Surtension à l`ouverture d`un circuit inductif

Exercice à rendre le jeudi 26 novembre
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Surtension à l’ouverture d’un circuit inductif
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des
questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec votre cours ouvert et les exercices faits en classe à portée de main est chaudement recommandé.
Utiliser votre calculatrice ou un logiciel comme Geogebra ou Python est possible, et peut parfois vous aider.
Travailler en groupe est autorisé mais le travail de rédaction doit être individuel et le nom des personnes avec qui
vous avez travaillé doit être indiqué au début de votre copie. Les groupes doivent être raisonnables : pas plus de
trois personnes. Je rappelle aussi qu’un travail de groupe est un travail à plusieurs, et pas le travail d’une personne
recopié à plusieurs.
L’objectif de cet exercice est d’étudier le phénomène de surtension aux bornes d’un interrupteur lors de l’ouverture
d’un circuit inductif. Ce phénomène est par exemple utilisé pour l’allumage des tubes néon qui éclairent toutes nos
salles de classe. Les parties B et C sont des applications du chapitre SP 7 qu’il faut que tout le monde sache faire :
n’hésitez surtout pas à poser des questions en cas de difficultés.
i
L
R1
E
u
On s’intéresse au circuit représenté ci-contre, dans lequel l’interrupteur est successivement fermé puis ouvert. Pour les applications numériques, on prendra
L = 1,0 H, R1 = 5,0 kΩ, R2 = 1,0 kΩ, et E = 12 V.
R2
A - Modélisation
Le source idéale de tension représentée est en fait un générateur. Compte tenu des valeurs numériques données
dans l’énoncé, justifier que la résistance interne (ou résistance de sortie) du générateur est toujours négligeable. En
déduire que le modéliser par une source idéale est justifié.
B - Régime transitoire suite à la fermeture de l’interrupteur
On définit l’instant t = 0 comme celui où l’interrupteur est brusquement fermé. La grandeur nous intéressant
dans cette première partie est l’intensité i du courant traversant la bobine.
B.1 - Justifier sans calcul l’intensité du courant dans la résistance R1 pour tout t > 0 est nulle.
B.2 - Déterminer sans résoudre d’équation différentielle la valeur i∞ du courant i en régime permanent, une fois le
transitoire terminé.
B.3 - Établir l’équation différentielle vérifiée par i(t). Vérifier qu’elle est cohérente avec la valeur trouvée pour i∞ .
B.4 - Résoudre cette équation pour montrer que
E
R1
i(t) =
1−
e−t/τ
R2
R1 + R2
avec
τ=
L
R2
Vérifier que la solution est cohérente avec la valeur trouvée pour i∞ .
B.5 - Tracer l’allure de la courbe représentant i(t), en indiquant les valeurs remarquables i∞ et τ .
C - Régime transitoire suite à l’ouverture de l’interrupteur
On laisse l’interrupteur fermé plusieurs secondes avant de l’ouvrir à nouveau. On redéfinit l’instant t = 0, qui
est désormais celui où on ouvre l’interrupteur. La grandeur étudiée dans cette seconde partie est la tension u
aux bornes de la résistance R1 .
C.1 - Déduire de la partie précédente la valeur initiale u(0+ ). Confirmer votre résultat par une analyse par équivalence
de circuits.
C.2 - Établir l’équation différentielle vérifiée par u, faisant apparaître une nouvelle constante de temps τ 0 .
C.3 - À partir de l’équation différentielle obtenue, construire le portrait de phase relatif à u. N’oubliez pas de
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Étienne Thibierge, 2 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
DM 26 novembre : Surtension en circuit inductif
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
l’orienter et d’y indiquer les états initial et final du circuit.
C.4 - Résoudre l’équation différentielle et déterminer u(t).
C.5 - Tracer l’allure de la courbe représentant u(t) en indiquant les valeurs remarquables u∞ et τ 0 .
D - Surtension aux bornes de l’interrupteur
D.1 - Que vaut la tension aux bornes de l’interrupteur en termes des grandeurs étudiées précédemment ?
D.2 - Indiquer alors ce qu’est la « surtension à l’ouverture d’un circuit inductif ».
D.3 - Expliquer qualitativement pourquoi, si la résistance R1 est très grande une ouverture brutale du circuit est à
même de provoquer une étincelle.
Si « l’interrupteur » est situé à l’intérieur d’un tube néon, cette étincelle est capable d’amorcer le tube en ionisant
suffisamment le gaz qu’il contient pour qu’il puisse rester durablement conducteur et rendre lumineuse la couche
fluorescente située à sa périphérie. Si tel est le cas, le tube continue d’être traversé par un courant qui entretient
l’ionisation : le néon est allumé. Pour aller un peu plus loin que cette image simplifiée (notamment voir le montage
électrique réel qui sert à allumer un néon, basé sur deux « interrupteurs »), vous pouvez consulter la page « ballast
(électricité) » de Wikipedia.
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Étienne Thibierge, 2 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr