Activité 2 : des ellipses, mais à quelle vitesse ? 2 e loi de

C- Temps, mouvements et évolution Chapitre 3 – Lois de Newton, satellites et planètes Activités
B
A
Soleil
Chapitre C3. Lois de Newton,
application aux mouvements des satellites et des planètes
A partir des observations de Tycho Brahé (1546-1601), Kepler a pu établir autour de 1610 des lois qui permettent de
décrire et prévoir le mouvement des planètes du système solaire dans le référentiel héliocentrique (référentiel centré sur
le soleil et dont les axes pointent 3 directions “ fixes ”). Ces lois modélisent plus généralement le mouvement de tout
système en orbite, donc également les mouvements de satellites autour de la Terre. Ce sont donc des lois empiriques.
Activité 1 : 1ère loi de Kepler (1609) ou loi des orbites
Une ellipse de foyers F1 et F2 est l’ensemble des points M d’un plan tels que
MF1 + MF2 = constante = 2a (où a est le demi grand axe de l’ellipse). Par rapport à
F1, qui coïncide ici avec le centre S du Soleil, le point le plus proche est appelé
périhélie (noté P) et le point le plus éloigné aphélie (noté A). Pour la Terre on parle
de périgée et d’apogée.
On appelle excentricité « e » de l’ellipse la grandeur
c
ea
. Dans le cas d'un
cercle, les deux foyers sont confondus avec O, et l'excentricité est nulle.
La trajectoire du centre de la Terre autour du Soleil est pratiquement un cercle
dont le centre est le centre du Soleil. La distance moyenne entre le centre de la
Terre et le centre du Soleil vaut D = 150x106 km = 1 u.a. (unité astronomique).
Reformuler la 1ère loi de Kepler dans ce cas d'une trajectoire circulaire :
-----------------------------------------
Activité 2 : des ellipses, mais à quelle vitesse ? 2e loi de Kepler (1609) ou loi des aires
1. Cas de la comète de Halley (trajectoire donnée en annexe)
a) Construire 3 aires balayées pendant deux ans par le rayon reliant le centre du Soleil au centre de la comète.
b) La deuxième loi de Kepler vous parait-elle approximativement vérifiée ?
2. On a représenté en noir sur le schéma ci-contre la portion d'aire
balayée depuis le point A durant une durée t.
a) En utilisant la deuxième loi de Kepler, représenter
approximativement l'aire balayée pendant la même durée t à
partir de B.
b) En déduire la bonne proposition parmi les 3 proposées ci-dessous :
 les valeurs de la vitesse sont les mêmes en A et en B
 la vitesse est plus grande en A qu'en B
 la vitesse est plus grande en B qu'en A
 Vérifier ensuite votre réponse grâce à l'animation kepler.swf
3. Dans le cas où la trajectoire est un cercle, utiliser la 2e loi de Kepler pour qualifier le mouvement le plus précisément
possible : le mouvement est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 Vérifier ensuite votre réponse grâce à l'animation kepler.swf
«Combien de détours ais-je du faire, sur combien de murailles ais-je du tâtonner dans les
ténèbres de mon ignorance avant de trouver la porte qui mène à la lumière du vrai
…Ainsi, ai-je rêvé de la vérité. » Johannes Kepler (1571-1630).
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de chaque planète est une ellipse dont
le centre du soleil occupe un des foyers
Le segment de droite reliant le centre du soleil au centre de chaque planète balaie des aires
égales pendant des durées égales.

