Chapitre 2.3a – Le mouvement d`une particule chargée sous l`effet d

Chapitre 2.3a – Le mouvement d’une particule chargée
sous l’effet d’autres particules chargées
Cinématique et force électrique
Voici deux situations où il y a une particule chargée en mouvement dans un champ
v
v
v
électrique E . Il y aura donc dans les deux situations une force électrique F = qE :
v
v
Champ E constant
Champ E radial en 1 / r 2
v
a
+ + + + + + + + + + +σ
v
v
v
a
E = −E j
v
E v
Fe
___________
v
Fe
_
_ Q_
_
v
E
r
v
Q
E = k 2 rˆ
r
−σ
Cinématique : Équation MUA
v
v qE
avec a =
m
Cinématique : Conservation de l’énergie
qQ
avec U e = k
r
Conservation de l’énergie
En mécanique, la notion de conservation de l’énergie a été introduite et fut généralisée de la
façon suivante :
E f = Ei + Wext
où
tel que
E = K +U
E f : Énergie finale du système (J)
E i : Énergie initiale du système (J)
v v
( W = ∫ F ⋅ ds )
Wext : Travail extérieur (non conservatif) (J)
Catégorie d’énergie
Cinétique
1
K = mv 2
2
Énergie potentielle
gravitationnelle
Énergie potentielle
du ressort
U g = mgy
mM
U g = −G
r
Ur =
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
1 2
ke
2
Énergie potentielle
électrique de deux
charges ponctuelles
Ue = k
qQ
r
Page 1
Situation A : Un pendule influencé par g et E. Un pendule de masse m = 50 g et de
longueur L = 3 m possédant une charge électrique q = 3 µC est fixé à un plafond (la
corde est de masse négligeable). Sous le point de fixation du pendule est située à une
distance D = 5 m une sphère uniformément chargée de charge Q = −7 µC . On désire
évaluer la vitesse du pendule lorsque la corde est alignée verticalement sachant que le
pendule était immobile lorsque la corde effectuait un angle θ = 60° par rapport à la
verticale.
Voici la représentation
de la situation :
L
θ
v
+ vi = 0
v
g
v
vf
Mesure effectuée sur le
schéma pour évaluer les
énergies potentielles :
y (m )
L
θ
yi
Détails des mesures :
L
+
yf
ri
θ
ri
rf
L cos θ
L
L sin θ
D
D
y (m )
yi
D
rf
- - -
yf
D−L
Voici les expressions mathématiques des différentes mesures :
yf = 0
yf :
Choix arbitraire
yi :
y i = L(1 − cos θ )
⇒
yi = (3)(1 − cos(60°)) ⇒
rf :
rf = D − L
⇒
r f = (5) − (3)
ri :
ri =
(L sin θ )2 + (D − L cos θ )2
Rappel : cos 2 θ + sin 2 θ = 1
⇒
y i = 1,5 m
rf = 2 m
⇒
ri = L2 sin 2 θ + D 2 − 2 DL cos θ + L2 cos 2 θ
⇒
ri = L2 + D 2 − 2 DL cos θ
⇒
ri =
⇒
ri = 4,359 m
(3)2 + (5)2 − 2(3)(5) cos(60°)
Évaluons nos termes d’énergie potentielle gravitationnelle : ( U g = mgy )
•
U g i = mgy i
⇒
U g i = (0,05)(9,8)(1,5)
⇒
U g i = 0,735 J
•
U g f = mgy f
⇒
U g i = (0,05)(9,8)(0 )
⇒
Ug f = 0
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Évaluons nos termes d’énergie potentielle électrique : ( U e = k
•
•
U ei = k
Ue f
qQ
ri
qQ
=k
rf
qQ
)
r
⇒
U e i = 9 × 10 9
− 7 × 10 )
) (3 × 10 (4)(,359
)
⇒
U e i = −0,0434 J
⇒
(
) (3 × 10 )(− 7 × 10 )
⇒
U e f = −0,0945 J
(
U e f = 9 × 10
9
−6
−6
−6
−6
(2)
Évaluons l’énergie cinétique du pendule à l’aide de la conservation de l’énergie au point le
plus bas :
E f = Ei + Wnc
⇒
K f + U f = Ki + Ui
(Remplacer E = K + U et Wnc = 0 )
⇒
K f + U g f + U e f = Ki + U g i + U ei
(Remplacer U = U g + U e )
⇒
K f + (0 ) + (− 0,0945) = (0 ) + (0,735) + (− 0,0434 )
(Remplacer valeurs num.)
⇒
K f = 0,7861 J
Évaluons la vitesse du pendule au point le plus bas :
K=
1 2
mv
2
⇒
v=
2K
m
(Isoler v )
⇒
v=
2(0,7861)
(0,05)
(Remplacer valeurs num.)
