Mathématiques

Cours Concis
de
Mathématiques
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Pierre Guillot

Chapitres
Une table des matières détaillée se trouve à la fin du livre
1 Ensembles 3
2 Nombres 22
3 Polynômes 44
4 Suites 62
5 Matrices 84
6 Continuité 108
7 Déterminants 126
8 Compacité 146
9 Dérivées 154
10 L’exponentielle 176
11 Espaces vectoriels 195
12 Formules de Taylor 220
13 Applications linéaires 235
1

14 Intégrale de Riemann 262
15 Fractions rationnelles 298
16 Diagonalisation 317
17 Équations différentielles linéaires 342
2

Chapitre 1
Ensembles
– Première lecture –
Ensembles et appartenance
Les objets mathématiques peuvent être rangés dans des en-
sembles, que l’on écrit avec des accolades. Par exemple,
E = {1,2,3}et F = {19,11}
sont des ensembles. On note x∈X pour signifier que xappar-
tient à X, et dans le cas contraire on emploie le symbole <; par
exemple, on a 2 ∈E et 3 <F.
Un ensemble ne comprend jamais de « répétition », et n’est
pas ordonné : ainsi
{2,2,2,3,3}={2,3}et {3,2,1}={1,2,3}.
Il existe bien sûr des ensembles infinis, comme l’ensemble N
des nombres entiers, dont nous reparlerons au chapitre sui-
vant. Il y a également un ensemble vide, qui ne contient aucun
élément : on le note ∅ou, plus rarement, {}.
Lorsque tous les éléments d’un ensemble A sont aussi dans
l’ensemble B, on dit que A est une partie de B, ou qu’il est inclus
dans B, et on note A ⊂B. Par exemple
{2,4,6,8}⊂{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
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Les ensembles sont souvent dessinés comme des bulles, et pour
représenter l’inclusion on place ces bulles les unes dans les
autres, comme ci-dessous :
Fixant B, on peut considérer l’ensemble P(B) dont les élé-
ments sont toutes les parties de B; ainsi dans le cas où B =
{1,2,3}, on a
P(B) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
(On n’oublie ni la partie vide, ni B lui-même.)
Enfin, étant donnés deux ensembles A et B, on peut for-
mer leur produit cartésien noté A ×B, dont les éléments sont les
paires (a,b) avec a∈A et b∈B. Lorsque A = {1,3}et B = {2,4,6}
par exemple, on a
A×B = {(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6)}.
On notera que pour les paires, l’ordre est important : ainsi l’élé-
ment (1,2) de N×Nest différent de l’élément (2,1).
Quelques constructions
Lorsqu’on dispose d’un ensemble E, on peut s’intéresser
aux élements de E qui vérifient une certaine propriété P. Ceux-
ci forment à nouveau un ensemble, que l’on note ainsi :
{x∈E|P(x)}.
(Parfois le |est remplacé par deux points, ou par l’expression
complète « tels que ». Il y a de nombreuses variantes et il faut
s’habituer à des notations qui changent de temps en temps, en
général pour éviter les lourdeurs.)
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