TD de Physique Quantique 1 Rayonnement du corps noir

Université Joseph Fourier
L2 UE Phy 242
TD de Physique Quantique
C. Hoffmann, G. Méjean
2008
Des conseils pour le travail individuel et une bibliographie sont donnés en fin d’énoncé.
1
Rayonnement du corps noir
Soit u(ω, T ) la densité spectrale et volumique d’énergie du rayonnement d’un corps noir à la
température T . C’est à dire, l’énergie électromagnétique par unité de volume, dans la bande de pulsation comprise entre ω et ω + dω, est
de = u(ω, T )dω.
1. Montrer que l’équation aux dimensions de u est
[u] = M L−1 T −1 .
2. On rappelle qu’en thermodynamique classique, à tout degré de liberté d’un système à la température
T correspond une énergie moyenne de l’ordre de kT où k = 1.38 × 10−23 J/K est la constante
de Boltzmann. Montrer qu’en théorie classique, u est nécessairement de la forme (formule dite
de Rayleigh-Jeans) :
ucl = A cx ω y (kT )z ,
où c est la vitesse de la lumière et A une constante numérique inconnue. Calculer les exposants
x, y, z.
3. Montrer que l’expression précédente est physiquement absurde en évaluant l’énergie totale par
unité de volume :
Z ∞
ecl (T ) =
ucl (ω, T )dω.
0
La difficulté provient-elle des hautes ou des basses fréquences ?
4. C’est la physique quantique qui permet de résoudre le paradoxe. La densité d’énergie est en
réalité de la forme :
h̄ω
u(ω, T ) = ucl (ω, T )f ( ).
kT
Reste à trouver la fonction f . Compte tenu qu’elle a pour rôle d’éliminer la difficulté apparue
en 3, déduire les limites de la fonction f à l’origine et à l’infini.
5. Pour les hautes fréquences, Wien proposa une formule approchée d’origine expérimentale :
uW (ω, T ) ∝ ω 3 exp(−aω/T ),
où a est une constante. Montrer que ceci implique pour ω → ∞, f ∝ ωe−aω/T .
6. Planck trouva en 1900 la fonction f en cherchant une interpolation plausible entre les formules
de Rayleigh-Jeans et de Wien :
h̄ω/kT
f=
exp(h̄ω/kT ) − 1
Montrer qu’on retrouve bien ces limites pour les hautes et basses fréquences.
1
7. Exercice hors séance de TD :
Montrer que l’énergie totale :
e(T ) =
Z ∞
0
u(ω, T )dω
est donnée par e(T ) = σT 4 avec σ = 7, 5 × 10−16 Jm−3 K−4 (loi de Stefan-Boltzmann). Effectuer
le changement de variable x = h̄ω/kT et utiliser A = π −2 ainsi que
Z ∞
0
2
x3
π4
dx
=
.
ex − 1
15
Cellule photoélectrique
Le métal formant la cathode d’une cellule photoélectrique (voir schéma du cours) est caractérisé
par un travail d’extraction We = 2.5 eV. On l’éclaire avec de la lumière monochromatique de longueur
d’onde λ = 400 nm. On donne h̄c = 197.3 eV.nm, charge de l’électron −e = −1.6 × 10−19 C.
1. Pour la lumière utilisée, l’effet photoélectrique peut-il avoir lieu ? Justifiez votre réponse.
2. Calculez l’énergie cinétique des électrons au moment de leur émission.
3. Que se passe-t-il si on inverse la polarité ? Donnez la définition du potentiel d’arrêt U0 et calculez
sa valeur.
4. On fixe U à 10 Volts. Calculez l’énergie cinétique des électrons lors de leur arrivée sur l’anode.
5. Pour U = 10 Volts, on a atteint le courant de saturation de la cellule. Expliquez ce que cela
signifie.
6. Le courant mesuré est I = 1.6 µA, lorsque la cathode reçoit une puissance lumineuse P =
10−4 W. Quel est le rendement quantique R de la cellule, défini comme le rapport entre le
nombre d’électrons émis et le nombre de photons reçus ?
7. Que peut-on faire pour augmenter le courant de saturation : augmenter le flux de photons
atteignant la cellule ou bien diminuer la longueur d’onde de la lumière ? Justifiez votre réponse.
3
Classique ou quantique ?
