Etude d`un circuit RLC parallèle

Etude d'un circuit RLC parallèle.
Cet exercice est constitué de deux parties complètement indépendantes.
Première Partie.
La figure ci-dessous donne le schéma du montage étudié ; le générateur de tension est idéal, de f.é.m. E
constante. Les résistors sont linéaires, de résistances R et r constantes.
Tant que l'interrupteur est ouvert, le condensateur est déchargé et la bobine, idéale, d'auto-inductance L, n'est
parcourue par aucun courant. A l'instant t = 0, l'interrupteur est fermé instantanément et on cherche à
déterminer l’évolution ultérieure des grandeurs électriques du réseau.
1. Déterminer, par un raisonnement physique simple (pratiquement sans calcul), la tension u et les
intensités i, i1, i2 et i3 dans les quatre branches :
 Juste après la fermeture de l'interrupteur (instant t = 0+),
 Au bout d'une durée très grande (t  ).
2. Montrer que l'équation différentielle liant i3 à ses dérivées par rapport au temps t est de la forme :
22
33
3
220
o
d i di i
dt dt
. Donner les expressions de
o
et de .
3.1. Quelle relation doit-il exister entre R, r, C et L pour que la solution de l'équation différentielle du 2.)
corresponde à un régime pseudo-périodique ?

Pour la suite on prendra : R = 2,5 k  ; r = 1,25 k  ; C = 1,0 F ; L = 20 mH.
3.2. Calculer numériquement la pulsation propre
O, la période propre To, ainsi que le coefficient
; que
caractérise ?
3.3. Définir et calculer la pseudo-pulsation et la pseudo-période T.
Compte tenu de la précision des données, que peut-on dire des valeurs numériques comparées de
O
et ?
3.4.Déterminer, en fonction du temps t, les expressions complètes de la tension u et des intensités i, i1, i2
et i3 (on pourra utiliser et , notamment pour alléger l'écriture littérale).
Calculer numériquement la valeur maximale de u si E = 6,0 V.
3.5.Définir le décrément logarithmique de la tension u et calculer sa valeur ; expliquer à l'aide d'un
dessin son intérêt physique.
3.6.Donner une estimation du temps nécessaire pour que le régime permanent soit pratiquement établi
dans le circuit (on admettra que c'est le cas à partir du moment où l'amplitude de u est toujours
inférieure au millième de sa valeur maximale).
4.1.On désire visualiser les phénomènes à l'oscilloscope, mais celui-ci ne possède pas de mémoire et on
doit donc alimenter le dipôle AB par un signal en forme de créneaux : expliquer pourquoi en
quelques mots. Quelle fréquence doit-on choisir pour ce signal afin d'observer convenablement le
régime transitoire ?
4.2.Par ailleurs, on veut observer à la fois la tension u et l'intensité i : quel problème se pose en général, si
on utilise un générateur de créneaux basse fréquence en même temps que l'oscilloscope ? Comment y
remédier ?
Deuxième Partie.
Le circuit représenté ci-dessous, formé de deux branches en parallèle : l’une constituée d’une bobine (de
résistance r et d’inductance L) et l’autre d’un condensateur (de capacité C), est alimenté par une source idéale
de tension sinusoïdale : u(t) = Um cos t.
La capacité C peut continûment varier mais les autres grandeurs r, L, et Um sont fixées.
1. Exprimer l’admittance complexe
()Yj
du circuit.
Déterminer littéralement l’amplitude Im de l’intensité i du courant principal et son déphasage par
rapport à la tension u.
2. Pour quelle valeur Co de la capacité, l’intensité Im est-elle minimale ?
Montrer que le circuit est alors équivalent à une résistance pure Ro qu’on exprimera en fonction de r
et Co.
3. On néglige la résistance r de la bobine ; que deviennent les résultats précédents ? Justifier
l’appellation de « circuit bouchon ».
Suite au dos

On considère maintenant le circuit suivant : entre les bornes A et B, on dispose trois branches en parallèle
contenant respectivement la bobine d’inductance L de résistance négligeable, la capacité C et une résistance
réglable R.
On désignera par IL, IC et Im les amplitudes des courants dans la bobine, le condensateur et le circuit principal.
4. Déterminer les facteurs de surintensité
et C
L
LC
mm
I
I
QQ
II
en fonction de R, L, C et de la
pulsation .
5. Calculer, en fonction de R, L et C, les pulsations respectives
L et C pour lesquelles le facteur QL
puis le facteur QC est maximal. Préciser la condition d’existence de ces maxima.
6. Déterminer la relation simple liant
L, C et la pulsation 0 de résonance pour laquelle le circuit est
équivalent à une résistance pure.
DS4. 02/03.