Fonctions numériques Continuité

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Séquence 2 – MA01
Séquence 2
 Revoir les fonctions dérivables et découvrir les fonctions continues.
Étudier le sens de variation d’une fonction pour résoudre un problème
concret d’optimisation.
 Utiliser le sens de variation d’une fonction en Économie.
Trouver, à l’aide d’une calculatrice, des solutions approchées à des équa-
tions du type
f ( x ) = k .
Objectifs de la séquence
Sommaire
1. Pré-requis
2. Étude de fonctions (révisions 1re ES)
3. Notion de continuité sur un intervalle. Résolution d’équations du
type
f ( x ) = k
4. Synthèse de la séquence
5. Exercices de synthèse
Fonctions numériques
Continuité
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Séquence 2 – MA01
1Pré-requis
Dérivée des fonctions «puissances»
Dérivée de
uv, + de
ku,
de
uv
Problème d’optimisation
1. Dérivées des fonctions xx
n
 . Opérations
élémentaires sur les fonctions dérivables
Fonction f Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité
Cas particuliers
xk
x 0 
xx
x 1 
xx 2
xx 2 
xx 3
xx 32 
xx 4 xx 43 
Cas général
xx
n
(n entier naturel non nul)
xnx
n-1
Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel.
Somme ()'''
uv uv +=+
Produit d’une fonction par un réel ()' '
ku k u =
Produit ()' ' '
uv u v uv =+
Carré () '
uuu
22
'=
A
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Séquence 2 – MA01
On considère les fonctions polynômes fgh , , définies pour tout réel x par :
•=−+ +− • =−+
•=
fx x x x gx x x
hx
( ) ,  ( )
()
2056 3 2323
1
32 2
33
2
3
4
3
432
xxx −+.
Déterminer les fonctions dérivées des trois fonctions
f , g et h .
Pour tout x réel on a
•=−++• =−+•=−+ fx x x gx x hx x x x '( ) '( ) '( ) .66 26 4
328 3
232
2. Lien entre le signe de la dérivée
et le sens de variation d’une fonction.
Problème d’optimisation
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
fx '( ) =0 sur I
équivaut à
f
est constante sur
I ;
fx '( ) ≥0 sur I
équivaut à
f
est croissante sur
I ;
fx '( ) ≤0 sur I
équivaut à
f
est décroissante sur
I .
On donne
 une droite (')
xx
 un point fixe
H sur (') xx
 une demi-droite [)
Hy perpendiculaire à la droite ('). xx
A
S
B
H
x’ x
x
ySoit
S un point mobile de la demi-droite
[). Hy On construit alors, si c’est possible, un
triangle isocèle
SAB tel que SA SB ==6,
avec
AHx ∈[') et BHx ∈[). (voir figure 1).
On pose
HB x = et HS h =.
 Dire à quel intervalle [; ]
ab appartient le
réel
x .
Calculer l’aire du triangle
SAB lorsque xa =,
puis lorsque xb =.
Exercice
 Solution
Une fonction qui est
croissante et décrois-
sante sur un intervalle
I
est constante sur
I.
Exercice
Figure 1
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Séquence 2 – MA01
 Exprimer
h en fonction de x .
 On pose () ( ).
xSAB =aire Exprimer () x
en fonction de
x et de h , puis
uniquement en fonction de x .
 On pose, pour
axb ≤≤,
fx ()=[(x)]2.
a) Déterminer la fonction dérivée de f et étudier son signe.
b) Dresser le tableau de variation de f sur [; ]. ab
c) Pour quelle valeur de
x la fonction f est-elle maximale ? Calculer la valeur
de ce maximum.
a) En déduire pour quelle valeur de x l’aire du triangle SAB est maximale.
Donner la valeur de l’aire maximale.
b) Quelle particularité présente alors le triangle
SAB ?
Le point S peut se déplacer entre deux positions limites sur la demi-droite
[) Hy : le point H et le point K tel que HK =6.
Si SH = alors x =6 et si SK = alors x =0. Ainsi
x ∈[;].06
Lorsque x =0 on a ABH ==; le triangle SAB se réduit à un segment vertical.
Lorsque x =6 les points AS B ,et sont alignés ; le triangle est un «triangle
aplati».
D’où, pour x =0 ou x =6 l’aire du triangle SAB est nulle.
Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SHB .
On a hx h
222
60=− >d'où, comme ,
hx =−36 2.
On obtient () ( ) x SAB AB HS HB HS ==×=×aire 1
2 soit () .
xhx =
On en déduit ()
xx x =−36 2 pour 0 ≤ x ≤ 6.
 a) On a alors
fx x x () ( ).=−
22
36
Pour dériver
f on peut poser
ux x
vx x
()
()
=
=−
2
2
36
d’où
ux x
vx x
'( )
'( ) .
=
=−
2
2
On obtient
fx x x x x x x x x '()( )()( )( ),=−+−=−=−236 2 2362 418
22 2 2
soit
fx x x x '( ) ( )( ).=−+432 32
432 32 0 032 32 xx x x ()() {;;.−+= ∈ −pour }
Seules les deux premières valeurs annulent fx '( ) car elles appartiennent à l’in-
tervalle 06; .
 Solution
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Séquence 2 – MA01
Pour x ∈[;]06 on a 32 0 0+> ≥
xx et . La dérivée
fx '( ) a donc le même
signe que 32−
x .
32 0 0 32 32 0 32 6−> ≤< −< <≤ xx x x pour et pour .
Le signe de fx '( ) est donné dans le tableau suivant :
x
0 32 6La fonction
f est
croissante sur
décroissante sur
032
326
;;
;
.
x
0+ +
32+ x
++
32− x
+0–
fx '( ) 0+0–
On pouvait aussi développer fx () et dériver l’expression obtenue, c’est-à-dire
−+ xx
42
36 .
Remarque
b) On en déduit le tableau de variation de la fonction f
sur [ ; ].06
x0 32 6
fx '( ) 0+0 –
fx ()
182
0 0
c) La fonction f
est maximale pour
x =32
et
ff
max () .==32 18
2
a) On sait que f ( x ) = [( x )]2 et que la
fonction xx → est croissante
sur[; [.0+∞
D’où
i
i
si alors soit
si alor
fx fy fx fy
fx fy
() () () ()
() ()
≤≤
≥sssoit
fx fy () ()≥
Les fonctions  et
f
varient dans le même sens.
L’aire est maximale pour
x =32
et cette aire maximale est égale à 18.
S
Ꮽmax = 18
BA H
Figure 2
( x ) ≤ ( y ) ;
(
x ) ≥ ( y ).
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