En calculant l’action caractéristique, décidez si le recours à la physique quantique est nécessaire
pour étudier les objets suivants ou si la théorie classique est suffisante :
1. Une antenne radio : puissance 5 kW et fréquence d’émission dans le domaine des ondes radio.
2. Un noyau atomique : énergie de liaison typique 8 MeV, rayon rA ≈ A1/3 r0 avec A le nombre de
masse et r0 = 1, 2 fm et masse d’un nucléon m = 1, 6 × 10−27 kg.
3. L’hélium superfluide : température de transition TSF = 2, 18 K, distance moyenne entre atomes
a = 0, 36 nm et masse m = 6, 7 × 10−27 kg.
4
Liaison moléculaire
La liaison entre deux (ou plusieurs) atomes en une molécule est un phénomène quantique de nature
électronique, avec une énergie de liaison de l’ordre d’un eV.
1. En déduire l’ordre de grandeur de la distance entre atomes dans la molécule.
2. Si la molécule est suffisamment dissymétrique, comme par exemple la molécule diatomiques SiO,
elle possède un moment dipolaire électrique D. Estimer son ordre de grandeur et comparer à la
valeur éxprimentale D = 1, 0 × 10−29 Cm.
2
5
Modèle de Bohr
Le modèle de Bohr correspond à un électron ponctuel (charge −e, masse me ) en orbite sur une
trajectoire circulaire de rayon R autour d’un noyau quasi ponctuel fixe (masse M >> me , charge
+Ze). Ce modèle décrit l’atome d’hydrogène (Z = 1) ainsi que les ions à un électron He+ (Z = 2),
Li2+ (Z = 3) etc...
1. Démontrer que la force d’attraction gravitationnelle électron-proton est environ 2×1039 fois plus
faible que la force coulombienne et donc négligeable.
2. Exprimer, dans le cadre de la mécanique classique, l’énergie cinétique Ec de l’électron et l’énergie
potentielle Ep d’interaction entre l’électron et le noyau.
3. En appliquant le principe fondamentale de la dynamique, montrer que Ec = −Ep /2 et exprimer
l’énergie totale E.
4. Bohr postulait une quantification du moment cinétique L = nh̄ (n entier positif). Montrer que
ceci impose une quantification des rayons R des orbites sous la forme : Rn = n2 R1 /Z où R1 est
une constante que l’on calculera.
On donne : h̄c = hc/2π = 197.3 MeV.fm ; α−1 = 4π²0 h̄c/e2 = 137 et me c2 = 0.511 MeV.
En déduire que la fréquence de rotation de l’électron peut s’exprimer sous la forme :
fn =
h̄Z 2
2πme n3 R12
5. Montrer que l’énergie totale E est également quantifiée sous la forme : En = −Z 2 E1 /n2 où E1
est une constante que l’on calculera.
6. Calculer l’énergie que l’on doit fournir pour arracher le dernier électron d’un ion Fe25+ dans son
état fondamental.
6
Principe d’incertitude
1. Une masse de 1 g est confinée dans un tube d’une longueur de 1 m. Quelle est l’incertitude sur
sa vitesse ? De combien se déplace-t-elle en un an à cette vitesse ?
2. Un état atomique excité a une énergie de 3 eV plus élevée que son état fondamental et une durée
de vie de 1 ns.
(a) Quelles sont les incertitudes absolue et relative sur l’énergie de cet état ?
(b) Quelle est l’incertitude sur la fréquence du photon émis lorsque l’atome retrouve son état
fondamental ?
3. Un système émet un photon en passant d’un état excité d’énergie E1 à l’état fondamental
d’énergie E0 , par exemple un atome émettant de la lumière ou un noyau émettant des rayons
gamma.
(a) On suppose le système, de masse m, initialement au repos. Montrer que la conservation de
la quantité de mouvement lui communique un certain recul, et qu’il emporte en conséquence
une fraction δE de la différence d’énergie ² = E1 − E0 , laissant au photon l’énergie ² − δE.
Montrer que sous condition ² << mc2 , on a δE = ²2 /2mc2 .
(b) Le niveau excité d’énergie E1 possède une durée de vie τ . En déduire qu’il a une certaine
largeur ∆E1 . Qu’en est-il à cet égard du niveau fondamental ? A quelle condition un photon
émis comme en 3a peut-il être réabsorbé par un autre système de la même espèce, supposé
au repos dans son état fondamental ?
(c) Appliquer ces résultats aux deux exemples suivants :
3
- photon visible du mercure atomique : ² = 4, 86 eV ; τ = 10−8 s, m = 3, 4 × 10−25 kg.
