TABLE DES MATIÈRES

i
TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION 1
NOTION DE MODÈLE 1
LIMITES DES PRÉDICTIONS D'UN MODÈLE 2
ORIGINES ET ÉVOLUTION DE LA THERMODYNAMIQUE 4
PLAN DU COURS 6
FORCE, TRAVAIL, ÉNERGIE 9
NOTION DE FORCE 9
Les forces décrivent les interactions entre les objets 9
Modèle d'une force 9
Propriété des forces 10
Définition d'une force 10
FORCE ET MOUVEMENT 10
Cinématique 10
Dynamique 11
PRESSION 12
TRAVAIL 13
Exemple : l'allongement d'un ressort 13
PUISSANCE 14
ÉNERGIE 15
Définitions 15
Énergie cinétique 15
Énergie potentielle 16
Énergie mécanique 17
Exemple d'énergie potentielle 17
Principe du minimum d'énergie potentielle 17
Exemple de conservation de l'énergie mécanique 18
FORCES CONSERVATIVES ET DISSIPATIVES 20
Forces dissipatives 20
Forces conservatives 20
EXERCICES 20
TEMPÉRATURE ET CHALEUR 23
NOTION DE TEMPÉRATURE 23
Échelle de Kelvin 24
Interprétation statistique de la température absolue 25
Comparaison socio-économique du modèle du gaz parfait 25
NOTION DE GAZ RÉEL 26
Équation de van der Waals 26
Isothermes d'Andrews, phases liquide et gazeuse (succès du modèle) 27
Phase solide (limite du modèle) 29
Retour aux gaz parfaits 29
Comparaison socio-économique du modèle du gaz réel 30
CHALEUR 31
Modèle classique 31
Calorimétrie 31
CHALEUR SPÉCIFIQUE DES GAZ PARFAITS 32

ii
Chaleur spécifique molaire 32
Chaleur spécfique des gaz parfaits 33
VARIABLES ET ÉQUATION D'ÉTAT D'UN GAZ PARFAIT 33
EXERCICES 34
SYSTÈMES, TRANSFORMATIONS ET ÉCHANGES THERMODYNAMIQUES 37
DÉFINITIONS 37
TRAVAIL EN THERMODYNAMIQUE 38
Définition 38
Premier exemple de transfert d'énergie : l'étirement d'un ressort 38
Second exemple de transfert d'énergie : la compression d'un gaz 40
LA CHALEUR EN THERMODYNAMIQUE 41
Définition 41
Propriétés 41
Analogie du modèle avec une population 42
CLASSFICATION DES TRANSFORMATIONS 44
Transformations réversibles 44
Transformations irréversibles 44
PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIOUE 45
INTRODUCTION 45
DÉMONSTRATION DE L'EXISTENCE DU PREMIER PRINCIPE 45
Énoncé pour les transformations ouvertes adiabatiques 45
Énoncé pour les transformations fermées (cycles) 46
Énoncé du premier principe pour les transformations ouvertes 47
Énergie interne 48
Mouvement perpétuel de première espèce 49
APPLICATIONS AUX GAZ PARFAITS 49
Énergie interne d'un gaz parfait 49
Relation de Mayer 51
Travail pour une transformation isotherme (réversible) d'un gaz parfait 52
Équation des adiabatiques réversibles d'un gaz parfait 53
Analogie du modèle avec le comportement des nomades 54
EXERCICES 55
SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 57
INTRODUCTION 57
Définitions 58
LE SECOND PRINCIPE SELON KELVIN ET CLAUSIUS 59
Équivalence des deux formulations 60
Conséquences 61
L'ÉNERGIE LIBRE 62
Analogie entre l'énergie libre et l'énergie potentielle 65
Application aux gaz parfaits 66
Cas particulier d'un système isolé 67
Analogie du modèle avec le comportement des nomades 68
LE SECOND PRINCIPE SELON CARNOT 68
Introduction 68
Premier cas : travail fourni par le système ( 0
<
W ) 69
Second cas : travail reçu par le système ( 0
>
W ) 71
RENDEMENT 72

