TD de Physique Quantique 1 Rayonnement du corps noir

Universit´e Joseph Fourier L2 UE Phy 242
TD de Physique Quantique
C. Hoffmann, G. M´ejean 2008
Des conseils pour le travail individuel et une bibliographie sont donn´es en fin d’´enonc´e.
1 Rayonnement du corps noir
Soit u(ω, T ) la densit´e spectrale et volumique d’´energie du rayonnement d’un corps noir `a la
temp´erature T. C’est `a dire, l’´energie ´electromagn´etique par unit´e de volume, dans la bande de pul-
sation comprise entre ωet ω+dω, est
de =u(ω, T )dω.
1. Montrer que l’´equation aux dimensions de uest
[u] = ML−1T−1.
2. On rappelle qu’en thermodynamique classique, `a tout degr´e de libert´e d’un syst`eme `a la temp´erature
Tcorrespond une ´energie moyenne de l’ordre de kT o`u k= 1.38 ×10−23 J/K est la constante
de Boltzmann. Montrer qu’en th´eorie classique, uest n´ecessairement de la forme (formule dite
de Rayleigh-Jeans) :
ucl =A cxωy(kT )z,
o`u cest la vitesse de la lumi`ere et Aune constante num´erique inconnue. Calculer les exposants
x, y, z.
3. Montrer que l’expression pr´ec´edente est physiquement absurde en ´evaluant l’´energie totale par
unit´e de volume :
ecl(T) = Z∞
0
ucl(ω, T )dω.
La difficult´e provient-elle des hautes ou des basses fr´equences ?
4. C’est la physique quantique qui permet de r´esoudre le paradoxe. La densit´e d’´energie est en
r´ealit´e de la forme :
u(ω, T ) = ucl(ω, T )f(¯hω
kT ).
Reste `a trouver la fonction f. Compte tenu qu’elle a pour rˆole d’´eliminer la difficult´e apparue
en 3, d´eduire les limites de la fonction f`a l’origine et `a l’infini.
5. Pour les hautes fr´equences, Wien proposa une formule approch´ee d’origine exp´erimentale :
uW(ω, T )∝ω3exp(−aω/T ),
o`u aest une constante. Montrer que ceci implique pour ω→ ∞,f∝ωe−aω/T .
6. Planck trouva en 1900 la fonction f en cherchant une interpolation plausible entre les formules
de Rayleigh-Jeans et de Wien :
f=¯hω/kT
exp(¯hω/kT )−1
Montrer qu’on retrouve bien ces limites pour les hautes et basses fr´equences.
1

7. Exercice hors s´eance de TD :
Montrer que l’´energie totale :
e(T) = Z∞
0
u(ω, T )dω
est donn´ee par e(T) = σT 4avec σ= 7,5×10−16 Jm−3K−4(loi de Stefan-Boltzmann). Effectuer
le changement de variable x= ¯hω/kT et utiliser A=π−2ainsi que
Z∞
0
x3
ex−1dx =π4 15 .
2 Cellule photo´electrique
Le m´etal formant la cathode d’une cellule photo´electrique (voir sch´ema du cours) est caract´eris´e
par un travail d’extraction We= 2.5 eV. On l’´eclaire avec de la lumi`ere monochromatique de longueur
d’onde λ= 400 nm. On donne ¯hc = 197.3 eV.nm, charge de l’´electron −e=−1.6×10−19 C.
1. Pour la lumi`ere utilis´ee, l’effet photo´electrique peut-il avoir lieu ? Justifiez votre r´eponse.
2. Calculez l’´energie cin´etique des ´electrons au moment de leur ´emission.
3. Que se passe-t-il si on inverse la polarit´e ? Donnez la d´efinition du potentiel d’arrˆet U0et calculez
sa valeur.
4. On fixe U`a 10 Volts. Calculez l’´energie cin´etique des ´electrons lors de leur arriv´ee sur l’anode.
5. Pour U= 10 Volts, on a atteint le courant de saturation de la cellule. Expliquez ce que cela
signifie.
6. Le courant mesur´e est I= 1.6µA, lorsque la cathode re¸coit une puissance lumineuse P=
10−4W. Quel est le rendement quantique Rde la cellule, d´efini comme le rapport entre le
nombre d’´electrons ´emis et le nombre de photons re¸cus ?
7. Que peut-on faire pour augmenter le courant de saturation : augmenter le flux de photons
atteignant la cellule ou bien diminuer la longueur d’onde de la lumi`ere ? Justifiez votre r´eponse.
3 Classique ou quantique ?
En calculant l’action caract´eristique, d´ecidez si le recours `a la physique quantique est n´ecessaire
pour ´etudier les objets suivants ou si la th´eorie classique est suffisante :
1. Une antenne radio : puissance 5 kW et fr´equence d’´emission dans le domaine des ondes radio.
2. Un noyau atomique : ´energie de liaison typique 8 MeV, rayon rA≈A1/3r0avec Ale nombre de
masse et r0= 1,2 fm et masse d’un nucl´eon m= 1,6×10−27 kg.