⇒
v = 5,607 m/s
(Évaluer v )
Situation B : Une bille glisse sur un fil. Une bille de 2 g,
chargée à 3 µC, peut coulisser sans frottement sur un fil rigide en
forme de quart de cercle placé dans le plan horizontal xy, de
(3,3) à (6,0), dans un champ électrique dû à une charge #1 de 10
µC fixée à (0,0) et une charge #2 de -2 µC, fixée à (0,3) tel que
montré. On désire calculer (a) le potentiel aux points de départ et
d’arrivée et (b) la vitesse d’arrivée à (6,0) si on dépose la bille
sur le fil à (3,3).On néglige la force gravitationnelle.
Voici nos données de base :
• Q1 = 10 × 10 −6 C
−6
• Q2 = −2 × 10 C
−6
• q = 3 × 10 C
•
r1i = 3 2 + 3 2 = 18 m
• r1 f = 6 m
•
r2 i = 3 m
• r2 f = 6 2 + 3 2 = 45 m
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 3
(a) Évaluons le potentiel avec :
V = V1 + V2 = k
)(
Q1
Q
+k 2
r1
r2
) (
)(
)
Initiale :
−6
−6
Q1
Q2
9 10 × 10
9 − 2 × 10
Vi = k
+k
= 9 × 10
+ 9 × 10
= 15200 V
(3)
r1i
r2 i
18
Finale :
−6
−6
Q1
Q2
9 10 × 10
9 − 2 × 10
Vf = k
+k
= 9 × 10
+ 9 × 10
= 12300 V
(6)
r1 f
r2 f
45
(
( )
)(
(
) (
)(
)
( )
(b) Évaluons la vitesse d’arrivée avec la conservation de l’énergie :
E f = Ei + Wnc ⇒
U f + K f = Ui
( K i = 0 , Wnc = 0 )
⇒
K f = Ui −U f
(Isoler K f )
⇒
⇒
1
2
 mv f  = (qVi ) − (qV f
2

2q
2
(Vi − V f )
vf =
m
2
(
)
) ((15200) − (12300))
2 3 × 10 −6
(0,002 )
2
(Isoler v f )
⇒
vf =
⇒
v f = 8,7
(Calcul)
⇒
v f = 2,950 m/s
(Évaluer v f )
2
1 2
mv et U = qV )
2
(Remplacer K =
(Remplacer valeurs numériques)
Interaction entre deux particules chargées libres
Lors d’une interaction entre deux particules chargées libres, l’interaction entre les particules
fait varier l’énergie potentielle électrique U e du système, mais l’énergie du système
v
E = K + U e est conservée ainsi que la quantité de mouvement du système p . Ces
interactions sont comparables à des collisions élastiques.
Collision élastique entre deux particules chargées
Conservation
de l’énergie
Conservation de la
quantité de mouvement
E f = E i ( Wext = 0 )
K 1 i + K 2 i + U e f = K 1i + K 2 i + U e i
v
v
v
p f = p i ( J ext = 0 )
v
v
v
v
p1 f + p 2 f = p1i + p 2 i
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
1 2
mv
2
qq
• Ue = k 1 2
r
• K=
v
v
• p = mv
Page 4
Situation 2 : Un proton et une particule alpha se
repoussent. Un proton et une particule alpha
( q α = 2 e , mα = 4 m p ) sont initialement immobiles à
8 nm l’un de l’autre : en raison de la force électrique
qu’ils s’exercent l’une sur l’autre, ils se repoussent.
On désire déterminer le module de la vitesse du proton lorsqu’il se trouve à une très grande
distance de la particule alpha.