- émission gamma du noyau de nickel : ² = 1, 33 MeV ; τ = 10−14 s, m = 1, 0 × 10−25 kg.
4. Un méson π + au repos a une durée de vie de 26 ns. Quelle est l’incertitude sur la masse au repos
du π + ? Que vaut cette incertitude en valeur relative sachant que mπ c2 = 139.6 MeV.
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Onde associée de de Broglie
1. Calculer la longueur d’onde de :
(a) la terre dans son mouvement autour du soleil (m = 6 × 1024 kg, v = 3 × 104 ms−1 ),
(b) un homme marchant à un pas normal,
(c) une goutte de pluie tombant dans l’atmosphère.
Quelle conclusion en tirez-vous ?
2. Diffraction sur un cristal
(a) On effectue une expérience de diffraction sur un cristal dans les conditions de Bragg avec
des rayons X de longueur d’onde λ = 0.18 nm. Le premier maximum de diffraction est
observé pour un angle θ1 = 15◦ . Quelle est la distance entre deux plans atomiques ?
(b) On veut remplacer le faisceau de rayons X en 2a par des neutrons de même longueur d’onde
fournie par le réacteur nucléaire de l’Institut Laue Langevin (ILL) à Grenoble. Quelle doit
être l’énergie cinétique de ces neutrons ?
Trois sources de neutrons d’énergies différentes, suivant la température du milieu où les
neutrons sont amenés à l’équilibre thermique, sont disponibles :
- la source froide, constituée de deutérium liquide à Tf = 25 K,
- la source ordinaire constituée par le modérateur (eau lourde) à la température T = 300 K,
- la source chaude, constituée d’un bloc de graphite à Tc = 2400 K.
Quelle source utiliser pour mener ces études ?
(c) Dans les données de l’expérience originale de Davisson et Germer (voir le cours), le premier
pic était obtenu pour θ = 65◦ et une différence de potentiel accélératrice U = 54 V. Quelle
est la longueur d’onde associée aux électrons ainsi accélérés ? En déduire l’espacement entre
deux plans du cristal de nickel utilisé.
(d) Comparer les énergies cinétiques (en eV) des photons, des neutrons et des électrons utilisés
dans ces trois expériences.
3. Diffraction sur un noyau atomique
La méthode habituelle pour déterminer la taille et la forme d’un objet est d’étudier la manière
dont il diffuse les rayonnements. En physique subatomique, les objets à observer sont les noyaux,
les nucléons qui les composent, voire les quarks qui constituent les nucléons. L’ordre de grandeur
est donc le fm.
(a) Quelle est l’énergie des photons correspondants à des longueurs d’onde λ ≈ 1 fm ?
(b) Les photons très énergétiques sont trop difficiles à produire et à détecter ; on peut alors
essayer d’utiliser des électrons de longueur d’onde associée λ = h/p (attention, l’énergie
cinétique d’un électron de longueur d’onde égale à 1 fm est tellement grande qu’il faut le
traiter de manière relativiste (voir cours), on peut donc écrire p ≈ E/c.) Ces électrons
peuvent être produits dans des accélérateurs linéaires comme celui du Jefferson Laboratory
aux USA et détectés par des dispositifs appropriés.
Une expérience de diffusion consiste à envoyer un faisceau d’électrons sur une cible et
à détecter les électrons diffusés dans l’angle solide dΩ couvert par le détecteur dans la
4
Fig. 1 –
direction θ. La figure 1 montre les courbes des nombres d’électrons détectés en fonction de
l’angle de diffusion lors d’une expérience de diffusion d’électrons sur le carbone et l’oxygène.
En faisant une analogie avec la diffraction de la lumière par un disque opaque de diamètre
D (le premier minimum doit être situé à l’angle θ tel que sin(θ) = 1.22λ/D), donner l’ordre
de grandeur du rayon des noyaux d’oxygène et de carbone.
(c) Calculer la longueur d’onde associée de particules α d’une énergie cinétique E = 40 MeV.
Ces particules, sont-elles adaptées à l’étude de noyaux atomiques par diffusion ?
8
Une particule dans une boı̂te
On se place à 1 dimension et on considère une particule soumise au potentiel V (x) suivant :
V (x) = 0 si 0 < x < L
V (x) = ∞ sinon
1. Les solutions de l’équation de Schrödinger constituent des ensembles discrets de niveaux d’énergie
et de fonctions d’onde associées (revoir le cours !).