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Activité 3 : lien entre période de révolution et demi-grand axe : 3e loi de Kepler
Dès 1595, Kepler, jeune professeur de mathématiques du collège de Graz est persuadé qu’il y a un lien entre le rayon moyen de
l’orbite d’une planète du système solaire et sa vitesse sur son orbite. Mais il faudra à Kepler une très longue patience et des
efforts incroyables pour trouver empiriquement une relation entre le rayon « R » de l’orbite moyenne d’une planète et sa période de
révolution T (cette relation est la « troisième loi de Kepler »). Ce n’est qu’en 1618 que la troisième loi de Kepler, apparaît pour la
première fois dans un ouvrage intitulé Harmonices mundi grâce aux mesures les plus précises de Tycho Brahe.
« Le 8 mars 1618, il a déjà écrit la loi correcte, mais l’a écartée, la croyant imprécise à cause d’une
erreur de calcul. Toutefois, le 15 mai, l’idée se représente à lui et, finalement, « l’emporte sur les ténèbres
de son esprit ». Il a fallu « 22 ans d’attente » pour que Kepler détienne la clé de l’Harmonie céleste :
« Enfin, il est certain et tout à fait exact que la proportion qui lie les temps périodiques de chaque
couple de planètes est précisément la proportion sesquialtère des distances moyennes ».
On se propose ici de découvrir ce qu'est cette proportion « sesquialtère »…
La période de révolution d’un satellite est la durée nécessaire pour que le satellite fasse une révolution
complète autour de l’astre “attracteur” ou "central". Elle n'a rien à voir avec la période de rotation propre.
Le tableau donné en annexe donne la période de révolution T autour du Soleil et le rayon moyen « R » de l’orbite pour
les planètes du système solaire. (Remarque : Kepler disposait des données pour les seules 5 planètes connues à
l’époque : Mercure, Vénus, Terre, Mars et Jupiter).
 1er modèle numérique
Imaginer quelle a pu être le premier modèle de Kepler quant à la relation entre T et « R » ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tester ce modèle à partir du tableau des données ou du fichier regressi contenant ces données en traçant une courbe
judicieusement choisie. Conclure.
 Deuxième modèle numérique.
Kepler réfléchit alors à l’action du Soleil sur les planètes. Il pose comme hypothèse que c’est lui qui exerce
une force qui diminue comme le carré de la distance au soleil et qui les fait se déplacer ; de plus, comme
Aristote, il pense que la vitesse et la force sont proportionnelles. Logiquement, croit-il, cette force doit être
inversement proportionnelle à la distance « R » de la planète au Soleil.
Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la période s'exprime par   
 où v est la vitesse dans le référentiel
héliocentrique. Il en déduit que T doit être proportionnel à R2. Tester ce second modèle et conclure.
 À la recherche d’un troisième modèle.
Kepler est ensuite persuadé que la bonne solution est de la forme    où est une constante.
Tester la compatibilité de cette hypothèse avec les données expérimentales.
La valeur de k calculée par le tableur est k = . . . . . . . ., ce qui revient à écrire :
...
...
Tcste
a
Recopier ci-dessus la 3e loi de Kepler donnée dans le modèle
Activité 4 : Interprétation des lois de Kepler à l'aide de la 2e loi de Newton dans le cas
d'un mouvement circulaire
Le triomphe de Newton a été, grâce à ses 3 lois et à la loi de la Gravitation Universelle, de pourvoir retrouver
théoriquement les lois empiriques de Kepler. Nous allons vérifier dans cette activité que le mouvement circulaire est
compatible avec les lois de Newton et retrouver la 2e et la 3e loi de Kepler.
On étudie une planète de centre P, soumise à la force d’attraction gravitationnelle du Soleil dont la masse est notée MS.
P se trouve à une distance  du centre du soleil (noté S) et son vecteur vitesse est noté . On suppose que cette planète
n'est soumise qu'à l'action du Soleil. La distance séparant S et P est notée R.
1. Exprimer et représenter la force exercée sur le satellite, ainsi que le vecteur unitaire  dirigé de S vers P.
2. En appliquant la 2e loi de Newton dans le référentiel héliocentrique, qu'on considèrera galiléen pour le mouvement
de la planète, exprimer l'accélération  .
3. L'expression de trouvée est-elle valable dans le cas d'une trajectoire non circulaire ?
4. A l'aide de l'expression générale de l'accélération donnée dans le modèle, montrer que le mouvement circulaire est
forcément uniforme (ce qui est conforme à la 2e loi de Kepler dans le cas de l'orbite circulaire).

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Expression de la vitesse
5. La vérification de la 2e loi de Newton impose la valeur de la vitesse : exprimer cette vitesse.
6. Justifier alors l'affirmation suivante : "Sur une même orbite, tous les satellites vont à la même vitesse".
Vérification de la 3e loi de Kepler : application à la détermination de la masse du Soleil
7. Dans le cas d’un tel mouvement circulaire uniforme, exprimer la période T en fonction du rayon R (ainsi que de G
et M) et vérifier que cette expression est conforme à la 3e loi de Kepler dans le cas circulaire uniforme.
8. Choisir les caractéristiques de l'orbite d'une des planète du système solaire pour en déduire, grâce à la 3e loi de
Kepler, la masse du Soleil.
Donnée : G = 6,67x10-11 uSI
Activité 5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre
Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface
de la Terre.
1. Montrer à l'aide d'un schéma que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur.
2. Quelle doit être la valeur de sa période de révolution ?
Données : G = 6,67x10-11 uSI ; masse de la Terre : MT = 5,97x1024 kg.
3. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément se situer ? Donnée :
 Vérifier à l'aide du simulateur "Satellites" grâce au menu "Orbites particulières".
Pour aller plus loin…
Calculer la valeur de la vitesse d'un tel satellite dans le référentiel géocentrique.

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Trajectoire de la comète de Halley (activité 2)
Selon des annales chinoises, les premières observations de la comète de Halley datent d’au moins
240 av. J.C. Edmund Halley (1656 – 1743) ayant déterminé les orbites des 24 comètes les plus
brillantes a observé que les orbites des comètes de 1531, 1607 et 1682 se ressemblaient : il en a
tiré la conclusion qu’il s’agit de la même comète. Il a alors prédit le retour de cette comète pour
1758. La comète fut au rendez-vous en décembre 1758 !... Et vous pouvez prédire qu'elle est
revenue assez récemment en . . . . . . . et que son prochain passage aura lieu en . . . . . . . .
la comète de Halley a pu également être observée en l'an 1066. Une comète attira en effet
l'attention de l'armée de Guillaume le Conquérant et on la retrouve sur la célèbre
tapisserie de Bayeux, qui illustre l'invasion de l'Angleterre par les Normands.
Données expérimentales relatives au système solaire (activités 3 et 4)
PLANÈTE
PÉRIODE T (an)
RAYON MOYEN R (ua)
Mercure
0.2408
0.3871
Vénus
0.6152
0.7233
Terre
1.0000
1.0000
Mars
1.8808
1.5237
Jupiter
11.862
5.2026
Saturne
29.457
9.5547
Uranus
84.020
19.218
Neptune
164.77
30.109
Données :
-Périhélie : 0,59 u.a. (0,5845 à 0,5932)
-Aphélie : 35 u.a.
-Excentricité : e = c / a = 0,967 (0,9666
à 0,9675)
-Période de révolution : T = 76,1 ans
-Diamètre du noyau :  10 km
-Inclinaison sur l’écliptique : 162,2°
(mouvement rétrograde)
Échelle : 1cm = 2 u.a.