3. L’h´elium superfluide : temp´erature de transition TSF = 2,18 K, distance moyenne entre atomes
a= 0,36 nm et masse m= 6,7×10−27 kg.
4 Liaison mol´eculaire
La liaison entre deux (ou plusieurs) atomes en une mol´ecule est un ph´enom`ene quantique de nature
´electronique, avec une ´energie de liaison de l’ordre d’un eV.
1. En d´eduire l’ordre de grandeur de la distance entre atomes dans la mol´ecule.
2. Si la mol´ecule est suffisamment dissym´etrique, comme par exemple la mol´ecule diatomiques SiO,
elle poss`ede un moment dipolaire ´electrique D. Estimer son ordre de grandeur et comparer `a la
valeur ´exprimentale D= 1,0×10−29 Cm.
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5 Mod`ele de Bohr
Le mod`ele de Bohr correspond `a un ´electron ponctuel (charge −e, masse me) en orbite sur une
trajectoire circulaire de rayon Rautour d’un noyau quasi ponctuel fixe (masse M >> me, charge
+Ze). Ce mod`ele d´ecrit l’atome d’hydrog`ene (Z= 1) ainsi que les ions `a un ´electron He+(Z= 2),
Li2+ (Z= 3) etc...
1. D´emontrer que la force d’attraction gravitationnelle ´electron-proton est environ 2×1039 fois plus
faible que la force coulombienne et donc n´egligeable.
2. Exprimer, dans le cadre de la m´ecanique classique, l’´energie cin´etique Ecde l’´electron et l’´energie
potentielle Epd’interaction entre l’´electron et le noyau.
3. En appliquant le principe fondamentale de la dynamique, montrer que Ec=−Ep/2 et exprimer
l’´energie totale E.
4. Bohr postulait une quantification du moment cin´etique L=n¯h(nentier positif). Montrer que
ceci impose une quantification des rayons Rdes orbites sous la forme : Rn=n2R1/Z o`u R1est
une constante que l’on calculera.
On donne : ¯hc =hc/2π= 197.3 MeV.fm ; α−1= 4π²0¯hc/e2= 137 et mec2= 0.511 MeV.
En d´eduire que la fr´equence de rotation de l’´electron peut s’exprimer sous la forme :
fn=¯hZ2
2πmen3R2
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5. Montrer que l’´energie totale Eest ´egalement quantifi´ee sous la forme : En=−Z2E1/n2o`u E1
est une constante que l’on calculera.
6. Calculer l’´energie que l’on doit fournir pour arracher le dernier ´electron d’un ion Fe25+ dans son
´etat fondamental.
6 Principe d’incertitude
1. Une masse de 1 g est confin´ee dans un tube d’une longueur de 1 m. Quelle est l’incertitude sur
sa vitesse ? De combien se d´eplace-t-elle en un an `a cette vitesse ?
2. Un ´etat atomique excit´e a une ´energie de 3 eV plus ´elev´ee que son ´etat fondamental et une dur´ee
de vie de 1 ns.
(a) Quelles sont les incertitudes absolue et relative sur l’´energie de cet ´etat ?
(b) Quelle est l’incertitude sur la fr´equence du photon ´emis lorsque l’atome retrouve son ´etat
fondamental ?
3. Un syst`eme ´emet un photon en passant d’un ´etat excit´e d’´energie E1`a l’´etat fondamental
d’´energie E0, par exemple un atome ´emettant de la lumi`ere ou un noyau ´emettant des rayons
gamma.
(a) On suppose le syst`eme, de masse m, initialement au repos. Montrer que la conservation de
la quantit´e de mouvement lui communique un certain recul, et qu’il emporte en cons´equence
une fraction δE de la diff´erence d’´energie ²=E1−E0, laissant au photon l’´energie ²−δE.
Montrer que sous condition ² << mc2, on a δE =²2/2mc2.
(b) Le niveau excit´e d’´energie E1poss`ede une dur´ee de vie τ. En d´eduire qu’il a une certaine
largeur ∆E1. Qu’en est-il `a cet ´egard du niveau fondamental ? A quelle condition un photon
´emis comme en 3a peut-il ˆetre r´eabsorb´e par un autre syst`eme de la mˆeme esp`ece, suppos´e
au repos dans son ´etat fondamental ?
(c) Appliquer ces r´esultats aux deux exemples suivants :
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-photon visible du mercure atomique : ²= 4,86 eV ; τ= 10−8s, m= 3,4×10−25 kg.
-´emission gamma du noyau de nickel : ²= 1,33 MeV ; τ= 10−14 s, m= 1,0×10−25 kg.
4. Un m´eson π+au repos a une dur´ee de vie de 26 ns. Quelle est l’incertitude sur la masse au repos
du π+? Que vaut cette incertitude en valeur relative sachant que mπc2= 139.6 MeV.
