Intégration Fonctions continues par morceaux sur un segment On

Intégration
I Fonctions continues par morceaux sur un segment
On considère un segment a, b  R ( a  b ) et un espace de Banach E sur K  R ou C.
A) Espace normé des fonctions bornées
On rappelle que l’ensemble B(a, b, E) des fonctions bornées de a, b dans E est
un K-espace vectoriel, que la norme

fait de B(a, b, E) un espace de Banach.
de la convergence uniforme est une norme qui
B) Sous-espace des fonctions continues par morceaux
On note C pm (a, b, E ) l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur a, b
à valeurs dans E.
Propriétés :
(1) Toute fonction de C pm (a, b, E ) est bornée.
C pm (a, b, E ) est un sous-espace de B(a, b, E) , non fermé pour
(2) Pour f  C pm (a, b, E ) , l’application
par morceaux.

.
f : t  a, b  f (t )  R est continue
C) Sous-espace des fonctions en escaliers
On rappelle qu’une fonction  : a, b  E est dite en escaliers si il existe une
subdivision a  a0  ...  an  b telle que  est constante sur chacun des intervalles
ouverts ai , ai 1  ( i  0..n 1 ). On note  (a, b, E) l’ensemble des fonctions en escalier
de a, b dans E.
Propriétés :
(1)  (a, b, E) est un sous-espace de C pm (a, b, E ) , dense pour

.
(2)  (a, b, E) est engendré par les fonctions de la forme 1c,d V où 1c,d  est la
fonction caractéristique du segment c, d   a, b et V un élément donné de E.
D) Application linéaire d’intégration
Théorème :
On fixe a, b un segment.
Pour tout espace de Banach E, il existe une unique application linéaire
Int E  Int E ,a ,b  , notée f  C pm (a, b, E )   f (t )dt  E , telle que :
b
a
(1) Int E est linéaire.
(2) Si  est en escalier sur la subdivision a  a0  ...  an  b , constante de valeur
n 1
mi sur ai , ai 1  ( i  0..n 1 ), Int E ( )   f (t )dt   (ai 1  ai )mi
b
a
(3) Pour tout f  C pm (a, b, E ) , on a

b
a
f (t )dt   f (t ) dt  (b  a) f
Démonstration :
On définit L :  (a, b, E)  E comme dans (2).
Alors L est continue pour

car :
   (a, b, E), L( ) E  (b  a) 

i 0
b
a

Ainsi, L :  (a, b, E)  E est linéaire, continue donc uniformément continue (car
lipschitzienne). Comme E est complet et  (a, b, E) est dense dans C pm (a, b, E ) pour

, le théorème de prolongement des applications uniformément continues montre que
L a un unique prolongement à C pm (a, b, E ) , qui vérifie (1), (2), (3).
E) Cas où E  R : positivité
Théorème :
Soit f : a, b  R continue par morceaux et positive. Alors :
(1)
(2)


b

b
a
b
a
f (t )dt est un réel positif.
f (t )dt est nul si et seulement si f est nulle sauf sur un ensemble fini.
(3) Si g, h : a, b  R sont continues par morceaux et telles que g  h , alors
a
b
g (t )dt   h(t )dt .
a
Théorème :
Soit f : a, b  R continue et positive.
Alors

b
a
f (t )dt est un réel positif, et il est nul si et seulement si f est identiquement
nulle.
F) Cas où E  C : inégalité de Cauchy–Schwarz
Théorème :
Si f , g : a, b  C sont continues par morceaux, fg l’est aussi et on a :

b
a
2
b
b
f (t ) g (t )dt   f (t ) dt  g (t ) dt
2
a
2
a
Si f et g sont continues partout, il y a égalité dans l’inégalité ci-dessus si et
seulement si ( f , g ) est lié.
Corollaire :
( f , g )  C pm (a, b, C ) 2  f , g    f (t ) g (t )dt est un produit scalaire.
b
a
G) Additivité par rapport aux intervalles
Propriété :
Soit c  a, b et f : a, b  E . Alors f est continue par morceaux sur a, b si et
seulement si elle l’est sur a, c et c, b , et alors :

b
a
c
b
a
c
f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt
Extension :
Soit f : I  E une fonction continue par morceaux sur l’intervalle I. f est alors
continue par morceaux sur tout segment a, b  I . Pour a, b  I , on étend alors
0 si b  a

b

l’intégrale à  f (t )dt   a
a
 f (t )dt si a  b

 b
Théorème :
b
c
b
a
a
c
Sous les hypothèses ci-dessus, on a a, b, c  I ,  f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt
H) Sommes de Riemann
Pour f : a, b  E et toute subdivision pointée de a, b ( , X ) où
  (a  a0  ...  an  b) , X  ( x1 ,...xn ) de sorte que i  1..n, xi  ai , ai 1  , on pose
n
R( f ,  , X )   (ai  ai 1 ) f ( xi ) .
i 1
En particulier, pour n  N * , on pose h 
n 1
ba
, Rng ( f )  h f (a  ih ) et
n
i 0
n
Rnd ( f )  h f (a  ih ) .
i 1
On rappelle que le pas de la subdivision  est  ( )  max (ai  ai 1 ) .
i 1.. n
Théorème :
Si f est continue sur a, b , alors R ( f ,  , X ) tend vers
 ( ) tend vers 0 (et ce sans condition sur X). On a donc :

b
a
f (t )dt lorsque le pas
b
  0,   0, ( , X ), ( )    R( f ,  , X )   f (t )dt  
a
En particulier, Rnd ( f ) et Rng ( f ) tendent vers

b
a
f (t )dt quand n tend vers   .
I) Intégrales et primitives
Définition :
On appelle primitive de f : A  R  E toute application F dérivable sur A de
dérivée f.
Exemple important :
si x  0
0
L’application x  
n’est pas continue mais admet des
1
2
1
2 x sin( x 2 )  x cos( x 2 ) sinon
primitives.
Propriété :
Si f : I  E admet des primitives sur l’intervalle I, alors deux quelconques
d’entres elles diffèrent d’une constante.
Théorème (fonction de la borne supérieure) :
Soit f : I  E une fonction continue par morceaux où I est un intervalle de R, et
x
a  I . On pose F ( x)   f (t )dt . Alors :
a
(1) F est continue sur I, et même lipschitzienne sur tout segment de I. Elle admet
une dérivée à droite et à gauche en tout point de I et
F ' g ( x0 )  f ( x0 )  lim f ( x0  h) , F 'd ( x0 )  f ( x0 )  lim f ( x0  h) .
h0
h0
(2) F est dérivable en tout point x0 où f est continue et on a F ' ( x0 )  f ( x0 )
(3) Toute fonction continue f sur un intervalle I admet des primitives. Plus
précisément, si f est continue sur I, F est de classe C 1 et c’est une primitive de
f.
Théorème :
Si F est une primitive sur l’intervalle I, de la fonction continue f : I  E , alors

pour tout a, b  I , on a
b
a
f (t )dt  F (b)  F (a) .
J) Lemme de Riemann–Lebesgue
Lemme :
Soit f : a, b  C continue par morceaux. Alors lim

b
  a
f (t )ei .t dt  0
Démonstration :
- Si f  1c ,d  où a  c  d  b , alors

b
a
d
f (t )ei .t dt   ei .t dt 
c
Donc

b
a
f (t )ei .t dt 
2

1 i . d
(e  ei .c ) pour   0 .
i

 0

-
L’ensemble des fonctions caractéristique de segment engendre l’espace des
fonctions en escalier, donc par linéarité, la limite est encore vraie sur
 (a, b, E)
-
Pour les fonctions quelconques :
On va montrer que   0,   0,   R ,    

b
a
f (t )ei .t dt  

Soit   0 . Posons  ' 
0
2(b  a)  1
Par densité de  (a, b, E) dans C pm (a, b, E ) , il existe   (a, b, E) tel que
f     '
Alors, pour tout   R , on a :