Quelle est la valeur de l’énergie du fondamental ? Pourquoi n’est elle pas nulle ?
2. Quelle est la différence d’énergie entre deux niveaux successifs ? Que peut on en conclure pour
L grand ?
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Puits de potentiel
On se place à 1 dimension et on considère une particule soumise au potentiel V (x) suivant :
V (x) = −V0 si − L/2 < x < L/2
V (x) = 0 sinon
5
avec V0 positif.
1. Comment appelle-t-on les états d’énergie négative ? Et ceux d’énergie positive ?
2. Résoudre l’équation de Schrödinger pour une particule de masse m et d’énergie 0 > E > −V0 .
Traiter le cas où la fonction d’onde est paire. On posera K 2 = −2mE/h̄2 et k 2 = 2mV0 /h̄2 − K 2 .
3. On suppose que la fonction d’onde ainsi que sa dérivée sont continues. Quelles sont les conditions
pour que cette hypothèse soit vérifiée ? En déduire une deuxième relation entre K et k.
4. Posez a =
kL
2 ,
b=
KL
2
et R =
√
2mV0 L
(2)
h̄
et résoudre graphiquement la condition de continuité.
5. Traiter le cas où la fonction d’onde est impaire.
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Accélération d’une particule
On se propose d’étudier l’accélération d’un faisceau de protons (mp c2 = 938 M eV , q = +e)
d’énergie cinétique Ec = 100 kV par une différence de potentiel U0 = 1 MV. Le potentiel électrique
U (x) est donc tel que (figure 2) :
U (x) = U0 = 1 M V si x < 0
U (x) = 0 sinon
U0
region 1
0
x
region 2
Fig. 2 – Potentiel électrique U (x).
1. Pensez-vous qu’une telle forme de potentiel ait un sens physique ? Justifiez votre réponse. Que
suggérez-vous pour rendre ce potentiel plus “réaliste” ?
2. Quelles sont les énergies cinétiques et les longueurs d’onde associées des protons dans les deux
régions ?
3. On veut montrer qu’une fraction des protons incidents est réfléchie lors du franchissement de
la discontinuité du potentiel. Pour cela, on décrit les protons incidents par une fonction d’onde
ψ1 (x, t) telle que :
ψ1 (x, t) = ψ1 (x)e−iωt = A1 ei(k1 x−ωt)
Vérifier que ψ(x) est solution de l’équation de Schrödinger dans la région 1 et en déduire l’expression de k1 .
4. On définit l’operateur densité de courant j par :
µ
ih̄
∂ψ
∂ψ ∗
j=−
ψ∗
−ψ
2m
∂x
∂x
6
¶
Vérifier à l’aide d’une équation aux dimensions que l’on peut identifier j au nombre de particules
envoyées par unité de temps et exprimer A1 en fonction du courant I de proton mesuré en
Ampère.
5. Quelle doit être l’expression ψ10 (x, t) de la fonction d’onde des protons réfléchis (on notera A01
son amplitude) ?
6. On suppose qu’aucune particule ne provient des x > 0 dans la région 2. Donner, dans ces
conditions, l’expression ψ2 (x, t) de la fonction d’onde des protons dans la région 2 (on notera A2
son amplitude).
7. En écrivant les conditions de continuité en x = 0, déterminer les expressions de A2 et A01 en
fonction de A1 .
8. On définit le coefficient de réflexion R = |A01 |2 /|A1 |2 comme la fraction de particules réfléchies.
Calculer R et en déduire la fraction T de particules transmises.
9. Exprimer R et T en fonction de Ec et U0 . Application numérique.
10. Supposons maintenant que les protons sont accélérés en deux temps par un potentiel comme
celui de la figure 3.
U0
U0 /2
region 1
0
region 2
x
Fig. 3 – Potentiel électrique U (x).
Calculer le nouveau coefficient de réflexion et en déduire une méthode pour que les particules
soient accélérées sans être réfléchies.
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Comparaison entre oscillateur harmonique classique et quantique
1. Rappels sur l’oscillateur harmonique classique
En mécanique classique, l’oscillateur harmonique est une particule de masse m assujettie à se
déplacer le long d’un axe Ox et soumise à une force de rappel Fx = −Kx. Où x représente l’écart
par rapport à la position d’équilibre x = 0. Le mouvement de la particule est régi par l’équation
de la dynamique :
d2 x
m 2 + Kx = 0
dt
Dont la solution générale est : x(t) = A cos(ωt − φ) avec ω 2 = K/m.
