28-12

Chapitre 28– Exercice 12
Interprétation microscopique de l’effet Faraday
1. D’après la loi fondamentale de la mécanique, on a :
mr̈ = −mv20 r − e E +
dr
× Ba
dt
la force magnétique due au champ de l’onde étant négligeable devant la force électrique. Comme la polarisation
volumique P s’écrit −ner , on obtient, en notation complexe :
m(v20 − v2 )P = ne2 E + iveBa P × ez
avec
E = Em exp(−ivt)
2. On en déduit :
E=
1
(P − ibP × ez )
ε0 xe
xe =
avec
En explicitant, on trouve :
1
E=
ε0 xe
2
4
1
ib
0
v2p
ne2
1
= 2
2
2
mε0 v0 − v
v0 − v2
−ib
1
0
0
0
1
3
5P =
et
b=
vvc
v20 − v2
1
P
ε0 [x]
On en tire les éléments de la matrice [x] :
x11 = x22 =
xe
1 − b2
x12 = −x21 = i
bxe
= ibx11
1 − b2
x33 = xe
et
x13 = x23 = x31 = x32 = 0
3. La constante diélectrique s’écrit : [εr ] = [1] + [x] . D’autre part, div B = 0 implique k · B = 0 et
div D = 0 s’écrit :
k · [εr ]E = 0 soit ([εr ]E)z = (1 + x33 )Ez = 0
Ainsi les champs E et B sont transverses. Les deux autres équations de Maxwell s’explicitent selon :
k × E − vB = 0 et
k×B+
v
[εr ]E = 0
c2
d’où k × (k × E) = −k2 E = −
v2
([εr ]E) = −k02 ([εr ]E)
c2
Il existe des solutions non nulles pour E = Ex ex + Ey ey si le déterminant de la matrice :
est nul, soit, puisque bx11 > 0 si :
1 + x11 − n2
−ibx11
ibx11
1 + x11 − n2
n2± = 1 + x11 ∓ bx11
Il vient, en reportant la valeur de n2± dans l’équation d’onde :
(1 + x11 − n2± )Ex + ibx11 Ey = 0 soit
Ey = ±iEx
L’onde est donc circulaire gauche pour le signe + et droite pour le signe − . Les indices correspondants sont :
n+ = (1 + x11 − bx11 )1/2 et n− = (1 + x11 + bx11 )1/2
4. Une onde polarisée rectilignement peut être considérée comme la superposition (cf. chapitre 19) de deux
ondes polarisées circulairement, l’une à droite et l’autre à gauche. Dans le milieu, ces ondes partielles se propagent ici avec des vitesses différentes ( c/n+ et c/n− ). Après traversée du milieu, les deux ondes circulaires se
superposent pour donner une onde rectiligne dont le plan de polarisation a tourné d’un certain angle a . C’est la polarisation rotatoire magnétique ou effet Faraday. Cet angle est la demi différence des déphasages occasionnés par la
traversée du milieu. Par conséquent : a = vl(n− − n+ )/(2c) .
ii
Solutions des exercices
5. Dans le cas où v v0 et v vc , b 1 , d’où :
x11 = x22 0 et x12 = −x21 = ibx11 ≈ ibxe = iv2p vc /v3
On en déduit : n− ≈ 1 + v2p vc /2v3 n+ ≈ 1 − v2p vc /2v3
et n− − n+ = v2p vc /v3 , d’où l’angle de rotation
du plan de polarisation a = v2p vc l/(2cv2 ) . Si l’on change le sens du champ magnétique, c’est-à-dire le signe de
vc , la rotation du plan de polarisation change aussi de sens. L’effet est alors doublé au cours d’un aller-retour de la
lumière, contrairement à ce qui se passe avec certaines substances dites actives, dotées de pouvoir rotatoire du plan
de polarisation de l’onde incidente qui les traverse.