b
a
f (t )ei .t dt 
b
 ( f  )(t )e
a
 f 

i .t

2

b

b
dt    (t )ei .t dt
a
(b  a) 
  (t )e
i .t
a
b
  (t )e
a
i .t
dt
dt
De plus, il existe   0 tel que   R ,    
Donc, pour    , on aura

b
a
b
  (t )e
a
i .t
dt 

2
f (t )ei .t dt   , d’où le résultat.
II Calcul des intégrales et des primitives
A) Notations et rappels
Soit I un intervalle non trivial de R (non vide et non réduit à un point) et E un
espace de Banach.
Pour f : I  E , on note  f ( x)dx une primitive (s’il en existe) quelconque de f
sur I (on l’appelle parfois intégrale indéfinie de f)
On sait que deux primitives diffèrent d’une constante et que si f est continue, alors
x
pour a  I fixé, x   f (t )dt est une primitive de f.
a
B) Intégration par parties
Théorème :
Soient u, v : I  E de classe C 1 . On a  u ( x)v' ( x)dx  u ( x)v( x)   u ' ( x)v( x)dx
Remarque :
L’égalité ci-dessus se lit : si F est une primitive de u' v , alors uv  F est une
primitive de uv' .
C) Changement de variables
Théorème :
Soient I, J deux intervalles non triviaux de R, u : I  E et  : J  I de classe C 1 .
On a  u ' ( x) ' ( x)dx  u  
Si de plus  est bijective (par exemple un C 1 -difféomorphisme), alors en posant
x
F ( x)   u   (t ) ' (t )dt , on a  u ( z )dz  F   1 ( z )
a
Remarque :
L’égalité ci-dessus se lit : si F est une primitive de u   . ' , alors F   1 est une
primitive de u.
D) Primitives usuelles
t a
 sur R si a, b  R avec b  0 .
b 
dt
 t  a  ib  ln t  a  ib  iArctan 
 x 1

si   C \ - 1
sur I  R * ou I  R * .
 x dx    1
 ln x si   1
( x  z0 ) n1
n
(
x

z
)
dx

si n Z \ 1 , z0  C \ R et sur I  R .
0

n 1
dx
dx
 cos2 x  tan x ,  cos x  ln tan( 2x  4 ) et  tan xdx   ln cos x
sur I n   2  n , 2  n 
dx
dx
 sin 2 x  cotan x ,  sin x  ln tan 2x et  cotan xdx  ln sin x
sur J n  n ,   n  .


 



dx
1
xa
si a  0 et sur I   , a ,  a , a ou a , .

ln
2
a
2a x  a
dx
x
dx
1
x
 x 2  a 2  a Arctan a et  x 2  a 2  Argsh a si a  0 , sur R.
x


2
dx
a2  x2
dx
x2  a2
 Arcsin
x
si a  0 et sur  a , a .
a
 sgn( x)( Argsh
E) Méthodes usuelles
1) Fractions rationnelles
x
) si a  0 et sur I   , a  ou a , .
a
Méthode générale :
On décompose en éléments simples complexes et on utilise les premières
formules ci-dessus.
Pour les fractions réelles, on regroupe pour finir les expressions conjuguées.
Cas particulier :
On peut avoir recours à des récurrences ou à des changements de variables
dx
ramenant à des fonctions trigonométriques. Par exemple, 
peut se
(1  x 2 ) n
calculer par récurrence ou en posant x  tan  .
2) Polynômes trigonométriques
Méthode générale :
On linéarise, éventuellement à l’aide des formules d’Euler.
Cas particulier :
Parfois une astuce peut éviter les longs calculs de la méthode générale. Par
exemple, si n est impair (resp. m impair), le changement de variable u  sin t
(resp. u  cos t ) ramène le calcul de  cos n t sin m tdt à  u m (1  u 2 ) 2 du (resp. …)
n1
Si m et n sont tous deux paires, il faut revenir à la méthode générale.
3) Fonctions rationnelles en sin et cos
Il s’agit de primitive de la forme
 F (cos x, sin x)dx
où F est une fraction
rationnelle en deux variables.
Méthode générale :
En posant t  tan 2x , on se ramène à une fraction rationnelle en t.
Attention :
Ici, le changement de variable doit être C 1 , donc il faut se placer sur un des
intervalles (2n 1) , (2n  1) , n  Z .
Exemple :
Pour a  1 sur I n  (2n  1) , (2n  1)  , on a :
 1 a