L’énergie totale E = V (x) + 1/2mv 2 = 1/2Kx2 + 1/2mv 2 est constante.
(a) Pour une énergie totale E0 , quel est le domaine de valeurs possibles pour la variable x ?
(b) Quelle est la plus petite valeur possible pour E0 ? A quoi correspond cette situation ?
7
2. L’oscillateur harmonique quantique
L’oscillateur harmonique est d’une grande importance en théorie quantique car il intervient dans
tous les problèmes mettant en jeu des oscillations quantifiées telles que les vibrations moléculaires
et cristallines. De plus, c’est aussi un système simple dont on sait résoudre parfaitement l’équation
de Schrödinger. Pour le cas d’une particule de masse m dans un puits de potentiel parabolique
V (x) = 1/2Kx2 = 1/2mω 2 x2 , cette équation s’écrit :
−
h̄2 d2 ψ(x) 1
+ Kx2 ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
2
(1)
Les 3 premières solutions de l’équation (1), correspondant aux 3 premiers niveaux d’énergie,
sont :
µ
¶
mω 2
ψ0 (x) = C0 exp −
x
2h̄
µ
¶
mω 2
ψ1 (x) = 2xC1 exp −
x
2h̄
µ
2
ψ2 (x) = (4x C2 −
2C20 ) exp
mω 2
−
x
2h̄
¶
Ces fonctions sont représentées dans la figure 4.
Fig. 4 – Représentations graphiques des fonctions d’onde de l’oscillateur harmonique.
(a) A quoi servent les constantes Ci ? Quelle est la dimension de la constante C0 ?
(b) Sachant que :
Z +∞
−∞
³
2
exp −ax
déterminer la constante C0 .
8
r
´
dx =
π
a
(c) Vérifier que ψ0 (x), qui correspond à la fonction d’onde de l’état fondamental, est solution
de l’équation (1). En déduire l’énergie E0 de l’état fondamental.
(d) Pourquoi a-t-on E0 6= 0 ?
(e) Pour l’état fondamental, quelles sont les abcisses limites ±x0 que la mécanique classique
impose à la particule ? Quelle est la différence avec la mécanique quantique ? Calculer la
probabilité de trouver la particule dans la région classiquement interdite, sachant que :
Z +`
−`
Ã
1
−x2
√ exp
` π
`2
!
dx ≈ 0.843
3. Application aux vibrations d’une molécule diatomique
Une molécule
p diatomique peut être considérée comme un oscillateur harmonique de pulsation
propre ω = K/µ où µ est la masse réduite du système et K la raideur du “ressort” qui relie
les deux atomes. On montre que les niveaux d’énergies quantiques En obéissent à la loi En =
(n+1/2)h̄ω. Lors de la transition depuis le premier état excité n = 1 vers l’état fondamental n = 0
d’une molécule C-O, on détecte une onde électromagnétique de fréquence ν = 6.42 × 1013 Hz.
On donne : h = 6.63 × 10−34 J.s ; 1 u = 1.66 × 10−27 kg
(a) Calculer en Joule, puis en eV, l’énergie du photon correspondant à cette transition ?
(b) En prenant la masse du carbone égale à 12 u et celle de l’oxygène égale à 16 u, calculer la
raideur K
(c) Quelle est l’ordre de grandeur de l’amplitude de vibration de la molécule C-O lorsqu’elle
est dans son état fondamental ? Que peut on dire du point de vue classique et du point de
vue quantique sur la position relative des deux atomes de la molécule C-O dans son état
fondamental ?
9
Il est conseillé aux étudiants de travailler avec au moins un livre, en plus des notes du cours.
Quelques livres accessibles aux débutants sont indiqués ci-dessous.
Site internet concernant ce cours : https ://groupesgr.bv.rhone-alpes.fr/ujf/UE DDPHY242/
A consulter régulièrement.
Le présent énoncé d’exercices de TD se base en partie sur une version antérieure élaborée par Prof.
E. Liatard et sur des exercices proposés dans la référence [2].
Références
[1] J.L. Basdevant, 12 leçons de mécanique quantique, Vuibert, Paris, 2006
[2] J.-M. Lévy-Leblond, F. Balibar, Quantique - Rudiments, Dunod, Paris, 2006
[3] V. Scarani, Initiation à la physique quantique, Vuibert, Paris, 2006
[4] Les dossier de La Recherche - ”Le monde quantique”, No. 29, trimestriel novembre 2007
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