Message à ceux qui ne viennent pas régulièrement au cours : Vous faites une erreur de jugement considérable. C’est vrai, seulement assister au cours (et ça de façon passive) ne suffit pas. C’est seulement un tier de l’apprentissage, mais quand-même ! Pour bien réussir ce cours de 4 crédits, selon les normes de l’université, il faut participer activement au cours et travailler 3*4=12 heures par semaine en moyenne sur le cours (les heures de cours incluses). Heureusement, en classe je vois beaucoup d’étudiants qui écoutent avec attention, et même souvent avec un certain esprit critique. Ils se développent chaque cours un petit peu. MAT1500 1 of 17 Je vais continuer de discuter le solutionnaire de l’intra 1 plus tard, sur le tableau noir ! MAT1500 2 of 17 • Principe du bon ordre (une autre version d’induction). Definition Soit m, n deux nombres naturels (ou entiers). On écrit m≤n s’il existe un nombre naturel r ∈ N tel que m + r = n. Definition Soit E ⊆ N un sous-ensemble non-vide de l’ensemble des nombres naturels et m ∈ N. On dit : m est un minimum de E si m ∈ E et m ≤ n pour chaque n ∈ E. MAT1500 3 of 17 Par exemple 0 est le minimum de N. Un autre exemple : fixons n ∈ N et définissons le sous-ensemble E = {m ∈ N| m 6= n et m ≥ n}. Son minimum est le successeur n + 1. À la place d’induction ou directement la dernière propriété essentielle de N on peut utiliser le principe du bon ordre. Les deux preuves typiques sont logiquement équivalent. Ça change seulement la formulation ! Avec le principe du bon ordre se joint souvent avec des arguments par l’absurde. MAT1500 4 of 17 Théorème (Principe du bon ordre) Tout sous-ensemble non vide de N a un minimum. Voilà, c’est tout ! Mais ce n’est pas une des propriétés élémentaires de N, donc il faut le montrer ! Un tel minimum est en fait unique. Lemma (Unicité) Soit E ⊆ N un sous-ensemble non-vide. Alors E a un seul minimum. MAT1500 5 of 17 Démonstration. Soit E ⊂ N un ensemble non-vide. On va montrer que E a un minimum, par une preuve par contradiction : • Supposons que E n’a pas un minimum. Considérons la fonction propositionnelle P(n) = ”n 6∈ E ” , où n ∈ N. On va montrer par induction généreuse que P(n) vraie pour chaque n ∈ N. Début : Si 0 ∈ E , alors 0 serait un minimum de E (c’est même un minimum pour tout N). Donc 0 6∈ E et P(0) est vraie. MAT1500 6 of 17 (Suite de la preuve.) Étape d’induction : Soit n ∈ N et supposons que pour 0 ≤ m ≤ n on a P(m) vraie, c.-à-d., m 6∈ E . On va montrer que P(n + 1) est vraie. Supposons au contraire que P(n + 1) est fausse, c.-à-d., n + 1 ∈ E (mais 0, 1, . . . , n ne sont pas dans E ). Soit a ∈ E . Alors a n’est pas un des 0, 1, . . . , n, qui sont les nombres naturels plus petit que n + 1. En conséquence a ≥ n + 1. Et on conclut que n + 1 est un minimum de E . Ce qui est une contradiction. Alors P(n + 1) est vraie. Conclusion : Par le principe d’induction généreuse, on conclut que P(n) est vraie pour chaque n ∈ N : pour chaque entier n 6∈ E . Ce qui implique que E est vide ! • Une contradiction encore. Cette fois on conclut que l’hypothèse "E n’a pas un minimum" est faux. MAT1500 7 of 17 Un minimum est en fait unique. Lemma (Unicité) Soit E ⊆ N un sous-ensemble non-vide. Alors E a un seul minimum. Démonstration. Par le principe du bon ordre au moins un minimum existe dans E . Soient n1 et n2 deux minima de E . Alors n1 et n2 sont dans E et pour chaque m ∈ E on a que n1 ≤ m et n2 ≤ m. En particulier n1 ≤ n2 (car n2 ∈ E ) et n2 ≤ n1 (car n1 ∈ E ). Donc n1 = n2 . MAT1500 8 of 17 Exemple : ” est vraie pour Montrons p(n) := ”0 + 1 + 2 + . . . + n = n(n+1) 2 chaque n ∈ N par le principe du bon ordre. Soit E le sous-ensemble des n ∈ N tel que p(n) est fausse. On veut montrer que E est vide ! Supposons E n’est pas vide. Par le principe du bon ordre, E a un minimum, disons N. N 6= 0, parce que ... Alors N − 1 ∈ N et N − 1 6∈ E (parce que ...) donc p(N − 1) est vraie : . 