale alors on dispose d’un argument prouvant l’organisation en maille et la
répétition périodique d’un motif au sein de la matière cristalline.
II Vérification par l’expérience de la densité calculée
Matériel :




Eprouvette graduée
Sulfate de cuivre pentahydraté à l’état cristallisé
Eau distillée
Balance
Protocole :
1.
2.
3.
4.
5.
Peser une masse m de sulfate de cuivre penta hydraté
Verser un volume V d’eau distillée dans l’éprouvette graduée
Verser la masse pesée de sulfate de cuivre penta hydraté dans l’éprouvette
Relever le volume V’ atteint par l’eau dans l’éprouvette
Calculer le volume V’-V pris par le sulfate de cuivre penta hydraté
Résultats expérimentaux :
V = 190 mL
m = 65g
V’ = 220 mL
V’-V = 30 mL
La masse volumique expérimentale mesurée ρ du sulfate de cuivre penta hydraté est :
𝑚
𝜌 = 𝑉 ′ −𝑉 =
65
30
= 2,2 𝑔/𝑐𝑚3 d’où une densité de 2.2 (ρeau est fixée à l’unité comme dans le calcul
théorique)
On calcule l’écart relatif :

entre la densité mesurée et la densité calculée :

entre la densité mesurée et la densité théorique
2.29-2.2
=4,1%
2.2
2.26-2.2
:
=2,7%
2.2
Interprétations des résultats :
L’écart entre la valeur théorique et la valeur calculée par rapport à la densité mesurée est faible. Aux
erreurs d’expérience près, les propriétés d’organisation de la matière cristalline telle que sa
périodicité et les paramètres de sa maille posée en hypothèse calculatoire conviennent pour
modéliser l’organisation du sulfate de cuivre penta hydraté pour des calculs de densité.
Ainsi, on ne peut pas rejeter le modèle théorique, on dispose d’un argument supplémentaire en sa
faveur. Peut-on observer un phénomène physique spécifique à l’organisation périodique de la
matière ? (cf expérience de réfraction)
III Démonstration de la formule de calcul du volume
Pour trois vecteurs de l’espaces