CINEMATIQUE ET MOUVEMENTS

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Comprendre 1 : Cinématique et mouvements
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CINEMATIQUE ET MOUVEMENTS
Ce chapitre d’introduction à la mécanique donne les outils qui permettent d’étudier les mouvements, la
cinématique étant l’étude des mouvements sans se soucier de ce qui les cause ou les modifie.
1 Référentiel d’étude
1.1 Référentiel et repère
Un référentiel est un objet de référence par rapport auquel on étudie le mouvement.
On lui associe un repère d’espace et une échelle de temps.
Exemples de référentiels : terrestre → référence ……………………………
géocentrique → référence …………………………
héliocentrique → référence ………………………
Remarque :
d’une façon générale, on parle de référentiels astrocentriques pour les référentiels liés au centre
d’un astre et associé à des axes de direction fixes par rapport aux étoiles lointaines.
Pour repérer dans l’espace, on peut utiliser :
Le repère cartésien (O, , , ) : Schéma 9 page 168
O : origine fixe
, , : vecteurs unitaires constants
Le repère de Frenet : son origine est le point en
mouvement, ses vecteurs unitaires sont
: vecteur tangent à la trajectoire et dans le sens
du mouvement
: vecteur perpendiculaire à et vers
l’intérieur de la trajectoire.
Remarque :
les mouvements que l’on étudiera se dérouleront dans un plan, un
repère cartésien (O, , ) sera donc généralement suffisant.
1.2 Référentiel galiléen
Par définition un référentiel est dit galiléen si le principe d’inertie (ou 1ère loi de
Newton) y est vérifiée.
Remarque :
Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen si l’étude du mouvement ne dépasse pas
quelques minutes (permet de négliger la rotation de la Terre sur elle-même).
Le référentiel géocentrique est considéré comme galiléen si l’étude du mouvement ne dépasse
pas quelques heures (permet de négliger la rotation de la Terre autour du Soleil).
Le référentiel héliocentrique est considéré comme galiléen.
Un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est
………………………………….
Un référentiel qui tourne, ralentit ou accélère par rapport à un référentiel galiléen
……………………………………….
La 1ère loi de Newton sera reprécisée au chapitre suivant.
2 Les outils pour décrire un mouvement
2.1 Vecteur position
Les corps étudiés sont appelés systèmes. La description de leurs mouvements peut être
complexe car les points du système peuvent avoir des évolutions différentes. Pour simplifier on
étudiera le mouvement du seul centre d’inertie G.
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Dans un référentiel donné, à un instant t quelconque :
) par ses
Le vecteur position d’un point G est défini dans le repère (O, , , coordonnées cartésiennes ………………………………..
Le vecteur position à l’instant t est : …………………………………….
Schéma 9 page 168
Remarque :
. Pour simplifier on écrit le plus souvent : ………………..
. x(t), y(t) et z(t) sont les équations horaires du mouvement.
2.2 Vecteur vitesse
Dans un référentiel donné, à un instant t quelconque :
Le vecteur vitesse instantané d’un point G est égal à ………………………..
…………………………………..du vecteur position OG :
v
=
ou
v
=………………………………………
La direction du vecteur vitesse est ………………………………………... au point
considéré.
Le sens du vecteur vitesse est ……………………………………………
La valeur du vecteur vitesse, notée v, s’exprime en ………………………
Remarque :
. vx =
; vy =
et vz =
sont les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse
. la valeur v de la vitesse vérifie : v = v v v .
2.3 Vecteur accélération
Dans un référentiel donné, à un instant t quelconque :
Le vecteur accélération d’un point G est égal à la dérivée par rapport au temps de son
……………………………………. :
a = ………..
ou
a =……………………………………….
La valeur du vecteur accélération, notée a, s’exprime en ……………..
Remarque :
. ax =
; ay =
et az =
sont les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération
. la valeur a de l’accélération vérifie : a = a a a .
. vx, vy, et vz étant déjà des dérivées, on peut écrire :
ax = ; ay = et az = ax, ay et az sont les dérivées secondes de x, y et z par rapport
au temps.
. le vecteur accélération a mêmes direction et sens que la variation de vecteur vitesse.
2.4 Quantité de mouvement
Le vecteur quantité de mouvement p d’un point matériel est égal au produit de sa mase
m par son vecteur vitesse v
:
p ……………………….
les valeurs vérifient : p = …………………………………………
m en ………..
v en ……………
p en ……………..
Remarques :
. un point matériel est un objet ponctuel affecté d’une masse.
.v
dépendant du référentiel d’étude, p en dépend également.
. l’égalité vectorielle induit que v
et p ont toujours même sens et même direction car la masse est
une gradeur positive
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3 Exemples de mouvements
3.1 Mouvement rectiligne uniforme
Dans un référentiel donné, un point est en mouvement rectiligne uniforme si son vecteur
vitesse est …………………………. Son vecteur accélération est un
………………………..
v
……….
et
a …………….
3.2 Mouvement rectiligne uniformément varié
Dans un référentiel donné, un point est en mouvement rectiligne uniformément varié si
son vecteur accélération est …………………………….
a …………………
. si a et v
sont de même sens, la vitesse …………………….. : c’est un mouvement
uniformément ………………………………..
. si a et v
sont de sens opposés, la vitesse ……………………. : c’est un mouvement
uniformément ……………………………………...
3.3 Mouvement circulaire uniforme
Dans un référentiel donné, un point est en mouvement circulaire uniforme si sa
trajectoire est …………………………………… et si la valeur, v, de sa vitesse est
…………………………………..
Pour un mouvement circulaire uniforme, l’accélération …………………..
Dans le repère de Frenet, la vitesse qui est tangente à la trajectoire s’écrit :
normale est nulle).
Dans le repère de Frenet, l’accélération qui est portée par le rayon s’écrit :
tangentielle est nulle).
v
v. u
(la coordonnée
a a. u
(la coordonnée
Pour un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération est centripète (porté par
………………….. et dirigé vers ………………) et a pour valeur constante :
a=
v est la vitesse (constante) du mouvement en m.s-1
R est le rayon de la trajectoire en m
Dans le repère de Frenet, l’accélération est :
……………………………
3.4 Mouvement circulaire non uniforme
Dans un référentiel donné, un point est en mouvement circulaire non uniforme si sa
trajectoire est ………………………………….. et si la valeur de sa vitesse
………………………………….
Pour un mouvement circulaire non uniforme, l’accélération tangentielle
……………………………...
La vitesse n’étant pas constante, l’accélération tangentielle s’écrit :
……………………………… (l’accélération normale étant la même que pour le mouvement uniforme).
Dans le repère de Frenet, pour un mouvement circulaire, le vecteur accélération s’écrit :
a =…………………………………
Remarque :
Si la vitesse est constante :
= 0, on retrouve : a =
.u
!