Etude d`un circuit RLC parallèle

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Etude d'un circuit RLC parallèle.
Cet exercice est constitué de deux parties complètement indépendantes.
Première Partie.
La figure ci-dessous donne le schéma du montage étudié ; le générateur de tension est idéal, de f.é.m. E
constante. Les résistors sont linéaires, de résistances R et r constantes.
Tant que l'interrupteur est ouvert, le condensateur est déchargé et la bobine, idéale, d'auto-inductance L, n'est
parcourue par aucun courant. A l'instant t = 0, l'interrupteur est fermé instantanément et on cherche à
déterminer l’évolution ultérieure des grandeurs électriques du réseau.
1.
2.
Déterminer, par un raisonnement physique simple (pratiquement sans calcul), la tension u et les
intensités i, i1, i2 et i3 dans les quatre branches :
 Juste après la fermeture de l'interrupteur (instant t = 0+),
 Au bout d'une durée très grande (t  ).
Montrer que l'équation différentielle liant i3 à ses dérivées par rapport au temps t est de la forme :
d 2i3
di
 2 3  o2i3  0 . Donner les expressions de o et de .
2
dt
dt
3.1. Quelle relation doit-il exister entre R, r, C et L pour que la solution de l'équation différentielle du 2.)
corresponde à un régime pseudo-périodique ?
Pour la suite on prendra : R = 2,5 k  ; r = 1,25 k  ; C = 1,0 F ; L = 20 mH.
3.2. Calculer numériquement la pulsation propre O, la période propre To, ainsi que le coefficient ; que
caractérise  ?
3.3. Définir et calculer la pseudo-pulsation  et la pseudo-période T.
Compte tenu de la précision des données, que peut-on dire des valeurs numériques comparées de O
et  ?
3.4.Déterminer, en fonction du temps t, les expressions complètes de la tension u et des intensités i, i1, i2
et i3 (on pourra utiliser  et , notamment pour alléger l'écriture littérale).
Calculer numériquement la valeur maximale de u si E = 6,0 V.
3.5.Définir le décrément logarithmique  de la tension u et calculer sa valeur ; expliquer à l'aide d'un
dessin son intérêt physique.
3.6.Donner une estimation du temps nécessaire pour que le régime permanent soit pratiquement établi
dans le circuit (on admettra que c'est le cas à partir du moment où l'amplitude de u est toujours
inférieure au millième de sa valeur maximale).
4.1.On désire visualiser les phénomènes à l'oscilloscope, mais celui-ci ne possède pas de mémoire et on
doit donc alimenter le dipôle AB par un signal en forme de créneaux : expliquer pourquoi en
quelques mots. Quelle fréquence doit-on choisir pour ce signal afin d'observer convenablement le
régime transitoire ?
4.2.Par ailleurs, on veut observer à la fois la tension u et l'intensité i : quel problème se pose en général, si
on utilise un générateur de créneaux basse fréquence en même temps que l'oscilloscope ? Comment y
remédier ?
Deuxième Partie.
Le circuit représenté ci-dessous, formé de deux branches en parallèle : l’une constituée d’une bobine (de
résistance r et d’inductance L) et l’autre d’un condensateur (de capacité C), est alimenté par une source idéale
de tension sinusoïdale : u(t) = Um cos t.
La capacité C peut continûment varier mais les autres grandeurs r, L,  et Um sont fixées.
1.
2.
3.
Exprimer l’admittance complexe Y ( j ) du circuit.
Déterminer littéralement l’amplitude Im de l’intensité i du courant principal et son déphasage par
rapport à la tension u.
Pour quelle valeur Co de la capacité, l’intensité Im est-elle minimale ?
Montrer que le circuit est alors équivalent à une résistance pure Ro qu’on exprimera en fonction de r
et Co.
On néglige la résistance r de la bobine ; que deviennent les résultats précédents ? Justifier
l’appellation de « circuit bouchon ».
Suite au dos
On considère maintenant le circuit suivant : entre les bornes A et B, on dispose trois branches en parallèle
contenant respectivement la bobine d’inductance L de résistance négligeable, la capacité C et une résistance
réglable R.
On désignera par IL, IC et Im les amplitudes des courants dans la bobine, le condensateur et le circuit principal.
I
I
4. Déterminer les facteurs de surintensité QL  L et QC  C en fonction de R, L, C et de la
Im
Im
pulsation .
5. Calculer, en fonction de R, L et C, les pulsations respectives L et C pour lesquelles le facteur QL
puis le facteur QC est maximal. Préciser la condition d’existence de ces maxima.
6. Déterminer la relation simple liant L, C et la pulsation 0 de résonance pour laquelle le circuit est
équivalent à une résistance pure.
DS4. 02/03.
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