Intégration Fonctions continues par morceaux sur un segment On

Intégration
I Fonctions continues par morceaux sur un segment
On considère un segment
Rba,
(
ba
) et un espace de Banach E sur
RK 
ou C.
A) Espace normé des fonctions bornées
On rappelle que l’ensemble
),,( EbaB
des fonctions bornées de
ba,
dans E est
un K-espace vectoriel, que la norme de la convergence uniforme est une norme qui
fait de
),,( EbaB
un espace de Banach.
B) Sous-espace des fonctions continues par morceaux
On note
),,( EbaCpm
l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur
ba,
à valeurs dans E.
Propriétés :
(1) Toute fonction de
),,( EbaCpm
est bornée.
),,( EbaCpm
est un sous-espace de
),,( EbaB
, non fermé pour .
(2) Pour
),,( EbaCf pm
, l’application
R )(,: tfbatf 
est continue
par morceaux.
C) Sous-espace des fonctions en escaliers
On rappelle qu’une fonction
Eba ,:
est dite en escaliers si il existe une
subdivision
baaa n ...
0
telle que est constante sur chacun des intervalles
ouverts
1
,ii aa
(
1..0 ni
). On note
),,( Eba
l’ensemble des fonctions en escalier
de
ba,
dans E.
Propriétés :
(1)
),,( Eba
est un sous-espace de
),,( EbaCpm
, dense pour .
(2)
),,( Eba
est engendré par les fonctions de la forme
V
dc,
1
où
dc,
1
est la
fonction caractéristique du segment
badc ,, 
et V un élément donné de E.
D) Application linéaire d’intégration
Théorème :
On fixe
ba,
un segment.
Pour tout espace de Banach E, il existe une unique application linéaire
baEE ,,
IntInt 
, notée
EdttfEbaCf b
a
pm  )(),,( 
, telle que :
(1)
E
Int
est linéaire.
(2) Si est en escalier sur la subdivision
baaa n ...
0
, constante de valeur
i
m
sur
1
,ii aa
(
1..0 ni
),
 1
01)()()(Int n iiii
b
a
Emaadttf
(3) Pour tout
),,( EbaCf pm
, on a
  fabdttfdttf b
a
b
a)()()(
Démonstration :
On définit
EEbaL ),,(:
comme dans (2).
Alors L est continue pour car :
)()(),,,( abLEba E

Ainsi,
EEbaL ),,(:
est linéaire, continue donc uniformément continue (car
lipschitzienne). Comme E est complet et
),,( Eba
est dense dans
),,( EbaCpm
pour
, le théorème de prolongement des applications uniformément continues montre que
L a un unique prolongement à
),,( EbaCpm
, qui vérifie (1), (2), (3).
E) Cas où
RE
: positivité
Théorème :
Soit
Rbaf ,:
continue par morceaux et positive. Alors :
(1)
b
adttf )(
est un réel positif.
(2)
b
adttf )(
est nul si et seulement si f est nulle sauf sur un ensemble fini.
(3) Si
Rbahg ,:,
sont continues par morceaux et telles que
hg 
, alors
 b
a
b
adtthdttg )()(
.
Théorème :
Soit
Rbaf ,:
continue et positive.
Alors
b
adttf )(
est un réel positif, et il est nul si et seulement si f est identiquement
nulle.
F) Cas où
CE
: inégalité de Cauchy–Schwarz
Théorème :
Si
Cbagf ,:,
sont continues par morceaux,
fg
l’est aussi et on a :
 b
a
b
a
b
adttgdttfdttgtf 22
2)()()()(
Si f et g sont continues partout, il y a égalité dans l’inégalité ci-dessus si et
seulement si
),( gf
est lié.
Corollaire :
 b
a
pm dttgtfgfbaCgf )()(,),,(),( 2C
est un produit scalaire.
G) Additivité par rapport aux intervalles
Propriété :
Soit
bac ,
et
Ebaf ,:
. Alors f est continue par morceaux sur
ba,
si et
seulement si elle l’est sur
ca,
et
bc,
, et alors :
  b
c
c
a
b
adttfdttfdttf )()()(
Extension :
Soit
EIf :
une fonction continue par morceaux sur l’intervalle I. f est alors
continue par morceaux sur tout segment
Iba ,
. Pour
Iba ,
, on étend alors
l’intégrale à
badttf
ab
dttf a
b
b
a si )(
si 0
)(