iii
Cycle de Carnot 72
La machine de Carnot comme modèle 76
Analogie de ce modèle avec le comportement des nomades 77
Théorème de Carnot 77
Machine frigorifique et pompe à chaleur 79
THÉORÈME DE CLAUSIUS 81
Relation relative à deux thermostats 81
Relation relative à n thermostats 82
L'ENTROPIE 84
Changements d'entropie dans les transformations réversibles d'un gaz
parfait 87
Relation entre l'entropie et l'énergie libre 90
L'entropie des systèmes isolés 92
Exemple d'évolution spontanée de systèmes isolés 93
Entropie de l'univers 94
Analogie du modèle classique de l'entropie avec le comportement des
nomades 96
EXERCICES 96
Entropie et énergie libre des gaz parfaits 96
Phase condensée idéale 98
Transformations cycliques, rendement 98
Conséquences du second principe 99
PROBABILITÉS ET STATISTIQUE : UNE BRÈVE INTRODUCTION 101
HISTORIQUE 101
QUELQUES CONSIDÉRATIONS UTILES DANS LE DOMAINE DES
PROBABILITÉS 101
Propriétés des probabilités 102
Moyenne et variance 103
Probabilités conditionnelles, dépendance, indépendance 104
Distribution binomiale 106
Comment interpréter un écart ? 107
NOTIONS ÉLÉMENTAIRES DE MÉCANIQUE STATISTIQUE 111
INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE STATISTIQUE 111
Classi fi cation des systèmes 112
PRINCIPES DE LA MÉCANIQUE STATISTIQUE POUR UN SYSTÈME
MICROCANONIQUE 112
La chaleur est un transfert désordonné d'énergie 112
Le travail est un transfert ordonné d'énergie 114
À un état macroscopique correspond un ou plusieurs microétats 114
L'évolution du système obéit à des lois de probabilité 117
Signification statistique de l'entropie 117
EXEMPLES SIMPLES D'INTERPRÉTATION STATISTIQUE DE L'ENTROPIE 119
Détente libre d'un gaz (expérience de Joule) 119
Mélange de deux gaz 123
Augmentation du désordre de vitesse des systèmes isolés ; processus
d'égalisation de température 124
Fluctuations statistiques 124
SYSTÈMES CANONIQUES 126

iv
Distribution de Boltzmann 126
Analogie du modèle de la distribution de Boltzmann avec le comportement
des nomades 128
Calcul de l'entropie statistique du système canonique 129
Expression de l'entropie à partir de la fonction de partition 131
Entropie statistique d'un gaz parfait monoatomique 132
Additivité de l'entropie statistique - Indiscernabilité des particules 135
TROISIÈME PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 137
Modèle de l'oscillateur harmonique 138
Analogie avec les nomades 140
EXERCICES 141
Systèmes microcanoniques 141
Systèmes canoniques 141
THÉORIE DE L'INFORMATION 143
INTRODUCTION 143
Diagramme de communication 144
MESURE DE L'INFORMATION QUAND LES SYMBOLES SONT
ÉQUIPROBABLES 146
Potentiel et entropie d'information 146
Exemple d'information potentielle 149
Entropie d'information et entropie thermodynamique 151
Capacité temporelle d'un canal 153
LES SYMBOLES NE SONT PAS ÉQUIPROBABLES 155
Potentiel et entropie d'information 155
Dé fi nition générale d'une entropie 156
Exemple d'information potentielle 157
PROPRIÉTÉS DE L'ENTROPIE 161
Optimisation du potentiel informatif 163
Information potentielle d'un langage 168
TRANSMISSION DE L'INFORMATION 169
Information de deux sources indépendantes 170
Information de deux sources dépendantes 171
PROPRIÉTÉS DES ENTROPIES RELATIVES ET CONDITIONNELLES 176
Exemple de la propriété d'additivité de l'entropie 179
Exemple de transmission avec bruit sans perte d'information 180
Théorème d'unicité 182
Dé fi nition du canal discret et constant 183
Capacité d'un canal avec bruit 184
Exemple de calcul de la capacité d'un canal bruité 185
TRANSMISSION PAR UN CANAL SANS BRUIT – CODAGE DE SOURCE 187
Premier exemple 187
Ef fi cacité d'un codeur 191
Codage uniforme 192
Codages non uniformes 193
Condition d'existence d'un codage instantané 194
Code complet 196
Démonstration de l'existence d'une borne inférieure de
n
197
Théorème fondamental de Shannon pour un canal sans bruit 199
Conséquence du théorème de Shannon pour un canal sans bruit 201

v
Construction du code de Shannon 202
Code de Huffman 204
Code absolument optimal 206
TRANSMISSION PAR UN CANAL BRUITÉ – CODAGE DE CANAL 206
Exemple de réduction de l'erreur de transmission par répétition du signal 207
Théorème fondamental du codage avec bruit 209
Discussion 210
EXERCICES 211
Calcul de logarithmes en base 2 211
Optimisation du potentiel informatif 211
Transmission sans codage et sans bruit 212
Sans codage et avec bruit 213
Avec codage et sans bruit 214
Avec codage et avec bruit 216
ANNEXES 219
FORMULE DE STIRLING 219
RECHERCHE D'EXTREMA LIÉS 219
CAPACITÉ EN INFORMATION D'UN CANAL BRUITÉ 220
Exemples 224
Il reste un problème… 226