circuits série

CIRCUITS A COURANT ALTERNATIFS.
Circuit uniquement résistant.
Soient : U la tension efficace aux bornes du circuit de résistance R (sans self ni capacité), I l'intensité
efficace du courant; on démontre que ces grandeurs sont liées par la relation:
I= U
R
Comme dans le cas du courant continu, on a:
I en ampères (A)
U en volts (V)
R en ohms CA)
La puissance dépensée dans le circuit est:
P = U⋅ I = R ⋅ I
L' intensité et la tension sont en phase (fig 1 )
2
P en watts. (w)
Fig 1
Circuit seulement inductif.
Beaucoup de circuits électriques possèdent à la fois résistance et auto induction. Ces deux propriétés sont
inséparables. Un conducteur rectiligne est fort peu inductif, mais si l'on l'enroule toujours dans le même sens pour
en faire une bobine, son inductance augmente, mais sa résistance reste invariable. Pour une bobine sans noyau de
fer, la constante de temps , τ = L/R dépasse rarement 0,01; L est donc le plus souvent égale à R/100.
Pour simplifier, nous supposerons un circuit purement inductif, sans résistance. Cette hypothèse est donc
bien différente de la réalité. Soient L henrys l'inductance du circuit, U volts la tension efficace à ses bornes, I
ampères l'intensité efficace dans le circuit et ω radians par seconde la pulsation du courant.
On démontre que, en courant sinusoïdal:
I= U
L⋅ω
L' expression l · ω se nomme la réactance du circuit et s'évalue
en ohms comme une résistance.
ω s'appelle la pulsation du courant alternatif, en radians par
secondes, ( rad/sec) et vaut:
2⋅ Π
ω=
= 2⋅ Π ⋅ f
T
Dans le cas du courant alternatif usuel, dont la fréquence est 50 Hz;
Fig 2
ω = 2 x 3,14 x 50 = 314 radians par seconde
L'intensité est décalée en arrière sur la tension d'un quart de période , (Π/2 rad. ou 900 ) - ( fig 3 )
Fig 3
C'est la réactance L ω
qui joue le rôle de résistance, elle
est proportionnelle à la fréquence.
Une inductance pure ( sans
résistance) ne procure pas de perte,
puisque le produit R·I est nul,
mais elle produit un décalage du
courant sur la tension. La fig 4
montre que la puissance absorbée
au réseau est nulle malgré la
présence du courent I.
Pour u et i de même signe, le produit u·i est positif, la
bobine absorbe de l'énergie elle fonctionne comme récepteur.
Pour u et i de signe' contraire, le produit u·i est négatif, la
bobine restitue de l'énergie au reste du circuit au lieu de
recevoir: elle fonctionne:; comme générateur. La bobine
fonctionne comme récepteur deux fois par période. La courbe 3
montre qu'elle restitue autant d'énergie qu'elle n'en reçoit et la
puissance dépensée est donc nulle.
Le produit U·I est appelé: puissance réactive et
s'exprime en volts-ampères-réactifs ( VAr ).
Fig 4
Circuit avec capacité seule.
Dans un circuit ne comprenant qu'un condensateur de capacité C
farads, (fig. 5) on démontre que, pour un courant sinusoïdal :
I = U ⋅ C⋅ ω
I en ampères (A)
U en volts (V)
C en farads (F)
ω en radians/sec (rad/s)
On écrit aussi cette expression sous la forme : I = U
1
Fig 5
C⋅ ω
L'expression 1 se nomme la réactance de capacité ou réactance
C⋅ ω
capacitive et s'exprime en ohms. L'intensité est décalée de π radians (90°) en avance sur la tension.
2
Fig 6
La puissance active absorbée au réseau est nulle (fig.
7).
Comme dans le cas de la self, pendant un quart de
période, le condensateur reçoit de l'énergie, et pendant le
quart de période suivant il la restitue.
La puissance moyenne dépensée dans le condensateur
pendant chaque période est nulle. Le produit U · I représente
la puissance réactive du condensateur et s'exprime en VoltsAmpères-réactifs (Var)
Fig 7
GROUPEMENT DE RECEPTEURS EN SERIE.
Résistance et inductance en série.
Fig 8
Si on applique une tension alternative aux bornes du circuit de la fig. 8, on constate que le somme
arithmétique des tensions est supérieure à la tension totale U. C'est dû au fait que les tensions U1 et U2 ne sont pas
en phase. En général, des tensions alternatives en série ne s'additionnent pas arithmétiquement comme les tensions
continues.
La résistance R peut être celle du fil de la bobine (cas général), dans ce cas, U1 et U2 sont fictives, ou bien la
somme d'une résistance séparée en série avec la self et de la résistance de la self. L'intensité est décalée en arrière
sur la tension d'un angle φ plus petit que 90° ou π/2 radians.
Diagramme vectoriel. (fig 9)
On choisi comme origine des phases, la grandeur
commune à tous les éléments du circuit. L'intensité I étant
commune aux éléments R et L (dans un circuit série, le courant
est le même en tout les points d'un circuit et donc, identique pour
chacun de ses composants, il est commun à tout les éléments),
elle sera choisie comme origine des phases. Dans la résistance
pure R, I et U sont en phase et l'on représente U1 = R · I par le
vecteur OB en phase avec I. Dans l'inductance pure, la tension
U2 =L·ω·I est déphasée de π/2 radians (90°) en avant sur
l'intensité I et est représentée par le vecteur BC perpendiculaire à
Fig. 9
OB .
Le vecteur OC est la somme géométrique de U1 et U2 et représente le tension totale U entre les bornes
d'alimentation du circuit (cette tension est bien inférieure à la somme arithmétique des tensions U1 et U2).
U
L'intensité dans le circuit à pour valeur : I =
2
2
2
R + L ⋅ω
2
2
2
Z= R + L ⋅ ω
s'appelle l'impédance du circuit; on la représente par la lettre Z et s'évalue en ohms (fig. 10 )
I= U
Z
et
2
2
2
Z= R + L ⋅ ω
tg ϕ =
L⋅ω
R
cos ϕ = R
Z
Fig. 10
L'inductance L n'absorbe pas de puissance. La puissance P est dépensée toute entière dans la résistance R.
2
On a :
P = R⋅I
R ⋅ I = U ⋅ cos. ϕ
Comme :
La puissance vaut : P = U ⋅ I ⋅ cos. ϕ et s'appelle la puissance active; c'est la puissance mesurée par un
wattmètre et enregistrée par un compteur. Lorsque on applique une tension à une inductance, on constate que la
bobine s'échauffe un peu, cet échauffement provient du fait que la bobine n'est pas une inductance pure; la
résistance du fil d'un bobinage peut être très appréciable. Bien que la résistance et l'inductance d'un bobinage ne
puissent êtres séparés, il est permis de les représenter pour les calculs, comme deux éléments séparés, raccordés en
série. U1 et U2 sont alors des tensions fictives.
Le produit U · I ou R · I2 s'appelle la puissance apparente du circuit, qui s'exprime en volt-ampères
2
(VA), et se note Pa ; le produit L⋅ ω⋅ I (tension aux bornes de la self multipliée par le courant) représente la
puissance réactive et s'exprime en volt-ampères-réactifs (VAr) et se note Pr.
Résistance et capacité en série.
Fig. 11
Comme dans la cas du circuit R-L , la somme arithmétique des tensions U1 et U2 est supérieure à la tension
d'alimentation U (fig. 11). L'intensité est décalée en avant sur la tension d'un angle φ plus petit que 90° ou π/2
radians.
Diagramme vectoriel.
La grandeur commune aux deux éléments R et C est
l'intensité I, elle sera choisie comme origine des phases.
Dans la résistance pure R; I et U sont en phase et U1
= R · I est représentée par le vecteur OB , la tension
U 2 = I aux bornes du condensateur est déphasée de π/2
C⋅ ω
radians (90°) en arrière sur l'intensité I et est représentée par le
vecteur BC perpendiculaire à OB .
Le vecteur OC est la somme géométrique de U1 et U2,
et représente la tension totale U entre les bornes
d'alimentation.. L'intensité I à pour valeur :
Fig. 12
I=
U