Évaluons l’énergie potentielle électrique du système au début et à la fin du mouvement :
Ue = k
q1q 2
r
⇒
Intiale : ( r = 8 × 10 −9 m )
Finale : ( r = ∞ )
Ue = k
U ei =
Ue f
(e )(2e)
⇒
r
(
)(
2 9 × 10 9 1,6 × 10 −19
8 × 10 −9
(
(
Ue =
2
)
)
)(
2 9 × 10 9 1,6 × 10 −19
=
(∞ )
2ke 2
r
⇒
U e i = 5,76 × 10 −20 J
⇒
Ue f = 0
2
)
Appliquons la conservation de l’énergie :
E f = Ei
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
K pi + Kαi + U e f = K pi + Kαi + U ei
1
1
1
1
2
2
2
2
mp vp f + mα vα f + U e f = mp vp i + mα vα i + U e i
2
2
2
2
1
1
2
2
mp vp f + mα vα f + U e f = U e i
2
2
1
1
2
2
mp vp f + (4mp )vα f = U e i
2
2
1
2
2
mp vp f + 2mp vα f = U e i
2
Appliquons la conservation de la quantité de mouvement :
v
v
p f = pi
⇒
px f = px i
( E = K +U )
(K =
1 2
mv )
2
( v p i = 0 , vα i = 0 )
( mα = 4 mp )
(Simplifier)
(1D selon l’axe x)
⇒
p xp f + p xα f = p xp i + p xα i
( p x = p xp + p xα )
⇒
mp vxp f + mα v xα f = mp vxp i + mα v xα i
( px = m vx )
⇒
mp v xp f + mα vxα f = 0
( v xp i = 0 , v xα i = 0 )
⇒
mp vxp f + (4mp )vxα f = 0
( mα = 4 mp )
⇒
vxp f + 4vxα f = 0
(Simplifier m p )
⇒
1
vxα f = − v xp f
4
(Isoler v xα f )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Remplaçons l’équation précédente dans l’équation de la conservation de l’énergie et
évaluons la vitesse finale du proton :
1
2
2
m p v p f + 2m p vα f = U e i
2
(Conservation énergie)
⇒
1
2
2
m p v xp f + 2 m p v xα f = U e i
2
(Selon l’axe x)
⇒
1
 1

2
mp vxp f + 2mp  − vxp f  = U e i
2
 4

1
(Remplacer vxα f = − v xp f )
4
⇒
 v xp f 2 
1
2
 = U ei
mp v xp f + 2mp 
 16 
2


(Développer carré)
⇒
1
1
2
2
mp vxp f + mp vxp f = U e i
2
8
(Simplifier)
⇒
5
2
mp vxp f = U e i
8
(Additionner termes)
⇒
5
2
1,67 × 10 −27 vxp f = 5,76 × 10 −20
8
⇒
v xp f = ± 7429 m/s
2
(
)
(
)
(Remplacer valeurs num.)
(Évaluer v xp f )
Exercices
2.3.9 La désintégration du plutonium. Dans l’espace, un noyau de plutonium 238
(94 protons et 144 neutrons) se désintègre : les produits sont un noyau d’uranium 234
(92 protons et 142 neutrons) et une particule alpha (2 protons et deux neutrons).
Immédiatement après la désintégration, le noyau d’uranium et la particule alpha ont une
vitesse négligeable et ils sont à 10-14 m l’un de l’autre : en raison de la répulsion électrique,
ils se repoussent l’un l’autre et acquièrent rapidement de la vitesse. (a) À l’instant où le
noyau d’uranium se déplace à
40 km/s, quel est le module de la vitesse de la particule
alpha ? (b) Quel est le module de la vitesse du noyau d’uranium lorsqu’il se trouve à 10-13
m de la particule alpha ?
Exercice A : Une charge se déplace près d’une charge
ponctuelle. On dépose une charge-test de + 4 C et de
2 kg dans le champ d’une charge de + 10 C fixée à r = 0.
Un expérimentateur dépose la charge-test à 4 m et la
pousse jusqu’à 2 m, sur la trajectoire montrée ci-contre,
en effectuant un travail de 100 × 10 9 J . On désire évaluer
la vitesse de la charge-test après le travail.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Référence : Note Sciences Santé – Chapitre 2 - Exercice 2
Soit une charge de +10 C fixée à r = 0.
a) Quelle est l’énergie potentielle d’une charge de -2 C à l’infini si l’on respecte notre
convention.
b) On permet à la charge de -2 C de se déplacer dans le champ électrique et elle
s’approche jusqu’à 1000 m de l’origine. Quelle sera la valeur de l’énergie
potentielle à cet endroit ?
c) Si l’on calcul la différence d’énergie potentielle entre la position à l’infini et la
nouvelle position. Quel résultat obtenez-vous ?
d) Est-ce logique avec la loi de la conservation de l’énergie ?
