Processus Aléatoires

Processus Aléatoires
JEAN FRANÇOIS DELMAS BENJAMIN JOURDAIN
BERNARD LAPEYRE

Table des matières
1 Rappels de Probabilités 7
1.1 Notion de tribu et de variables aléatoires ..................... 7
1.2 Espérance d’une variable aléatoire ........................ 8
1.3 Théorèmes de convergences pour les espérances ................. 10
1.4 Loi d’une variable aléatoire réelle ........................ 12
1.5 Loi d’un vecteur aléatoire ............................. 13
1.6 Convergence presque sûre et théorèmes liés ................... 16
1.7 Convergence en loi d’une famille de variables aléatoires ............. 18
1.8 Autres type de convergence ............................ 20
1.9 Problème corrigé ................................. 22
1.10 Exercices ..................................... 29
2 Vecteurs gaussiens - Mouvement Brownien 33
2.1 Vecteurs gaussiens ................................ 33
2.2 Mouvement Brownien .............................. 37
2.3 Vers une construction du mouvement brownien ................. 39
2.4 Régularité des trajectoires ............................. 41
2.5 Caractère gaussien du mouvement brownien ................... 42
2.6 Exercices ..................................... 44
2.7 Travail dirigé : Test d’adéquation à une loi .................... 46
3 Espérance conditionnelle 49
3.1 Tribus construites à partir de variables aléatoires ................. 49
3.2 Notion d’espérance conditionnelle ........................ 50
3.3 Cas d’un couple gaussien ............................. 54
3.4 Travail dirigé : Estimation bayesienne ...................... 56
3.5 Exercices ..................................... 58
4 Martingales à temps discrets 61
4.1 Introduction à la notion de martingale ...................... 61
4.2 Exemples ..................................... 62
4.3 Un exemple générique de martingale ....................... 64
4.4 Notion de temps d’arrêt .............................. 65
4.5 Théorème de convergence des martingales .................... 67
4.6 Convergence de Martingales et algorithmes stochastiques ............ 69
4.7 Travail dirigé : Temps de sortie d’une marche aléatoire ............. 75
4.8 Exercices ..................................... 77
3

4TABLE DES MATIÈRES
5 Chaînes de Markov à temps discret 79
5.1 Chaîne de Markov ................................. 79
5.2 Calcul de lois ................................... 82
5.3 Exemple d’utilisation des chaînes de Markov .................. 84
5.4 Chaînes de Markov et espérance conditionnelle ................. 86
5.4.1 Solution d’un problème d’arrêt optimal ................. 88
5.5 Exercices ..................................... 92
5.6 Travail dirigé : Modélisation de l’évolution d’une population .......... 95
5.7 Travail dirigé : Algorithme de Hastings-Metropolis ............... 97
5.8 Travail dirigé : Récurrence de la marche aléatoire simple ............ 98
6 Propriété de Markov forte 101
6.1 Propriété de Markov génèrale ........................... 101
6.2 Introduction à la propriété de Markov forte .................... 102
6.3 Tribu des événements antérieurs à un temps d’arrêt ............... 102
6.4 Propriété de Markov forte : première approche .................. 105
6.5 Exercices ..................................... 107
6.6 Contrôle : Loi du supremum d’une marche aléatoire ............... 109
7 Options européennes dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein 111
7.1 Le modèle ..................................... 112
7.1.1 description ................................ 112
7.1.2 liens entre les paramètres r, a et b.................... 113
7.1.3 le cas d’une seule période de temps : N=1............... 114
7.2 Portefeuilles, arbitrages .............................. 115
7.2.1 portefeuille ................................ 115
7.2.2 Absence d’Opportunités d’Arbitrage ................... 116
7.3 Pricing des options européennes ......................... 118
8 Mouvement brownien et martingales 121
8.1 Généralités sur les processus à temps continu .................. 121
8.2 Extensions de la définition du mouvement brownien ............... 122
8.3 Exemples de martingales browniennes ...................... 122
8.4 Exemples d’utilisation de la propriété de martingale ............... 123
8.5 Propriété de Markov forte du mouvement brownien ............... 125
8.6 Exercices ..................................... 127
8.7 Travail dirigé : Principe de réflexion ....................... 129

Table des figures
1.1 Densité e /√2π de N(0, 1)......................... 13
1.2 Fonction de répartition .............................. 13
1.3 Loi de Y..................................... 25
1.4 Loi de Y−Y.................................. 25
1.5 Loi de Z..................................... 26
3.1 Projection orthogonale sur HB.......................... 50
4.1 Trajectoire de la marche aléatoire symétrique .................. 62
4.2 Temps de sortie de [a, b]par une marche aléatoire ................ 75
5.1 Histogramme de la loi du nombre maximum de F consécutifs après 100 tirages 85
5.2 Probabilité d’avoir au moins nF consécutifs après 100 tirages ......... 85
8.1 Principe de réflexion ............................... 129
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