7 Onde associ´ee de de Broglie
1. Calculer la longueur d’onde de :
(a) la terre dans son mouvement autour du soleil (m= 6 ×1024 kg, v= 3 ×104ms−1),
(b) un homme marchant `a un pas normal,
(c) une goutte de pluie tombant dans l’atmosph`ere.
Quelle conclusion en tirez-vous ?
2. Diffraction sur un cristal
(a) On effectue une exp´erience de diffraction sur un cristal dans les conditions de Bragg avec
des rayons X de longueur d’onde λ= 0.18 nm. Le premier maximum de diffraction est
observ´e pour un angle θ1= 15◦. Quelle est la distance entre deux plans atomiques ?
(b) On veut remplacer le faisceau de rayons X en 2a par des neutrons de mˆeme longueur d’onde
fournie par le r´eacteur nucl´eaire de l’Institut Laue Langevin (ILL) `a Grenoble. Quelle doit
ˆetre l’´energie cin´etique de ces neutrons ?
Trois sources de neutrons d’´energies diff´erentes, suivant la temp´erature du milieu o`u les
neutrons sont amen´es `a l’´equilibre thermique, sont disponibles :
-la source froide, constitu´ee de deut´erium liquide `a Tf= 25 K,
-la source ordinaire constitu´ee par le mod´erateur (eau lourde) `a la temp´erature T= 300 K,
-la source chaude, constitu´ee d’un bloc de graphite `a Tc= 2400 K.
Quelle source utiliser pour mener ces ´etudes ?
(c) Dans les donn´ees de l’exp´erience originale de Davisson et Germer (voir le cours), le premier
pic ´etait obtenu pour θ= 65◦et une diff´erence de potentiel acc´el´eratrice U= 54 V. Quelle
est la longueur d’onde associ´ee aux ´electrons ainsi acc´el´er´es ? En d´eduire l’espacement entre
deux plans du cristal de nickel utilis´e.
(d) Comparer les ´energies cin´etiques (en eV) des photons, des neutrons et des ´electrons utilis´es
dans ces trois exp´eriences.
3. Diffraction sur un noyau atomique
La m´ethode habituelle pour d´eterminer la taille et la forme d’un objet est d’´etudier la mani`ere
dont il diffuse les rayonnements. En physique subatomique, les objets `a observer sont les noyaux,
les nucl´eons qui les composent, voire les quarks qui constituent les nucl´eons. L’ordre de grandeur
est donc le fm.
(a) Quelle est l’´energie des photons correspondants `a des longueurs d’onde λ≈1 fm ?
(b) Les photons tr`es ´energ´etiques sont trop difficiles `a produire et `a d´etecter ; on peut alors
essayer d’utiliser des ´electrons de longueur d’onde associ´ee λ=h/p (attention, l’´energie
cin´etique d’un ´electron de longueur d’onde ´egale `a 1 fm est tellement grande qu’il faut le
traiter de mani`ere relativiste (voir cours), on peut donc ´ecrire p≈E/c.) Ces ´electrons
peuvent ˆetre produits dans des acc´el´erateurs lin´eaires comme celui du Jefferson Laboratory
aux USA et d´etect´es par des dispositifs appropri´es.
Une exp´erience de diffusion consiste `a envoyer un faisceau d’´electrons sur une cible et
`a d´etecter les ´electrons diffus´es dans l’angle solide dΩ couvert par le d´etecteur dans la
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Fig. 1 –
direction θ. La figure 1 montre les courbes des nombres d’´electrons d´etect´es en fonction de
l’angle de diffusion lors d’une exp´erience de diffusion d’´electrons sur le carbone et l’oxyg`ene.
En faisant une analogie avec la diffraction de la lumi`ere par un disque opaque de diam`etre
D(le premier minimum doit ˆetre situ´e `a l’angle θtel que sin(θ) = 1.22λ/D), donner l’ordre
de grandeur du rayon des noyaux d’oxyg`ene et de carbone.
(c) Calculer la longueur d’onde associ´ee de particules αd’une ´energie cin´etique E= 40 MeV.
Ces particules, sont-elles adapt´ees `a l’´etude de noyaux atomiques par diffusion ?
8 Une particule dans une boˆıte
On se place `a 1 dimension et on consid`ere une particule soumise au potentiel V(x) suivant :
V(x)=0si 0< x < L
V(x) = ∞sinon
1. Les solutions de l’´equation de Schr¨odinger constituent des ensembles discrets de niveaux d’´energie
et de fonctions d’onde associ´ees (revoir le cours !).
Quelle est la valeur de l’´energie du fondamental ? Pourquoi n’est elle pas nulle ?
2. Quelle est la diff´erence d’´energie entre deux niveaux successifs ? Que peut on en conclure pour
Lgrand ?
9 Puits de potentiel
On se place `a 1 dimension et on consid`ere une particule soumise au potentiel V(x) suivant :
V(x) = −V0si −L/2< x < L/2
V(x)=0sinon
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