MEMOIRE Sur les principes d`incertitude

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPPERIEUR ET DE
LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE.
UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF 1.
MEMOIRE
Présentée à la Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Pour L’Obtention du Diplôme de
MAGISTER
OPTION : Mathématiques fondamentales
Par
Mr : BOUCHERIT Amine
THEME
Sur les principes d’incertitude
Soutenu le : 20 /10 /2013.
Devant le jury composé de :
Président : Mr. ZIADI Abdelkader Prof Université de Sétif 1.
Encadreur : Mr. BENCHARIF –MADANI Abdellatif Prof Université de Sétif 1.
Examinateur : Mr. MANSOURI Abdelaziz prof Université de Sétif 1.

Remerciements
Je remercie tous ceux qui m’ont aidé de loin ou de prés durant mes années
D’étude, ma famille, mes professeurs, mes collègues et tous mes amis.
BOUCHERIT Amine.

Table des matières
1 L’histoire de la mécanique quantique 5
1.1 Ledébuthistorique ............................. 5
1.2 L’onde de L. De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 L’equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Heisenberg et le principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 L’avènement des probabiliés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Quelques comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Fentesd’Young ................................ 20
2 L’espace de probabilité non commutative 27
2.1 L’espace de probabilité classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Rappel de théorie de la mesure (tribus, mesurabilité et mesures) . 29
2.1.2 Espace de probabilité classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4 Convergence de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.5 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Calculstochastique.............................. 37
2.2.1 Introduction.............................. 37
2.2.2 Étude du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Equations de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1

2.2.5 L’intégrale d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Du classique au quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Notations et rappels d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 L’espace de probabilité quantique de dimension …nie . . . . . . . . 55
2.3.3 Les observables dans l’espace de probabilité quantique . . . . . . 58
2.4 Variance, covariance et principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Les principes d’incertitude 67
3.1 Principe d’incertitude dans l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 Rappel sur l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.2 Principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Principe d’incertitude qualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Théorème de Benedicks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2 Principe d’incertitude de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Principe d’incertitude dans l’espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 L’entropie et le principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.1 Concepts généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.2 L’entropie d’une densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Principes d’incertitude et PGV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.1 Introduction.............................. 80
3.5.2 A propos d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5.3 Le principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2

Introduction Générale
A l’heure actuelle, des recherches intensives sont menées à travers le monde sur le
problème du comportement asymptotique de divers objet mathématiques. Pour …xer les
idées, on peut imaginer un système dynamique en temps long ou une suite de mesures
sur un ensemble donné etc.... Ces recherches semblent avoir des noms di¤érents, mais on
commence à soupçonner l’existance d’un dénominateur commun : le principe d’incerti-
tude. Ce principe a beaucoup évolué depuis son inventeur W. Heisenberg et on remarque
à peine les vestiges et traces laissés par la mécanique quantique, voir par exemple [5].
Pour bien cerner le sujet, nous avons cru bon de passer en revue l’origine de ces
principes d’incertitude en étudiant quelques éléments de base de la mécanique quantique.
Cela nous permet de bien comprendre le principe d’incertitude de Heisenberg. D’un autre
côté, les mathématiciens ont pro…té des découvertes ingénieuses des physiciens pour créer
une nouvelle branche des probabilité ; les probabilité non commutative. Nous reprenons
donc le principe d’incertitude dans le contexte des probabilités non commutatives.
L’idées que pressent beaucoup de mathématiciens (au vue des articles qui paraissent
dans la litérature) est que dans le théorème de la limite centrale, par exemple, l’infor-
mation perdue concernant les données a quelque lien avec le principe d’incertitude de
Heisenberg. Rappelons que dans ce théorème, il s’avère que pour une suite Xide va-
riables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées et centrées, i.e. EXi= 0, et
ayant un second moment …ni i.e. EX2
i<1pour tous les i, la suite normalisée
Pn
i=1 Xi
pn;
3