Fiche 5 - Université Paris 13

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 – Probabilités
Année universitaire 2011-2012
Fiche 5 – Martingales, applications en finance
Martingales
Exercice 1. Soit (Mn)n≥0une martingale de carré intégrable. On pose Xn= ∆Mn(= Mn−Mn−1).
1. Montrer que E[MmMn] = E[M2
m]pour tous m<n.
2. Montrer que E[XmXn]=0si m<n.
Exercice 2. Soit (an)n≥1une suite de réels telle que Pn≥1a2
n<∞, et (ξn)n≥1une suite de variables
aléatoires indépendantes telle que, pour tout n,E[ξn] = 0 et Var(ξn)=1(par exemple, ξn∼ N (0,1)).
1. Montrer que la suite Mn=Pn
k=1 akξkest une martingale.
2. Montrer que supnE[M2
n]<∞et en déduire que, presque-sûrement, la série P∞
n=1 anξnconverge.
Modèles financiers à temps discret
Exercice 3. Dans un marché viable, on note cnet pn, respectivement, les valeurs à l’instant nd’un call
et d’un put européens sur une unité d’actif risqué au prix d’exercice Ket d’échéance N. On souhaite
montrer la formule de parité call-put suivante :
cn−pn=Sn−K(1 + r)−(N−n).
1. On suppose K+ (cn−pn−sn)(1 + r)N−n>0. Montrer que vendre un call et acheter une action et un
put au temps nconstitue un arbitrage.
2. On suppose K+ (cn−pn−sn)(1 + r)N−n<0. Montrer qu’acheter un call et vendre une action et un
put au temps nconstitue un arbitrage.
3. Conclure.
4. Retrouver la formule à l’aide des expressions de cnet pncomme espérances conditionnelles sous une
probabilité risque-neutre P∗.
Exercice 4. Montrer que, dans un marche viable, pour tout actif conditionnel hd’échéance N, toute
stratégie autofinancée qui atteint hest admissible.
Exercice 5. On suppose le marché viable et complet. On considère un actif h=ϕ(S0, S1, . . . , SN)≥0,
exerçable au temps N(une option asiatique, par exemple).
1. Donner l’expression générale du prix ande hau temps nen fonction de la probabilité à risque neutre.
2. Tenter d’écrire la formule explicite de andans le cas du modèle de Cox–Ross–Rubinstein (ne pas
chercher à la simplifier).