Théorème :
Sous les hypothèses ci-dessus, on a
  b
c
c
a
b
adttfdttfdttfIcba )()()(,,,
H) Sommes de Riemann
Pour
Ebaf ,:
et toute subdivision pointée de
ba,
),( X
où
)...( 0baaa n
,
),...(1n xxX 
de sorte que
1
,,..1  iii aaxni
, on pose
 n
iiii xfaaXfR 11)()(),,(
.
En particulier, pour
*Nn
, on pose
nab
h
,
 1
0)()( n i
g
nihafhfR
et
 n
i
d
nihafhfR 1)()(
.
On rappelle que le pas de la subdivision est
)(max)( 1
..1  ii ni aa
.
Théorème :
Si f est continue sur
ba,
, alors
),,( XfR
tend vers
b
adttf )(
lorsque le pas
)(
tend vers 0 (et ce sans condition sur X). On a donc :
 b
adttfXfRX )(),,()(),,(,0,0
En particulier,
)( fRd
n
et
)( fRg
n
tendent vers
b
adttf )(
quand n tend vers .
I) Intégrales et primitives
Définition :
On appelle primitive de
EAf  R:
toute application F dérivable sur A de
dérivée f.
Exemple important :
L’application
sinon )cos()sin(2
0 si 0
22 121 x
x
x
x
x
x
n’est pas continue mais admet des
primitives.
Propriété :
Si
EIf :
admet des primitives sur l’intervalle I, alors deux quelconques
d’entres elles diffèrent d’une constante.
Théorème (fonction de la borne supérieure) :
Soit
EIf :
une fonction continue par morceaux où I est un intervalle de R, et
Ia
. On pose
x
adttfxF )()(
. Alors :
(1) F est continue sur I, et même lipschitzienne sur tout segment de I. Elle admet
une dérivée à droite et à gauche en tout point de I et
)(lim)()(' 0
0
00 hxfxfxF h g 
,
)(lim)()(' 0
0
00 hxfxfxF h d 
.
(2) F est dérivable en tout point
0
x
où f est continue et on a
)()(' 00 xfxF 
(3) Toute fonction continue f sur un intervalle I admet des primitives. Plus
précisément, si f est continue sur I, F est de classe
1
C
et c’est une primitive de
f.
Théorème :

Si F est une primitive sur l’intervalle I, de la fonction continue
EIf :
, alors
pour tout
Iba ,
, on a
)()()( aFbFdttf
b
a
.
J) Lemme de Riemann–Lebesgue
Lemme :
Soit
Cbaf ,:
continue par morceaux. Alors
0)(lim .
b
a
ti dtetf
Démonstration :
- Si
dc
f, 1
où
bdca 
, alors
)(
1
)( .... cidi
d
c
ti
b
a
ti ee
i
dtedtetf
pour
0
.
Donc
0
2
)( .  
b
a
ti dtetf
- L’ensemble des fonctions caractéristique de segment engendre l’espace des
fonctions en escalier, donc par linéarité, la limite est encore vraie sur
),,( Eba
- Pour les fonctions quelconques :
On va montrer que
 b
a
ti dtetf .
)(,,0,0 R
Soit
0
. Posons
0
1)(2
' ab
Par densité de
),,( Eba
dans
),,( EbaCpm
, il existe
),,( Eba
tel que
' f
Alors, pour tout
R
, on a :
b
a
ti
b
a
ti
b
a
ti
b
a
ti
b
a
ti
dtet
dtetabf
dtetdtetfdtetf
.
.
...
)(
2
)()(
)())(()(
De plus, il existe
0
tel que
2
)(, .  b
a
ti dtetR
Donc, pour , on aura
b
a
ti dtetf .
)(
, d’où le résultat.
II Calcul des intégrales et des primitives
A) Notations et rappels
Soit I un intervalle non trivial de R (non vide et non réduit à un point) et E un
espace de Banach.
Pour
EIf :
, on note
dxxf )(
une primitive (s’il en existe) quelconque de f
sur I (on l’appelle parfois intégrale indéfinie de f)
On sait que deux primitives diffèrent d’une constante et que si f est continue, alors
pour
Ia
fixé,
x
adttfx )(
est une primitive de f.

B) Intégration par parties
Théorème :
Soient
EIvu :,
de classe
1
C
. On a
  dxxvxuxvxudxxvxu )()(')()()(')(
Remarque :
L’égalité ci-dessus se lit : si F est une primitive de
vu'
, alors
Fuv
est une
primitive de
'uv
.
C) Changement de variables
Théorème :
Soient I, J deux intervalles non triviaux de R,
EIu :
et
IJ :
de classe
1
C
.
On a
 udxxxu 
)(')('
Si de plus est bijective (par exemple un
1
C
-difféomorphisme), alors en posant
x
adtttuxF )(')()(
, on a
)()( 1zFdzzu 
Remarque :
L’égalité ci-dessus se lit : si F est une primitive de
'. u
, alors
1
F
est une
primitive de u.
D) Primitives usuelles
bat
iibat
ibat dt Arctanln
sur R si
Rba,
avec
0b
.
1 si ln
1-\ si
1
1
x
x
dxxC
sur
*
RI
ou
*
RI
.
1
)(
)( 1
0
0
nzx
dxzx n
n
si
1\ Zn
,
RC \
0z
et sur
RI
.
x
x
dx tan
cos2
,
)tan(ln
cos 42
x
x
dx
et
xxdx coslntan 
sur
nnIn 22 ,
x
x
dx cotan
sin 2
,
2
tanln
sin x x
dx 
et
xxdx sinlncotan 
sur
nnJn ,
.
ax ax aax dx
ln
2
1
22
si
0a
et sur
aI  ,
,
aa,
ou
,a
.
a
x
aax dx Arctan
1
22 
et
a
x
ax
dx Argsh
22 
si
0a
, sur R.
a
x
xa
dx Arcsin
22 
si
0a
et sur
aa,
.
)Argsh)(sgn(
22 a
x
x
ax
dx 
si
0a
et sur
aI ,
ou
,a
.
E) Méthodes usuelles
1) Fractions rationnelles