2009 - Université Paris VI
Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance (MM054)
TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales
1. Questions basiques sur les filtrations 1. Une union de tribus est-elle toujours une
tribu ?
2. Soit (Fn)une filtration (suite croissante de tribus) d’un ensemble Ω.∪n∈NFnest-elle
toujours une tribu ?
3. Que dire d’une martingale (resp. d’une sous-martingale, d’une sur-martingale) par
rapport à une filtration constante (i.e. telle que Fn=F0pour tout n) ? Que dire d’un
temps d’arrêt par rapport à une filtration constante ?
Solution : 1. Non, si Ω = {1,2,3}, alors F={∅,Ω,{1},{2,3}},G={∅,Ω,{1,2},{3}}
sont des tribus, mais pas F∪Gcar {2}={2,3}∩{1,2}/∈F∪G.
2. Non, si l’on prend Ω = [0,1[, et pour tout n,Fn=σ([(i−1)/2n, i/2n[ ; i= 1,· · · ,2n),
alors ∪n∈NFnest l’ensemble des unions finies d’intervalles du type [(i−1)/2n, i/2n[, avec
n≥0,i= 1,· · · ,2n. Cet ensemble n’est pas une tribu, sinon, il serait égal à la tribu
qu’il engendre, et la tribu qu’il engendre est l’ensemble des boréliens de Ω, par densité
des nombres dyiadiques dans Ω.
3. C’est une suite p.s. constante (resp. p.s. croissante, décroissante) d’éléments de
L1mesurables par rapport à cette tribu. Un temps d’arrêt par rapport à une filtration
constante est une v.a. à valeurs dans ¯
Nmesurable par rapport à cette tribu.
2. Conditionnement et indépendance 1. Soient Xet Ydeux variables aléatoires
indépendantes de lois de Bernoulli de paramètres p, q ∈]0,1[. On pose Z={X+Y=0}et
G=σ(Z). Calculer E(X| G)et E(Y| G).
2. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
3. Soient Z, T des variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité
(Ω,A, P )à valeurs dans des espaces mesurables quelconques (Ω0,A0),(Ω00,A00)telles que
pour toute sous-tribu Bde A, pour toutes fonctions numériques mesurables bornées
f, g définies respectivement sur (Ω0,A0),(Ω00,A00),E(f(Z)|B)et E(g(T)|B)sont indé-
pendantes. Montrer que Zou Test p.s. constante.
Solution : 1. Les ensembles {Z= 0}et {Z= 1}forment une partition de Ωqui
engendre G. Ainsi,
E(X|G) = E(X|Z= 0) {Z=0}+E(X|Z= 1) {Z=1}.
Sur {Z= 0},X= 0 p.s et donc E(X|Z= 0) = 0. De plus,
E(X|Z= 1) = P(X= 1)
P(X+Y≥1)
=P(X= 1)
1−P(X+Y= 0)
=p
1−(1 −p)(1 −q)=p
p+q−pq .
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