sujet 6

Le cuivre : réseau cristallin et conductivité
On donne les constantes universelles : Masse de l'électron : me = 0,911.1030 kg
Charge élémentaire : e = 1,602.1019 C Constante d'Avogadro : N = 6,022.1023 mol1
1) Le cuivre métallique cristallise dans le système cubique à faces centrées. L'arête de la maille cubique
est a = 361,5 pm.
1.1) Quel est le rayon de l'atome de cuivre ?
1.2) Combien y a-t-il d'atomes par maille ?
1.3) Exprimer la masse volumique µ du cuivre avec a, la masse molaire atomique du cuivre M et la
constante d'Avogadro N .
1.4) Calculer µ numériquement, connaissant M = 63,54 g.mol1.
2) Chaque atome de cuivre a un électron libre.
Exprimer la densité volumique de charge mobile  avec a et la charge élémentaire e, puis calculer 
numériquement.
3) Un fil de cuivre cylindrique, de diamètre d = 1 mm, est parcouru par un courant d'intensité constante
i = 100 mA. On admet que la densité volumique de courant
j
est uniforme dans le fil.
3.1) Exprimer j avec i et d, puis numériquement.
3.2) Exprimer le module v de la vitesse du mouvement d'ensemble des électrons libres dans le fil et calculer
v numériquement.
4) Le fil de cuivre du 3) a une conductivité . Exprimer, avec , j,  et d :
4.1) la résistance linéique  du fil,
4.2) le module E du champ électrique dans le fil,
4.3) la mobilité u des électrons libres.
4.4) À 25 °C,  = 57,9.106 S.m1; calculer numériquement , E et u.
5) Par analogie avec le mouvement de particules soumises à une force de frottement visqueux :
f k v
, (avec k > 0), en posant
  m
ke
, montrer que la vitesse limite des électrons, (c'est-à-dire la vitesse
de leur mouvement d'ensemble en régime stationnaire), est de la forme
ve
mE
e
.
Exprimer le "temps de relaxation"  avec a, e,  et me, puis calculer sa valeur numérique.
6) La vitesse moyenne d'agitation thermique des électrons libres du cuivre à 25 °C est de l'ordre de
vt = 1,6.106 m.s1. Comparer v à vt.
Le temps de relaxation est en fait la durée moyenne entre deux passages d'un électron libre au voisinage d'un
défaut du cristal. Quelle est la distance moyenne b ("libre parcours moyen") parcourue par un électron libre
entre deux défauts du réseau cristallin ? Comparer cette distance à la distance minimale entre les noyaux de
deux atomes de cuivre.