Etude d'un circuit RLC parallèle. Cet exercice est constitué de deux parties complètement indépendantes. Première Partie. La figure ci-dessous donne le schéma du montage étudié ; le générateur de tension est idéal, de f.é.m. E constante. Les résistors sont linéaires, de résistances R et r constantes. Tant que l'interrupteur est ouvert, le condensateur est déchargé et la bobine, idéale, d'auto-inductance L, n'est parcourue par aucun courant. A l'instant t = 0, l'interrupteur est fermé instantanément et on cherche à déterminer l’évolution ultérieure des grandeurs électriques du réseau. 1. 2. Déterminer, par un raisonnement physique simple (pratiquement sans calcul), la tension u et les intensités i, i1, i2 et i3 dans les quatre branches : Juste après la fermeture de l'interrupteur (instant t = 0+), Au bout d'une durée très grande (t ). Montrer que l'équation différentielle liant i3 à ses dérivées par rapport au temps t est de la forme : d 2i3 di 2 3 o2i3 0 . Donner les expressions de o et de . 2 dt dt 3.1. Quelle relation doit-il exister entre R, r, C et L pour que la solution de l'équation différentielle du 2.) corresponde à un régime pseudo-périodique ? Pour la suite on prendra : R = 2,5 k ; r = 1,25 k ; C = 1,0 F ; L = 20 mH. 3.2. Calculer numériquement la pulsation propre O, la période propre To, ainsi que le coefficient ; que caractérise ? 3.3. Définir et calculer la pseudo-pulsation et la pseudo-période T. Compte tenu de la précision des données, que peut-on dire des valeurs numériques comparées de O et ? 3.4.Déterminer, en fonction du temps t, les expressions complètes de la tension u et des intensités i, i1, i2 et i3 (on pourra utiliser et , notamment pour alléger l'écriture littérale). Calculer numériquement la valeur maximale de u si E = 6,0 V. 3.5.Définir le décrément logarithmique de la tension u et calculer sa valeur ; expliquer à l'aide d'un dessin son intérêt physique. 3.6.Donner une estimation du temps nécessaire pour que le régime permanent soit pratiquement établi dans le circuit (on admettra que c'est le cas à partir du moment où l'amplitude de u est toujours inférieure au millième de sa valeur maximale). 4.1.On désire visualiser les phénomènes à l'oscilloscope, mais celui-ci ne possède pas de mémoire et on doit donc alimenter le dipôle AB par un signal en forme de créneaux : expliquer pourquoi en quelques mots. Quelle fréquence doit-on choisir pour ce signal afin d'observer convenablement le régime transitoire ? 4.2.Par ailleurs, on veut observer à la fois la tension u et l'intensité i : quel problème se pose en général, si on utilise un générateur de créneaux basse fréquence en même temps que l'oscilloscope ? Comment y remédier ? Deuxième Partie. Le circuit représenté ci-dessous, formé de deux branches en parallèle : l’une constituée d’une bobine (de résistance r et d’inductance L) et l’autre d’un condensateur (de capacité C), est alimenté par une source idéale de tension sinusoïdale : u(t) = Um cos t. La capacité C peut continûment varier mais les autres grandeurs r, L, et Um sont fixées. 1. 2. 3. Exprimer l’admittance complexe Y ( j ) du circuit. Déterminer littéralement l’amplitude Im de l’intensité i du courant principal et son déphasage par rapport à la tension u. Pour quelle valeur Co de la capacité, l’intensité Im est-elle minimale ? Montrer que le circuit est alors équivalent à une résistance pure Ro qu’on exprimera en fonction de r et Co. On néglige la résistance r de la bobine ; que deviennent les résultats précédents ? Justifier l’appellation de « circuit bouchon ». Suite au dos On considère maintenant le circuit suivant : entre les bornes A et B, on dispose trois branches en parallèle contenant respectivement la bobine d’inductance L de résistance négligeable, la capacité C et une résistance réglable R. On désignera par IL, IC et Im les amplitudes des courants dans la bobine, le condensateur et le circuit principal. I I 4. Déterminer les facteurs de surintensité QL L et QC C en fonction de R, L, C et de la Im Im pulsation . 5. Calculer, en fonction de R, L et C, les pulsations respectives L et C pour lesquelles le facteur QL puis le facteur QC est maximal. Préciser la condition d’existence de ces maxima. 6. Déterminer la relation simple liant L, C et la pulsation 0 de résonance pour laquelle le circuit est équivalent à une résistance pure. DS4. 02/03.