Analyse d`un système Mécanique

Cours de Mécanique des Solides : Actions Mécaniques - Paramétrage
Analyse d’un système Mécanique
Objectif : Dénombrer et définir les inconnues du système
Cinématiques
Description des mouvements
Paramètres qi (t )
Inconnues ?
Naturelles
Description des liaisons
G
Efforts : Résultante R
G
Moments M ( A )
2 Classifications des Actions Mécaniques
Efforts Intérieurs – Efforts extérieurs Théorique « PFD »
Efforts Inconnus – Efforts donnés
Pratique
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Analyse des liaisons mécaniques
Mobilités
Modèle Liaisons Parfaites Î 6 inconnues
Efforts de liaison
Description des liaisons élémentaires
Puis des liaisons simples
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Analyse des liaisons mécaniques
Liaisons élémentaires
Ponctuelle
Liaisons simples
5 Mobilités
⎧3 rotations ( p, q, r )
⎨
⎩2 translations (u, v)
1 inconnue effort
Normale au Plan
G
z
Pensez à la pointe de votre stylo
}
G
G
⎧⎪ R = N z
:⎨ G
G
A
⎪⎩ M ( A) = 0
G
G
R // z
G G G
R Λ z =0
{T
On peut écrire
S1 → S2
Ou
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Analyse des liaisons mécaniques
Liaisons élémentaires
Rectiligne
4 Mobilités
Liaisons simples
⎧2 rotations (q, r )
⎨
⎩2 translations (u, v)
2 inconnues effort
Normale au Plan
G
z
Direction de l’appui
{T
S1 → S2
On peut écrire
G
y
Ou
Une règle dont l’arrête est en contact avec la table
}
G
G
⎧⎪ R = N z
:⎨ G
G
A
⎪⎩ M ( A) = M A x
G
G G
MA Λ x = 0
G
G
⎧⎪ M A ⊥ z
⎨ G
G
⎪⎩ M A ⊥ y
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Analyse des liaisons mécaniques
Liaisons élémentaires
Appui Plan
3 Mobilités
Liaisons simples
⎧1 rotation (r )
⎨
⎩2 translations (u, v)
3 inconnues effort
{T
On peut écrire
Normale au Plan
G
z
Pensez à une règle posée sur la table
S1 → S2
}
G
G
⎧R = N z
:⎨ G
G
A
⎩ M ( A) . z = 0
G
G
MA ⊥ z
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Analyse des liaisons mécaniques
Liaisons élémentaires
Linéaire annulaire
Liaisons simples
4 Mobilités
⎧3 rotations ( p, q, r )
⎨
⎩1 translation (v)
{
2 inconnues effort TS1 → S2
Direction locale
G
y
On peut écrire
}
G G
⎧⎪ R . y = 0
:⎨ G
G
A
⎪⎩ M ( A) = 0
G
G
R ⊥ y
Pensez à une gouttière ou votre stylo qui trace une ligne
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Analyse des liaisons mécaniques
Liaisons élémentaires
Pivot glissant
2 Mobilités
Liaisons simples
⎧1 rotation ( p )
⎨
⎩1 translation (u )
{
4 inconnues effort TS1 → S2
Direction
G
x
Pensez à deux cylindres ou un verrou non fermé
}
G G
⎧R . x = 0
:⎨ G
G
A
⎩ M ( A) . x = 0
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Analyse des liaisons mécaniques
Liaisons élémentaires
Rotule
Liaisons simples
3 Mobilités 3 rotations ( p, q, r )
3 inconnues effort
{T
S1 → S2
Pensez à deux points en contact ou l’attache remorque
}
G
⎧⎪ R
:⎨ G
G
A
⎪⎩ M ( A) = 0
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Analyse des liaisons mécaniques
Liaisons élémentaires
Pivot
1 Mobilités
Liaisons simples
1 rotation ( p)
{
5 inconnues effort TS1 → S2
Direction
G
x
On peut écrire
Pensez à la poignée de la porte ou son ouverture
}
G
⎧R
:⎨ G
G
A
⎩ M ( A) . x = 0
G
G
MA ⊥ x
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Analyse des liaisons mécaniques
Liaisons élémentaires
Glissière
1 Mobilités
Liaisons simples
1 translation (u )
5 inconnues effort
Direction
G
x
Pensez à une boite d’allumettes
{T
On peut écrire
S1 → S2
}
G G
⎧R . x = 0
:⎨ G
A
⎩ M ( A)
G
G
R ⊥ x
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Paramétrage
G
Objectif : Définir les mouvements du système OP = f ( qi , t ) ∀P ∈ Σ
Démarche
Système matériel : ensemble de N solides
Î 6N paramètres primitifs
Description des liaisons
Penser en Mobilités ou Efforts inconnus « p »
Liaison : « p » relations de la forme f (qi , t ) = 0
Dénombrer les liaisons indépendantes
Hyperstatisme Î Liaison cinématiquement équivalente
Î Nombre de paramètres indépendants qi ( t )
Choix des paramètres
Définir l’orientation des solides avant tout
Angles d’Euler
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Bilan de l’analyse
Objectif : Problème bien posé
Système matériel : ensemble de N solides
Î 6N Equations du mouvement
et 6N Inconnues
Idée pour y arriver
Penser à se ramener à des chaines cinématiques simples
Ouvrir les boucles fermées
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Puissance - Travail - Energie
Utilise les notions
G
G
do OP
Vitesse V ( P / Ro ) = Vo ( P) =
dt
∂OP
δP = ∑
δqi
∂qi
i
Déplacement virtuel
Définitions
Puissance
Travail
JJJG
JJJG
G
∂OP
∂OP
Vo ( P) = ∑
qi +
∂qi
∂t
i
G
G
Pf = f ( P ) . Vo ( P )
τ2
τ1
Watt « force * vitesse »
τ2
Wf =
∫τ P
f
dt
Joule « force * distance »
1
Energie
Pf = −
d
( E p ( f ))
dt
Joule
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Energies
C’est pratique : plus rapide que de passer par le travail
Energie Cinétique
G
1 G
Ec ( S / Ro ) = ∫ Vo ( P ) . Vo ( P ) ρdv
2D
Travail des quantités de mouvement
Energie Potentielle
Poids : E p ( mg )
JJJG
JJJG G
G
= ∫ ρ g OP dv . zo + Cte = Mg OG . zo + Cte
D
Ressort : E p ( k ) = 1 k (λ − λo ) 2
2
Travail des efforts intérieurs
« déformations – contraintes »
Utilisation dans le PTV
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Application aux liaisons
Liaison 1-2
(S2)
(S1)
Actions de 1 --> 2
R (O , b )
Actions de 2 --> 1
(S2)
(S1)
R (O , b )
PS1→S 2
JG
G
G
G
= F1→2 .Vo ( A2 ) + M1→2 ( A).Ω02
R (O , b )
JG
G
G
G
PS 2→S1 = F2→1.Vo ( A1 ) + M 2→1 ( A).Ω01
Si S1 est Ro Ce terme est nul
Pliaison PS1↔S 2
JG
G
G
G
= F1→2 .V ( A2 / S1 ) + M1→2 ( A).Ω S2 / S1
La puissance d’une liaison parfaite est nulle
Cours de Mécanique des Solides : Actions Mécaniques - Paramétrage
A vous de jouer
Etudiez ce chapitre
Il faut connaître par cœur toutes les liaisons présentées ici
et savoir utiliser cette connaissance pour
Effectuer le paramétrage et l’analyse d’un système mécanique
Les exercices du polycopié de cours sont là pour vous aider.