Arctan 
tan 2x   Cn où Cn dépend de n.
1 a2
 1 a

Pour obtenir une primitive sur R, il faut faire un raccordement en les
( 2n  1) ; il reste alors une seule constante d’intégration.
Cas particuliers :
On peut parfois poser u  sin x , u  cos x ou u  tan x ce qui conduit à une
fraction rationnelle en u plus simple que la fraction en t. Pour poser u   (x ) , il
faut qu’on puisse écrire F (cos x, sin x)  g   ( x). ' ( x) . Cela donne la règle de
Bioche :
Propriété :
Si la forme différentielle  ( x)  F (cos x, sin x)dx est :
(2) Invariante par x  x   , u  tan x rationalise la primitive.
(3) Invariante par x   x , u  cos x rationalise la primitive.
(4) Invariante par x    x , u  sin x rationalise la primitive.
Les deux derniers résultats sont valables sur tout intervalle où
x  F (cos x, sin x) est continue. Le premier l’est sur I   2  n , 2  n  .
dx
 1  a cos x 
2
4) Fonctions rationnelles en exp, ch, sh
La méthode générale consiste à poser t  e x . On peut aussi utiliser u  th 2x
et parfois, comme dans 3), u  ch x , u  sh x ou u  th x .
5) Intégrales abéliennes 1
Pour les fonctions rationnelles en x et
Cas général : poser t  n
n
ax  b
.
cx  d
ax  b
cx  d
Cas particulier :

1 x 
dx , on peut poser x  sin  .
Pour  F  x,

1

x


6) Intégrales abéliennes 2
Pour les fonctions rationnelles en x et ax 2  bx  c avec a  0 .
Méthode générale :
Après mise sous forme canonique du trinôme, on se ramène à l’un des cas :
1  x 2 où on peut poser x  sin 
1  x 2 où on peut poser x  sh 
x 2  1 où on peut poser x  ch 
puis appliquer les points précédents.
Méthode moins générale :
Si ax 2  bx  c a deux racines u, v, réelles distinctes, on peut écrire :
x u
et appliquer le point précédent.
ax 2  bx  c  x  v k
xv
III Formules de Taylor et développements limités
Cadre :
On étudie des applications f : I  E où I est un intervalle de R et E un Banach sur le
corps K  R ou C.
Lorsque f admet des dérivées jusqu’à l’ordre n  1 en a  I , pour tout x  I on note :
n 1
( x  a) k ( k )
Tn ( f , x, a)  
f (a) (polynôme de Taylor de f en a)
k!
k 0
Rn ( f , x, a)  f ( x)  Tn ( f , x, a) (reste de Taylor de f en a)
A) Formules globales
Il s’agit d’étudier les valeurs numériques d’une fonction connaissant sa ‘régularité’
et ses dérivées en un point.
Les formules de ce point sont des égalités ou inégalités valables sur tout un
intervalle.
Théorème (cas des polynômes) :
Soit K un corps quelconque et P  K [ X ] .


Pour tout a  K , ( X  a) n , n  N est une base de K [ X ] .

P ( k ) (a)
Si de plus K est de caractéristique nulle, on a P  
( X  a) k
k!
k 0
Et dans l’anneau K [ X , Y ] des polynômes en deux variables,

P(k ) ( X ) k
Y
k!
k 0
Remarques :
Les sommes sont en fait finies.
Le dernier énoncé montre que si P est de degré n, alors P,...P ( n)  est une base de
K n [X ] .
P( X  Y )  
Théorème (reste intégral) :
Si f est de classe C n sur I, on a :
x  I , Rn ( f , x, a)  f ( x)  Tn ( f , x, a)  
x
a
( x  t ) n1 ( n )
f (t )dt
(n  1)!
Théorème (inégalité de Taylor) :
Si f est de classe C n sur I de dérivée n-ième bornée par f (n ) , on a

xa
x  I , Rn ( f , x, a) 
n!
n
f (n)

