Le corps des nombres réels

Première partie
Le corps des nombres réels
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Pour mesurer des longueurs, il y a tout d’abord les nombres entiers, puis pour plus de précisions on s’autorise
àprendredesportionsdecesnombresentiers,c’estcequel’onappellelesnombresrationnels.Peut-onmesurer
toute longueur avec des nombre rationnels ? La réponse est évidemment non bien que l’on puisse s’en rapprocher
autant qu’on le souhaite. Dans ce chapitre, on se propose de formaliser mathématiquement la notion intuitive de
nombre réel.
Définition. Un nombre est dit rationnel s’il peut s’écrire comme un quotient de deux entiers (éventuellement
relatifs). Un nombre réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel.
Exemple. 1
12 ,0.2016 ou encore 42 sont des nombres rationnels.
Lemme. Le nombre p2est irrationnel.
Démonstration. Supposons par l’absurde qu’il existe a2Zet b2N⇤tels que p2= a
bavec aet bpremiers entre
eux.
Alors bp2=apuis en élevant au carré : 2b2=a2.
Donc 2divise a2et comme 2est premier, 2divise a.
On peut écrire a=2a0.
Mais alors 2b2=4a02et donc b2=2a02.
Donc 2divise b.
Alors 2divise aet bqui ne peuvent être premiers entre eux, contradiction.
Nous avons donc vu qu’il y a une insuffisance des nombres rationnels, en effet p2est une longueur que l’on
rencontre, par exemple, lorsque l’on mesure la diagonale d’un carré de côté 1.
1 Construction de R
1.1 Les nombres décimaux
On commence par définir une classe de nombres qui sont les nombres à virgule avec un nombre fini de
décimales.
Définition. On appelle nombre décimal tout rationnel xqui s’écrit n
10k=n.10koù n2Zet k2N⇤.OnnoteD
l’ensemble des nombre décimaux.
Il est clair que Z⇢D⇢Qdonc nous venons donc de construire une classe de nombres qui vient se positionner
entre Zet Q.Unrésultatmoinsévident,c’estquetouslesrationnelsnesontpasforcémentdécimaux.
Lemme. Le nombre 1
3/2D.
Démonstration. Supposons par l’absurde qu’il existe n2Zet k2Ntels que 1
3=n.10k.
Alors 10k=3nor comme 3est un nombre premier, il faut que 3divise 10 : c’est absurde.

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1.2 Ecriture décimale finie
On peut écrire n’importe quel nombre entier n2N⇤sous la forme :
n=cl10l+... +c110 + c0
=
l
X
j=0
cj10j
où cjest un chiffre dans l’ensemble {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, cl6=0et l2N.Onditalorsquec0est le chiffre des
unités, c1celui des dizaines et ainsi de suite. On écrira :
n=hclcl1...c0i
On écrit maintenant un nombre décimal x=n10kde la manière suivante :
x=(
l
X
j=0
cj10j)10k
=
l
X
j=0
cj10jk
=cl10lk+...c010k
Certains exposants sont positifs et d’autres négatifs, on fait donc un changement de notation en posant djk=cj
afin d’avoir l’indice qui corresponde avec la puissance de 10.
Ainsi on a :
x=dlk10lk+...dk10k
On rajoute éventuellement un en début d’expression pour les nombres décimaux négatifs.
Definition. Soit x2D.
On appelle écriture décimale de xtoute expression de la forme :
h±dm...d1d0,d
1...dm0ioù dj2{0,1, ..., 9}etm, m02Net telle que :
x=±
m
Pdj10j
j=m0
On remarquera l’apparition d’une virgule dans l’expression entre crochets pour séparer les exposants positifs
et ceux négatifs, c’est à dire les nombre avant ou après la virgule.
Notons que l’on peut ajouter au début et à la fin de l’expression entre crochets autant de 0que l’on souhaite. On
identifie bien sur ces écritures décimales.
Example. Le nombre 12
5=24 10 =2,4peut s’écrire h2,4iou encore h002,40000i.
Remark. Lorsque l’on utilise de vrais chiffres et non des variables du type djon oubliera volontairement les crochets,
par exemple on écrit 12,12 et non h12,12i.