Solutions
2.3.9 La désintégration du plutonium.
Utilisons les indices suivants :
• Plutonium :
• Uranium :
P
U
( mU = 234mp et q U = 92 e )
• Alpha :
α
( mα = 4mp et qα = 2 e )
• Proton :
p
( mp = 1,67 × 10 −27 kg et qp = 1,6 × 10 −19 C )
Puisqu’il y a conservation de la quantité de mouvement dans une désintégration et que nous
avons la vitesse du noyau d’uranium, nous pouvons déduire la vitesse de la particule alpha :
px f = px i
⇒
pxU f + p xα f = p xP
⇒
mU v xU f + mα v xα f = mP v xP i
⇒
mU v xU f + mα v xα f = 0
⇒
(234m )(40 km/s) + (4m )v
⇒
v xα f = −2340 km/s
p
( v xP i = 0 )
p
xα f
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
=0
(a)
Page 7
Évaluons l’énergie potentielle électrique du système au début et à la fin du mouvement :
Ue = k
q U qα
r
⇒
Ue = k
Intiale : ( r = 1 × 10 −14 m )
Finale : ( r = 1 × 10
−13
U ei =
m)
Ue f
(92e )(2e)
⇒
r
(
)(
184 9 × 10 9 1,6 × 10 −19
1 × 10 −14
(
Ue =
2
)
)
(
)(
184 9 × 10 9 1,6 × 10 −19
=
1 × 10 −13
(
184ke 2
r
⇒
U e i = 4,239 × 10 −12 J
⇒
U e f = 4,239 × 10 −13 J
2
)
)
Appliquons la conservation de la quantité de mouvement afin d’obtenir une relation entre
les vitesses finales à partir d’une équation précédente :
mU v xU f + mα v xα f = 0 ⇒
v xα f = −
mU
v xU f
mα
⇒
v xα f = −
(234m )
(4m ) v
p
xU f
p
v xα f = −58,5 v xU f
⇒
Appliquons la conservation de l’énergie à notre situation :
E f = Ei
⇒
K Ui + K αi + U e f = K Ui + K αi + U ei
( E = K +U )
⇒
1
1
1
1
2
2
2
2
m U v U f + m α v α f + U e f = m U v U i + mα v α i + U e i
2
2
2
2
(K =
⇒
1
1
2
2
m U v U f + mα v α f + U e f = U e i
2
2
( v U i = 0 , vα i = 0 )
⇒
1
(234mp )v U f 2 + 1 (4mp )(58,5 v U f
2
2
⇒
117 m p v U f + 6844,5 m p v U f + U e f = U e i
⇒
6961,5 m p v U f + U e f = U e i
⇒
vU f =
⇒
vU f =
⇒
v U f = 5,728 × 10 5 m/s
2
)
2
1 2
mv )
2
+ U e f = U ei
2
2
U ei − U e f
6961,5 mp
(4,239 × 10 ) − (4,239 × 10 )
6961,5 (1,67 × 10 )
−12
−13
− 27
(b)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8
Exercice A : Une charge se déplace près d’une charge ponctuelle.
Évaluons l’énergie potentielle électrique existant entre la charge-test et la charge fixe
lorsqu’elles sont séparées de 2 m et de 4 m :
U =k
q1 q 2
r
⇒
U2 = k
q1q 2
(4)(10)
= 9 × 10 9
(2)
r
⇒
U 2 = 1,8 × 1011 J
U4 = k
q1q 2
(4)(10)
= 9 × 10 9
(4)
r
⇒
U 4 = 9 × 1010 J
(
)
(
)
Évaluons la vitesse de la charge-test après un travail de 100 × 10 9 J permettant à la chargetest de passer d’une distance de 4 m à une distance de 2 m de la charge fixée à l’aide de la
conservation de l’énergie :
E f = Ei + Wnc ⇒
U f + K f = K i + U i + Wnc
(Remplacer E = K + U )
⇒
(U 2 ) +  1 mv f 2  = (0) + (U 4 ) + Wnc
(Remplacer termes)
⇒
vf
⇒
vf
⇒
v f = 1,0 × 1010
(Calcul)
⇒
v f = 1,0 × 10 5 m/s
(Évaluer v f )
2
2
2

2
= (U 4 − U 2 + Wnc )
m
2
=
9 × 1010 − 1,8 × 1011 + 100 × 10 9
(2)
((
) (
) (
2
(Isoler v f )
))
2
(Remplacer valeurs num.)
Référence : Note Sciences Santé – Chapitre 2 - Exercice 2
a)
Par définition, l’énergie potentielle à l’infini est zéro. Ainsi :
b)
Avec U = k
c)
Avec ∆U = U f − U i :
qQ
:
r
∆U = U 1000 − U ∞
d)
(
U 1000 = 9 × 10 9
⇒
Avec Wnc = ∆K + ∆U
0 = ∆K + ∆U
(
⇒
)
∆U = − 1,8 × 10 8 − (0 ) ⇒
et
⇒
2 )(10 )
) (−(1000
)
U∞ = 0
U 1000 = −1,8 × 10 8 J
∆U = −1,8 × 10 8 J
Wnc = 0 J
∆K = − ∆U
⇒
∆K = 1,8 × 10 8 J
Ceci est logique, car la charge-test négative est attirée par la charge positive à l’origine ce
qui fait perdre de l’énergie potentielle pour être transformée en énergie cinétique.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 9