Surtension à l`ouverture d`un circuit inductif

Exercice à rendre le jeudi 26 novembre
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Surtension à l’ouverture d’un circuit inductif
A - Modélisation
La résistance interne du générateur r, qui vaut 50 W, est montée en série avec la résistance R2 , qui vaut 1,0 kW. Les
valeurs numériques indiquent que la résistance équivalente à l’association série de r et R2 est pratiquement
égale à R2 . Par conséquent, le générateur est modélisé sans résistance interne, donc comme une source idéale.
Attention, il y a deux arguments à donner : les valeurs numériques d’une part, mais aussi le fait que les
résistances sont montées en parallèle.
Barème : 1 point
B - Régime transitoire suite à la fermeture de l’interrupteur
B.1
Pour t > 0, l’interrupteur court-circuite la résistance R1 , qui n’est donc traversée par aucun courant.
Barème : 0.5 point
B.2 En régime permanent, la bobine est équivalente à un fil. Ainsi, le circuit est équivalent à une résistance R2
reliée aux bornes du générateur continu de f.é.m. E. D’après la loi d’Ohm, le courant parcourant le circuit vaut
i∞ =
E
.
R2
Barème : 1 point
B.3
D’après la loi des mailles, E = uL + uR .
uL
L’équation différentielle est ensuite directement donnée par les lois de comportement,
i
E
L
E=L
R2
u2
di
+ R2 i
dt
Le forçage étant continu, le courant i∞ en régime permanent asymptotique sera aussi continu.
L’équation différentielle donne alors
E = 0 + R2 i ∞
d’où
i∞ =
E
,
R2
ce qui est cohérent avec l’analyse précédente.
Barème : 2 points
B.4
Écrivons l’équation différentielle sous forme canonique,
E
di 1
+ i=
dt
τ
L
avec
τ=
L
.
R2
Ses solutions sont la somme de la solution particulière i∞ trouvée précédemment et d’une solution de l’équation
homogène qui prend la forme sh (t) = A e−t/τ . Ainsi,
i(t) =
i(0− )
i(0− )
L
E
R2
On en déduit donc
R1
E
+ A e−t/τ .
R2
La constante A se détermine à partir d’une condition initiale, i(0+ ). Comme i
est le courant traversant une bobine, alors il est toujours continu donc i(0+ ) =
i(0− ). Pour déterminer i(0− ), analysons le circuit à cet instant : l’interrupteur
est ouvert et le régime est permanent. La bobine est donc équivalente à un fil,
et les deux résistances sont parcourues par le même courant.
E = R1 i(0− ) + R2 i(0− )
d’où
1/4
i(0− ) =
E
R1 + R2
Étienne Thibierge, 9 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
DM 26 novembre : Surtension en circuit inductif
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Ainsi, par continuité,
E
E
i(0 ) =
=
+A
R1 + R2
R2
+
d’où
A=
1
1
−
R1 + R2
R2
soit
E
i(t) =
R2
E=−
R1
E
(R1 + R2 )R2
Ainsi,
R1
E
−
E e−t/τ
i(t) =
R2
(R1 + R2 )R2
1−
R1
e−t/τ
R1 + R2
.
Encore une fois, on retrouve bien
lim i(t) =
t→∞
E
= i∞ .
R2
Barème : 3 points
Le chronogramme est représenté figure 1.
i, en mA
B.5
14
12
10
8
6
4
2
0
−2
−2
0
2
4
6
t, en ms
8
10
Fig. 1 – Chronogramme de i(t) suite à fermeture de l’interrupteur. Les deux lignes pointillées indiquent les valeurs
de τ et de i∞ .
Barème : 1 point
C - Régime transitoire suite à l’ouverture de l’interrupteur
C.1 Le courant i déterminé précédemment est celui qui traverse une bobine. Il doit donc être continu, et en
particulier i(0+ ) = i(0− ) = i∞ . Comme c’est ce courant qui traverse la résistance R1 à t = 0+ (elle est montée en
série avec la bobine), alors
R1
u(0+ ) = R1 i∞ =
E.
R2
Barème : 2 points
C.2
D’après la loi des mailles, E = uL + u + u2 .
uL
En utilisant les lois de comportement (et évidemment sans remplacer u que l’on cherche),
i
E
L
R2
u2
R1
u
E=L
di
+ u + R2 i .
dt
car le courant i est le même dans tous les dipôles, et vaut i = u/R1 . Ainsi,
E=
soit
L du
R2
+u+
u.
R1 dt
R1
du R1 + R2
R1
+
u=
E
dt
L
L
ce qui se met sous forme canonique
du
1
R1
+ 0u=
E
dt
τ
L
avec
2/4
τ0 =
L
.
R1 + R2
Étienne Thibierge, 9 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
DM 26 novembre : Surtension en circuit inductif
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Barème : 2 points
du
en fonction de X = u. L’équation différentielle ci-dessus donne
dt
1
R1
Y =− 0X+
E.
τ
L
Le portrait de phase, représenté figure 2, est donc une droite de pente −1/τ 0 < 0 et d’ordonnée à l’origine R1 E/L > 0.
C.3 Le portrait de phase consiste à tracer Y =
du/dt
t→∞
u(0+ )
•
t=0
u
•
Fig. 2 – Portrait de phase.
Barème : 1 point
C.4 Résolvons l’équation différentielle, en commençant par trouver une solution particulière up . Le forçage étant
constant, la solution particulière l’est aussi. On déduit de l’équation différentielle que
0+
1
R1
E
up =
0
τ
L
up = τ 0
d’où
R1
R1
E=
E.
L
R1 + R2
La solution de l’équation homogène associée s’écrit quant à elle
0
uh (t) = A e−t/τ .
et ainsi
0
R1
E + A e−t/τ .
R1 + R2
La constante A se détermine alors sur la solution complète à partir de la condition initiale déterminée à la question C.1,
u(t) =
u(0+ ) =
R1
R1
E+A=
E
R1 + R2
R2
d’où
A=
R12
E.
R2 (R1 + R2 )
Finalement, en factorisant,
R1
R1 −t/τ 0
u(t) =
E 1+
e
.
R1 + R2
R2
Barème : 2 points
C.5
Chronogramme représenté figure 3.
Barème : 1 point
D - Surtension aux bornes de l’interrupteur
D.1 Comme l’interrupteur est monté en parallèle de R1 , alors la tension aux bornes de l’interrupteur est tout
simplement u.
Barème : 0.5 point
D.2 Lorsque l’interrupteur est ouvert, la continuité du courant entraîne de très fortes valeurs pour la tension u,
nettement supérieures à la tension E : la valeur u(0+ ) atteint 60 V.
Barème : 1 point
D.3 Une étincelle est le signe du passage d’un courant électrique dans l’air : en schématisant, les molécules sont
ionisées et permettent le passage d’électrons. Cela n’est possible que si la tension aux bornes de l’interrupteur est
suffisamment élevée, supérieure à une valeur seuil qui déclenche le phénomène. Or u(0+ ) est proportionnelle à R1 , et
est donc d’autant plus grande que R1 est élevée.
Barème : 1 point
3/4
Étienne Thibierge, 9 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
u, en V
DM 26 novembre : Surtension en circuit inductif
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
70
60
50
40
30
20
10
0
−10
−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
t, en ms
Fig. 3 – Chronogramme de u(t) suite à l’ouverture de l’interrupteur. Les deux lignes pointillées indiquent les
valeurs de τ 0 et de u∞ .
4/4
Étienne Thibierge, 9 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr