Série1 - TuniSchool

Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension
Physique : série 5
Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari Cherchari
A- Rappel :
 L’équation différentielle :
d’après la loi des mailles :
uR0 + uB = E
.... ....
...... .....
..... .............
avec
 ......
.........
 Solution de l’équation différentielle
La solution de l’équation différentielle
di
L Ri E
dt 
s’écrit sous la forme
t
i(t) A Be
avec A, B et  sont
des constantes positives qui dépendent des caractéristiques du circuit. On trouve :
.......
i(t) (.... .........)
............
 Expression et graphe de i(t), uR0(t) et de uB(t)
.....
i (.... .......)
.............
0 R.......
u (... ......)
..........
B...... ...
u (t) ..........
......... .........
t(s)
0
+
t(s)
0
+
t(s)
0
+
i(A)
……..
....
........
uR0(V)
……
......
.........
uB (A)
…….
......
.........
 La constante de temps
 Définition :
La constante de temps est une grandeur caractéristique du dipôle RL, elle nous renseigne sur la rapidité
avec laquelle s’effectue …………………………………………..
 Détermination de :
0
t(s)
0
0
RE
Rr
uR0 (A)
E
0
t(s)
E
uB(V)
0
rE
Rr
0
t(s)
0
E
Rr
i(A)
L,r
K
uR0
uB
i
i
R0
E

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o 1ère méthode (utilisation de la tangente à l’origine) : on peut montrer que est
l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe de i(t)[de même pour
uR(t) et uB(t) ] à la date t=0 avec l’asymptote (lorsque t + ).
o 2ème méthode (lecture graphique) :
à partir du graphe de i(t)
Pour t= , quelle est la valeur de i ?
1
0
1 0 63 0 63 0 63
pp
E E E E
i( ) (1 e ) ( e ) , . , , I avec I i en régime permanent
R R R R r
Exemple :
On a Imax= 4 mA d’où 0,63.4 =2,52 mA donc l’abscisse du point
d’ordonnée 2,52 mA est égale à
Remarques :
 On peut déterminer l’expression de Ip en utilisant l’équation différentielle en régime permanent :
en régime permanent i=Ip =constante et l’équation différentielle est
pp
0 p p
dI dI
L (R r)I E or 0 car I est constante
dt dt
, d’où
p.....
I...........
 Dans le cas où la bobine est une inductance pure (on remplace dans les expressions précédentes r par 0).
 ....
.......
.....
i (.... ......)
......
0
R
u ......(.... ......)
B
u ..........
0
t(s)
E
uB(V)
Tangente
Asymptote
Point
d’intersection
0
t(s)
Imax
i(A)
Tangente
Asymptote
Point
d’intersection
0
2,52
t(s)
4
i(mA)
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B- Applications directes :
Exercice 1 :
On réalise le montage de la figure 1 où R=10 Ω, E=9 V, L et r sont inconnues. à
l’ origine du temps, on ferme l’interrupteur K. un oscilloscope à mémoire permet
d’obtenir les chronogrammes de la figure 2.
1- À quoi correspond le chronogramme 1. Représenter le schéma du circuit en
indiquant les branchements nécessaires qui permettent d’obtenir le
chronogramme 1 sur la voie Y1 et le chronogramme 2 sur la voie Y2.
2- Interpréter le retard temporel de l’établissement du courant.
3-
a- En régime permanent, déterminer graphiquement
 l’intensité du courant Ip.
 la tension uB aux bornes de la bobine.
b- Montrer que la résistance de la bobine est r=8 Ω.
c- Déterminer graphiquement la valeur de la constante de
temps  . Déduire la valeur de l’inductance L de la bobine.
Exercice 2 :
On réalise un circuit électrique AM comportant en série un conducteur ohmique de résistance R=50
Ω, une bobine (B1) d’inductance L
et de résistance supposée nulle et
un interrupteur K. Le circuit AM est
alimenté par un générateur de
tension de force électromotrice
(f.e.m) E (fig 1). Un système
d’acquisition adéquat permet de
suivre l’évolution au cours du
temps des tensions uAM et uDM.
A l’instant t=0s, on ferme
l’interrupteur K. Les courbes traduisant les variations de uAM(t) et uDM(t) sont celles de la
figure 2.
1) a- Montrer que la courbe 1 correspond à uDM(t).
b- Donner la valeur de la fem du générateur.
2) A l’instant t2=100 ms, montrer que l’intensité du courant électrique qui s’établit dans le circuit électrique
est I0=0,12 A.
