12-02-2016

Message à ceux qui ne viennent pas régulièrement au cours :
Vous faites une erreur de jugement considérable.
C’est vrai, seulement assister au cours (et ça de façon passive) ne
suffit pas. C’est seulement un tier de l’apprentissage, mais
quand-même !
Pour bien réussir ce cours de 4 crédits, selon les normes de
l’université, il faut participer activement au cours et travailler
3*4=12 heures par semaine en moyenne sur le cours (les heures de
cours incluses).
Heureusement, en classe je vois beaucoup d’étudiants qui écoutent
avec attention, et même souvent avec un certain esprit critique. Ils
se développent chaque cours un petit peu.
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Je vais continuer de discuter le solutionnaire de l’intra 1 plus tard,
sur le tableau noir !
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•Principe du bon ordre (une autre version d’induction).
Definition
Soit m,ndeux nombres naturels (ou entiers). On écrit
m≤n
s’il existe un nombre naturel r∈Ntel que m+r=n.
Definition
Soit E⊆Nun sous-ensemble non-vide de l’ensemble des nombres
naturels et m∈N.
On dit : mest un minimum de Esi m∈Eet m≤npour chaque
n∈E.
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Par exemple 0 est le minimum de N.
Un autre exemple : fixons n∈Net définissons le sous-ensemble
E={m∈N|m6=net m≥n}. Son minimum est le successeur
n+1.
À la place d’induction ou directement la dernière propriété
essentielle de Non peut utiliser le principe du bon ordre.
Les deux preuves typiques sont logiquement équivalent. Ça change
seulement la formulation ! Avec le principe du bon ordre se joint
souvent avec des arguments par l’absurde.
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Théorème (Principe du bon ordre)
Tout sous-ensemble non vide de Na un minimum.
-
Voilà, c’est tout ! Mais ce n’est pas une des propriétés élémentaires
de N, donc il faut le montrer !
Un tel minimum est en fait unique.
Lemma (Unicité)
Soit E ⊆Nun sous-ensemble non-vide. Alors E a un seul
minimum.
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