R + 1 
C
⋅
ω


2
2
ou :
2 

R + 1 
C
⋅
ω


2
représente l'impédance Z du circuit en ohms.
2
2 

I = U et Z = R +  1 
Z
 C⋅ ω 
tg ϕ =
1
C⋅ω⋅ R
cos ϕ = R = R ⋅ C ⋅ ω
Z
Fig. 13
Le condensateur C n'absorbe pas de puissance, elle est entièrement dépensée dans la résistance R.
La puissance active dépensée dans le circuit vaut : P = R · I2 = U · I · cosφ et s'exprime en Watts (W)
La puissance apparente du circuit est égale à : Pa = U · I et s'exprime en VA, et la puissance réactive :
Pr = U2 · C · ω , qui s'exprime en VAr.
Résistance, inductance et capacité en série.
Fig. 14
Etude vectorielle.
Le courant est l'élément commun du circuit et est donc choisi comme origine des phases (cas général des
circuits en série)
La chute de tension R · I, en phase avec I est représentée par AB (fig. 15).
La chute de tension inductive L · ω · I est déphasée de π/2 radians (90°) en avance sur I; on le représente
par BC .
La tension U 2 = I aux bornes du condensateur est déphasée de π/2 radians (90°) en arrière sur I et est
C⋅ ω
représentée par CD . La tension totale U (tension d'alimentation) est représentée par AD .
On a :
I= U =
Z
U
2