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1.3 Ecriture décimale infinie
Rien que pour décrire tous les rationnels, on aurait besoin d’une écriture décimale avec une infinité de chiffres
après la virgule, par exemple :
1
3=0,33333333333...
C’est ce que nous allons étudier dans ce sous chapitre.
Definition.
1) On considère l’ensemble Rdes expressions :
h±dm...d0,d
1d2...ioù dj2{1, ..., 9}etm2N.
Avec un e infi nité de dé cimal es (é vent uel lem ent s null es) c orresp o nda nt à un ex p o sant n éga tif. On app ell e une t ell e
écriture expression décimale infinie.
2) Une écriture décimale infinie est dite nulle si tous les djsont nuls.
3) Une écriture décimale infinie est dite négative si le signe se trouve devant.
Remark. Encore une fois, il nous faut identifier certianes écritures décimales entre elles (on peut toujours rajouter
autant de 0que l’on souhaite à gauche). En revanche nous n’associons pas encore de nombre à une écriture décimale
car il faudrait donner un sens à des objets comme
l
P
j=1
10jqui est une somme infinie.
1.4 L’ordre lexicographique
Jusqu’à présent, nos écritures décimales infinies ne correspondent pas encore à de vrais nombres mais presque.
Nous avons besoin d’une notion d’ordre donc on définit une relation d’ordre sur les écritures décimales infinies
correspondant à l’intuition.
Définition. On se donne deux écritures décimales infinies positives D=hdm...d0,d
1...iet E=hem0...e0,e 1...i.
Quitte à compléter à gauche avec des 0on peut supposer que m=m0.OnditalorsqueDest strictement inférieure
àEet on note DEs’il existe un rang l2Zplus petit que met tel que :
dj=ejpour tout j>l
dl<e
l
Cet ordre s’appelle ordre lexicographique et n’est rien d’autre que l’ordre alphabétique.
Remarque. On peut étendre cette relation d’ordre à Ren entier :
—SiDet Esont négatifs alors DE,ED.
—Siunseuldesdeuxestnégatifc’estévidemmentluilepluspetit.
Exemple. 12 42 et 3,43,4111111111...
1.5 Le corps des nombres réels
Nos écritures décimales infinies ne permettent pas encore de formaliser l’idée intuitive que l’on a de R.
Par exemple 0,999999... vaut 3⇥0,333333... Or 0,3333... est censé correspondre à 1
3et 3⇥1 3=1.
Donc 0,99999... et 1doivent représenter le même nombre réel.
Pourtant 0,9999.... 1,00000... mais on ne peut intercaler aucune autre écriture décimale entre les deux.

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Définition.
1) On dit que deux écriteurs Det Esont équivalentes s’il n’existe aucune écriture décimale infinie Itelle que
DIEou EID.OnnotealorsD⇠
=E.
2) On définit le corps des nombres réels Rcomme étant l’ensemble des écritures décimales Roù l’on identifie les
écritures équivalentes.
Définition. Une écriture décimale h±dm...d0,d
1...9999...ise terminant par une infinités de neufs est dite impropre.
Dans le cas contraire l’écriture sera dite propre.
Lemme. Supposons que 0DE. Alors D⇠
=E)Dest impropre et Eest une écriture décimale finie.
Démonstration. Notons D=hdm...d0,d
1...iet E=hem...e0,e 1...i.
Comme DE,ilexisteunpremierindiceltel que dl<e
l.
Supposons que Dest propre : il y a une infinité de nombres après dlqui ne sont pas des 9remplaçons les tous par
des 9on obtient une nouvelle écriture Itelle que DIE.
Supposons que Eest une écriture infinie, il y a au moins une décimale après elqui n’est pas 0, on les remplace
toutes par 0et on obtient une écriture Jtelle que DJE.
On a donc prouvé par la contraposée que D⇠
=E)Dest impropre et Eest une écriture décimale finie.
Remarque. Il est possible (mais délicat à cause des décimales et retenues à l’infini à droite) de munir Rde sa
structure de corps usuelle étendant celle de Q.
2 Propriétés liées à la relation d’ordre
2.1 Relation d’ordre
Sur R,ondisposedelarelationqui provient directement de l’ordre sur les écritures décimales défini au chapitre
précédent. C’est une relation d’ordre, cela veut dire qu’elle est :
—Réfléxive:8x2Ron a xx.
—Antisymétrique:8(x, y)2R2,(xy)et (yx))x=y.
—Transitive:8(x, y, z)2R3,(xy)et (yz))xz
Cette relation d’ordre est totale : cela veut dire qu’on peut toujours comparer deux éléments : 8(x, y)2R2,xy
ou bien yx.
Définition. Soit A⇢Rune partie de Ret a2A.
1) On dit que aest le plus grand élément de Asi 8x2Aon a xa.
2) On dit que aest le plus petit élément de Asi 8x2Aon a xa.
Lorsqu’il existe, on note le plus grand (resp le plus petit) élément d’une partie A,max(A)(resp min(A)).
Proposition. Tout ensemble fini Ade Radmet un maximum et un minimum.
Démonstration. On peut comparer tous les éléments et désigner le plus grand (resp le plus petit).
Exercice. Prouver avec les axiomes de la relation d’ordre, l’unicité du minimum (resp maximum) d’une partie.