B) Cas des fonctions à valeurs réelles
Théorème (Taylor–Lagrange) :
Si f est de classe C n 1 sur a, b et n fois dérivable sur a, b , alors il existe
(b  a) k ( k )
(b  a) n ( n )
f (a) 
f (c)
c  a, b tel que Rn ( f , b, a)  f (b)  
k!
n!
k 0
Démonstration :
Soit  : [a, b]  R définie par :
n 1
(b  x) n ( n )
(b  x) n1
f ( x) 
A
n!
(n  1)!
Où A est une constante de sorte que  (a)  f (b) , c'est-à-dire :
x  [a, b],  ( x)  f ( x)  (b  x) f ' ( x)  ... 
(n  1)! 
(b  a) n ( n ) 

f
(
a
)

(
b

a
)
f
'
(
a
)

...

f (a) 
n!
(b  a) n1 

[
a
,
b
]
Alors  est continue sur
, et dérivable sur a, b , et  (a)   (b) ( f (b)) .
Il existe donc c  a, b tel que  ' (c )  0 .
Or, pour tout x  a, b :
 ' ( x)  
f ' ( x)  f ' ( x)  (b  x) f ' ' ( x)  (b  x) f ' ' ( x)  ...



A
0
(b  x) ( n 1)
(b  x) n
f
( x) 
A
n!
n!
(b  x) n ( n 1)
f
( x)  A
Soit  ' ( x) 
n!

n


Or,  ' (c )  0 et c  b , donc f ( n1) (c)  A , d’où l’égalité cherchée.
C) La formule locale de Taylor –Young
Le problème est ici totalement différent : la formule de Taylor–Young donne le
développement asymptotique d’une fonction en un point ; elle ne peut être utilisée que
pour des calculs de limites.
Lemme :
Soit  définie et continue dans un intervalle 0, m (avec m  0 ) telle que, pour un
certain   1,  (x ) est négligeable (resp. dominée) devant x 
Alors  est intégrable sur 0, m et x    (t )dt est négligeable (resp. dominée)
x
0
devant x 1 .
Théorème (intégration des développements limités) :
On suppose que f, définie et continue au voisinage de a  R à valeurs dans E,
admet, lorsque x tend vers a, le développement limité
f ( x)  a0  a1 ( x  a)  ...  a p ( x  a) p   ( x) où  est négligeable (resp. dominé)
x
devant ( x  a) p (resp. ( x  a) p 1 ). Alors F : x   f (t )dt a le développement limité :
a
( x  a)
( x  a) p 1
 ...  a p
  ( x)
2
p 1
avec  négligeable (resp. dominée) devant ( x  a) p 1 (resp. ( x  a) p  2 )
F ( x)  F (a)  a0 ( x  a)  a1
2
Remarque :
En fait, on a le même énoncé pour les développements limités généralisés :
Théorème :
On suppose que f, définie et continue au voisinage de a  R à valeurs dans E,
admet, lorsque x tend vers a, le développement limité généralisé (valable éventuellement
seulement à gauche ou à droite de a)


f ( x)  a1 x  a 1  ...  a p x  a p   ( x)

Avec  1  1  ...   p   et  négligeable (resp. dominée) devant x  a .
x
Alors F : x   f (t )dt a le développement limité généralisé
a
F ( x)  F (a )  a1
xa
1 1
1  1
 ...  a p
xa
 p 1
 p 1
  ( x)
avec  négligeable (resp. dominée) devant x  a
 1
.
Théorème (Taylor–Young) :
On suppose que pour n  1, f est de classe C n 1 au voisinage de a et que f ( n ) (a)
est défini. Alors f admet au voisinage de a le développement limité :
n
( x  a) k ( k )
f ( x)  Tn1 ( f , x, a)  o(( x  a) n )  
f (a)  o(( x  a) n ) .
k
!
k 0