28-12

Chapitre 28– Exercice 12
Interprétation microscopique de l’effet Faraday
1. D’après la loi fondamentale de la mécanique, on a :
m¨ r=−mv2
0r−eE+dr
dt×Ba
la force magnétique due au champ de l’onde étant négligeable devant la force électrique. Comme la polarisation
volumique Ps’écrit −ner, on obtient, en notation complexe :
m(v2
0−v2)P=ne2E+iveBaP×ezavec E=Emexp(−ivt)
2. On en déduit :
E=1
ε0xe
(P−ibP×ez)avec xe=ne2
mε0
1
v2
0−v2=v2
p
v2
0−v2et b=vvc
v2
0−v2
En explicitant, on trouve :
E=1
ε0xe
1−ib0
ib10
001
P=1
ε0[x]P
On en tire les éléments de la matrice [x]:
x11 =x22 =xe
1−b2x12 =−x21 =ibxe 1−b2=ibx11 x33 =xeet x13 =x23 =x31 =x32 =0
3. La constante diélectrique s’écrit : [εr]=[1]+[x]. D’autre part, div B=0 implique k·B=0et
div D=0 s’écrit :
k·[εr]E=0soit([εr]E)z=(1+x33)Ez=0
Ainsi les champs Eet Bsont transverses. Les deux autres équations de Maxwell s’explicitent selon :
k×E−vB=0et k×B+v
c2[εr]E=0d’où k×(k×E)=−k2E=−v2 c2([εr]E)=−k2
0([εr]E)
Il existe des solutions non nulles pour E=Exex+Eyeysi le déterminant de la matrice :
1+x11 −n2ibx11
−ibx11 1+x11 −n2
est nul, soit, puisque bx11 >0si:
n2
±=1+x11 ∓bx11
Il vient, en reportant la valeur de n2
±dans l’équation d’onde :
(1+x11 −n2
±)Ex+ibx11Ey=0soitEy=±iEx
L’onde est donc circulaire gauche pour le signe +et droite pour le signe −. Les indices correspondants sont :
n+=(1+x11 −bx11)1/2et n−=(1+x11 +bx11)1/2
4. Une onde polarisée rectilignement peut être considérée comme la superposition (cf. chapitre 19) de deux
ondes polarisées circulairement, l’une à droite et l’autre à gauche. Dans le milieu, ces ondes partielles se pro-
pagent ici avec des vitesses différentes ( c/n+et c/n−). Après traversée du milieu, les deux ondes circulaires se
superposent pour donner une onde rectiligne dont le plan de polarisation a tourné d’un certain angle a. C’est la po-
larisation rotatoire magnétique ou effet Faraday. Cet angle est la demi différence des déphasages occasionnés par la
traversée du milieu. Par conséquent : a=vl(n−−n+)/(2c).

ii Solutions des exercices
5. Dans le cas où vv0et vvc,b1 , d’où :
x11 =x22 0etx12 =−x21 =ibx11 ≈ibxe=iv2
pvc/v3
On en déduit : n−≈1+v2
pvc/2v3n+≈1−v2 pvc/2v3et n−−n+=v2 pvc/v3, d’où l’angle de rotation
du plan de polarisation a=v2
pvcl/(2cv2). Si l’on change le sens du champ magnétique, c’est-à-dire le signe de
vc, la rotation du plan de polarisation change aussi de sens. L’effet est alors doublé au cours d’un aller-retour de la
lumière, contrairement à ce qui se passe avec certaines substances dites actives, dotées de pouvoir rotatoire du plan
de polarisation de l’onde incidente qui les traverse.