R +  L⋅ ω − 1 
C
⋅
ω


2
L⋅ ω − 1
Cω
tgϕ =
R
Fig. 15
2


Z = R +  L ⋅ ω − 1  représente l'impédance du circuit.
C⋅ ω 

2
Si U est déphasé en avant sur la tension, c'est à dire : φ > 0 cela signifie que L ⋅ ω > 1 , et le circuit est
C⋅ ω
inductif.
Si U est déphasé en arrière sur le tension, c'est à dire : φ < 0 cela signifie que L ⋅ ω < 1 , et le circuit est
C⋅ ω
capacitif.
2
Puissance active :
P = R ⋅ I = U ⋅ I ⋅ cos ϕ
Puissance apparente : Pa = U ⋅ I
Puissance réactive :
2 

Pr = U⋅ I ⋅ sin ϕ = I ⋅  L ⋅ ω − 1 
C
⋅
ω


Notons que dans un circuit série, la tension aux bornes de l'inductance ou de la capacité peut être supérieure
à la tension d'alimentation.
Résonance série.
Lorsque dans un circuit série composé d'une inductance et d'un condensateur, on rend égal les réactances
Lω de la self et 1/Cω de la capacité, l'impédance du circuit est rendue minimum et le courant passe par une valeur
2
2 
maximum. En effet, puisque Lω = 1/Cω, l'impédance Z = R +  L ⋅ ω − 1  est minimum puisque Lω C⋅ ω 

1/Cω = 0 et elle se réduit alors à la résistance ohmique R de la bobine. Le courant dans le circuit vaut alors
I = U et le diagramme vectoriel du circuit série devient celui de la fig 16.
R
Les tensions aux bornes de l'inductance et de la capacité sont aussi maximum et valent : U = L⋅ ω⋅ I = I .
C⋅ ω
Elles peuvent atteindre des valeurs plusieurs fois supérieur
à la tension d'alimentation et sont d'autant plus grandes que la
résistance R est faible.
Le courant et la tension totale sont en phase, car :
L⋅ ω − 1
C⋅ ω 0
tg ϕ =
= =0
R
R
On dit que le circuit est en résonance et la condition de
résonance est :
2
L⋅ω = 1
soit L ⋅ C ⋅ ω = 1
C⋅ ω
Fig. 16
L en Henrys
C en Farads
(H)
(F)
ω en
radiants par seconde (rad/sec)
2
2
De la condition de résonance L ⋅ C ⋅ ω = 1 , on tire ω = 1
L ⋅C
Comme ω = 2 · π · f
, la formule devient : 2 ⋅ π ⋅ f =
d'ou
f=
1
2⋅ π⋅ L⋅ C
d'ou
ω⋅ =
1
L⋅ C
1
L⋅ C
(formule de Thomson)
On peut obtenir la résonance en faisant varier soit L, soit C, soit la fréquence du courant dont dépend ω (ω
= 2·π·f) , on peut ainsi sélectionner des courants de fréquence différentes. Le quotient de la tension aux bornes de
l'inductance (ou du condensateur) par la tension d'alimentation U (qui est la même que la tension aux bornes de R)
est appelé facteur de surtension ou facteur de qualité du circuit et se représente pas la lettre Q.
d'ou :
Q=
Z L ⋅ I ZC ⋅ I
=
R⋅I R⋅I
Q=
Z L ZC ω ⋅ L
1
=
=
=
R R
R
ω⋅C⋅ R
On constate que le coefficient de surtension est d'autant plus grand que R est petit.
A la résonance, la puissance est entièrement dissipée dans la résistance R du bobinage et vaut :
P = R · I2 = U · I car cos φ = 1
Courbes de résonance
Lorsque l'on fait varier d'une façon continue l'une des trois grandeur L, C ou ω, l'impédance prend la
valeur minimale R lorsque la condition de résonance L · C · ω2 = 1 est vérifiée (fig. 20). Le courant I produit
par une tension fixe U appliquée à l'ensemble prend alors la valeur maximale. Il en est de même de la tension UC
aux bornes du condensateur et du rapport de surtension UC / U ainsi que UL aux bornes de la self et du rapport UL
/ U.
Les graphes correspondants sont des courbes de résonance (fig. 17 à 19).
Elles sont de forme analogues: elles présentent toutes un maximum, d'autant plus pointu que le facteur de
qualité de la bobine est plus grand, lorsque la grandeur variable passe par la valeur qui satisfait la condition L · C ·
ω2 = 1 (fig. 21 )
Fig. 20
Fig. 21
Dans ces formules, R peut être considéré comme la résistance totale en série avec L ou C, sans égard à la
manière dont cette résistance est répartie entre les deux branches.