0 + 1 + 2 + . . . + (N − 1) = (N−1)N 2 En ajoutant N des deux côtés : 0 + 1 + 2 + . . . + (N − 1) + N = (N−1)N + N = N(N+1) 2 2 et p(N) est vraie, et N 6∈ E . Contradiction. Donc E est vide. MAT1500 9 of 17 Rappel de mardi. Nous voulons montrer : pour chaque nombre naturel n que si U est un ensemble fini avec n éléments alors |P(U)| = 2n . En ça en utilisant induction sur n. MAT1500 10 of 17 Brouillon : Mais comment ? Il faut être capable de déduire (d’une certaine façon) la calculation de |P(U)| d’une calculation d’un |P(V )| où |V | < |U|. Un candidat pour V ? On pourrait enlever un élément de U, disons x ∈ U. En effet V := U − {x } a seulement n − 1 éléments. Et 2n+1 = 2 · 2n . Donc il faut montrer que P(U) = 2P(V ) et puis nous pouvons utiliser induction facilement. MAT1500 11 of 17 Soit U un ensemble non-vide et fixons un élément x ∈ U. Divisons P(U), la collection des sous-ensembles de U, en deux classes (sous-ensembles disjoints). Rappel A := U\A, le complément de A ⊆ U et x ∈ A si et seulement si x 6∈ A. Définissons C1 := {A ∈ P(U)| x ∈ A} et C2 := {A ∈ P(U)| x 6∈ A}. Alors P(U) = C1 ∪ C2 et C1 ∩ C2 = ∅. Nous voulons montrer que C1 et C2 ont la même taille (si U est fini). MAT1500 12 of 17 x ∈ U est fixé et C1 := {A ∈ P(U)| x ∈ A} et C2 := {A ∈ P(U)| x 6∈ A} Définissons les fonctions f1 : C1 → C2 par f1 (A) = A et f2 : C2 → C1 par f2 (A) = A. Lemme Les fonctions f2 et f1 sont bijectives. Corollaire Si U est un ensemble fini, alors |C1 | = |C2 | et |P(U)| = 2|C1 |. MAT1500 13 of 17 Démonstration. (lemme) Par un résultat montré en classe il suffit de montrer que f1 ◦ f2 = 1C2 et f2 ◦ f1 = 1C1 . Si A ∈ C2 , alors x 6∈ A et x ∈ A, donc A ∈ C1 , et f2 est une fonction. Puis (f1 ◦ f2 )(A) = f1 (A) = A = A = 1C2 (A). L’autre identité (f2 ◦ f1 ) = 1C1 est montrée de la même façon. (cor.) On a C1 ∪ C2 = P(U) et C1 ∩ C2 = ∅. Alors |P(U)| = |C1 | + |C2 | − |C1 ∩ C2 | = |C1 | + |C2 |. f2 : C2 → C1 est une fonction bijective, donc si U est fini, alors |C2 | = |C1 | comme déjà montré. MAT1500 14 of 17 Lemme La fonction f3 : P(U\{x }) → C2 définie par f3 (A) := A est bijective. Corollaire Si U est un ensemble fini, alors |P(U\{x })| = |C2 |. Démonstration. Si A ∈ P(U\{x }) alors c’est un sous-ensemble de U qui ne contient pas x , donc c’est un élément de C2 . Et vice versa. Etc. MAT1500 15 of 17 Supposons U un ensemble fini et x ∈ U. Conclusion des deux corollaires : |P(U)| = 2 · |P(U\{x })|. Ce résultat sera utilisé dans la preuve du théorème : Théorème Soit U un ensemble de n éléments. Alors |P(U)| = 2n . MAT1500 16 of 17 Démonstration. Soit P(n) :="Pour chaque ensemble fini U de n éléments, l’ensemble P(U) a 2n éléments". Montrons P(n) par induction. Début (n = 0). U = ∅ est le seule ensemble avec 0 éléments et P(U) = {∅} a 20 = 1 élément. Donc en effet P(0) est vraie. Étape d’induction : Soit n ∈ N et supposons P(n) vraie. Soit U un ensemble avec n + 1 éléments. Choisissons un élément x ∈ U, alors U\{x } a n éléments. Par l’hypothèse d’induction |P(U\{x })| = 2n . Par le résultat avant : |P(U)| = 2|P(U\{x })|. Donc |P(U)| = 2 · 2n = 2n+1 et P(n) implique P(n + 1). Par induction le théorème est vrai. MAT1500 17 of 17 L’intra ... MAT1500 18 of 17