3) a- Déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps  du dipôle RL.
b- Sachant que
L
R
, déterminer la valeur de l’inductance L de la bobine (B1).
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c- Calculer l’énergie emmagasinée dans la bobine en régime permanent.
4) On remplace la bobine (B1) par une bobine (B2) de
même inductance L mais de résistance r non nulle.
Les courbes traduisant les variations de uDM(t) est
celle de la figure3.
a- Montrer qu’en régime permanent, la tension aux
bornes de la bobine (B2) est donnée par la relation
2
BrE
uRr
.
b- Déduire la valeur de la résistance r.
C- Exercices de synthèse :
Exercice 1
Partie A
On se propose d’étudier l’établissement du courant dans un dipôle comportant une bobine et un conducteur
ohmique lorsque celui-ci est soumis à un échelon de tension de valeur E. Le conducteur ohmique a une
résistance R variable. La bobine sans noyau de fer doux, a une inductance L variable ; et une résistance r . Les
valeurs de E, R, L et r sont inconnues.
On dispose d’un oscilloscope numérique qui est branché comme l’indique la figure de chaque expérience.
Étude analytique :
1- Établir l’équation différentielle du circuit RL régissant les variations de la tension uR aux bornes du
résistor .
2- Montrer que la solution de l'équation différentielle précédemment établie peut être mise sous la forme
uR(t)=A.(1-e-αt). Identifier A et α. En déduire l’expression de i(t).
3- En utilisant la loi des mailles, Établir l’expression de la tension uB aux bornes de la bobine en fonction
de E, r, R, L et t.
4- Représenter l’allure des tensions uR et uB en précisant leurs valeurs initiales et finales en fonction de E,
r, R.
Partie B : (Étude expérimentale)
I- On réalise une première expérience (expérience A) pour
laquelle L = L1 ; R = R1 ; E = E1 . Le schéma du circuit est
représenté par la figure ci-contre :
À l’instant de date t = 0 s, on ferme l’interrupteur K, lorsque le régime
permanent est établi l’ampèremètre indique la valeur I=0,20 A.
1- Quelles sont les tensions visualisées sur l’écran de
l’oscilloscope.
2- L’oscillogramme obtenu est donné par la figure 1 :
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a- Prélever du graphe les valeurs de E1 et de uRmax. En déduire r et R1.
b- Écrire l’expression de la constante de temps . Montrer qu’elle est homogène à un temps.
c- Déterminer graphiquement . Déduire la valeur de L1.
d- A quelle date le régime permanent est établi. Comment se
comporte la bobine à partir de cette date.
II- On réalise une deuxième expérience (expérience B) en faisant varier
l’une des caractéristiques du circuit R ou L et en changeant les
branchements de l’oscilloscope. Le schéma du circuit et
l’oscillogramme obtenu sur l’écran de l’oscilloscope (fig2) sont
donnés ci-dessous :
1- Quelles sont les tensions visualisées sur l’écran de l’oscilloscope ?
2- Déterminer graphiquement la nouvelle valeur de la constante de
temps. Peut-on affirmer laquelle des valeurs des deux grandeurs R ou
L a été modifiée ?
3- En examinant le graphe de la fig2, déterminer la grandeur dont la
valeur a été variée ? En déduire la nouvelle valeur de cette grandeur.
Exercice 2 :
Le circuit électrique représenté par la figure 1 comportant , en série, un générateur de tension idéale de f.e.m
E, une bobine B1 d’inductance L1 et de résistance r1=10 Ω,
un interrupteur K et un résistor de résistance R.
A la date t=0 on ferme l’interrupteur K et à l’aide d’un
oscilloscope à mémoire, on enregistre la tension uB aux
bornes de la bobine B1, on obtient le chronogramme de la
figure 2 .
1- Interpréter le retard temporel de l’établissement de la
tension uB1 aux bornes de la bobine.
2- Etablir l’équation différentielle régissant les variations
de l’intensité du courant électrique i(t) dans le circuit.
3- Vérifier que i(t) =
1
E
Rr
.(1- e-t/) est une solution de
l’équation différentielle précédemment établie avec
1
1
L
Rr
.
4-
a- Prélever du graphe de la figure 2 la fem E du
générateur et la constante de temps .
b- Déterminer la valeur de la résistance R et celle de
l’inductance L1 de la bobine.
5- Pour ralentir l’établissement du courant dans le
circuit on remplace la bobine B1 par une bobine B2
de résistance r2 et d’inductance L2. Et à l’aide de
l’oscilloscope on visualise la tension uR au cours du
temps voir figure-3-
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