Les nombres décimaux

DOCUMENT 7
Les nombres d´ecimaux
Dans l’introduction du document 6, l’origine des nombres rationnels a ´et´e li´ee `a des probl`emes
de mesure en g´eom´etrie. En sciences exp´erimentales, le r´esultat d’une mesure est aussi un
nombre rationnel mais ce nombre n’est pas quelconque (on ne parle pas d’une intensit´e d’un
tiers d’amp`ere). En g´en´eral, ce r´esultat exprime le fait que la grandeur que l’on mesure contient
un nombre entier de fois l’unit´e, plus un certain nombre de dixi`emes, de centi`emes,... de cette
unit´e. Autrement dit, le r´esultat de la mesure se pr´esente sous la forme a0+a1
10 +· · · +an 10n,
les ai´etant des entiers qui, en dehors de a0, sont compris entre 0 et 9. L’objet de ce document
est l’´etude de ce type de nombres rationnels et de leurs applications, l’une des plus importantes
´etant l’approximation des nombres r´eels.
1. L’anneau des nombres d´ecimaux
1.1. D´efinition et caract´erisations des nombres d´ecimaux. Un nombre r´eel dest
appel´e un nombre d´ecimal s’il existe un entier ntel que 10nd∈Z. On designe par Dl’ensemble
des nombres d´ecimaux et le plus petit entier ntel que 10nd∈Zest parfois appel´e l’ordre du
nombre d´ecimal d. .
Tout entier relatif est un nombre d´ecimal et si dest un nombre d´ecimal alors il existe ntel
que a= 10nd∈Zd’o`u d=a10−nce qui montre que dest un nombre rationnel. On a donc
Z⊂D⊂Q. La proposition suivante va impliquer que ces inclusions sont strictes.
Proposition 7.1.Un nombre rationnel non nul, ´ecrit sous la forme d’une fraction irr´eductible
x=p
q,p∧q= 1, est un nombre d´ecimal si et seulement si q= 2m5navec m∈Net n∈N.
Preuve. Si x=p
2m5n,m∈Net n∈N, et si k= max(m, n) alors 10kx∈Zet xest donc un
nombre d´ecimal. R´eciproquement, soit dun nombre d´ecimal. Si d∈Zalors son ´ecriture sous
la forme d’une fraction irr´eductible est d
1=d 2050. Si d6∈ Z, alors supposons que l’´ecriture de d
sous la forme d’une fraction irr´eductible soit d=p
2m5np1qo`u p1est un nombre premier distinct
de 2 et 5. Il existe un entier ktel que 10kd=asoit un entier. On a 10kp=a2m5np1qet comme
p1est premier avec 10k, le th´eor`eme de Gauss entraine que p1divise pce qui contradictoire.
Donc d=p
2m5n.
Remarque. Tout nombre rationnel ddont une ´ecriture est d= 2m5np,p∈Zet (m, n)∈Z2,
est un nombre d´ecimal et tout nombre d´ecimal peut se d´ecomposer de cette fa¸con. Si de plus on
impose que p∧2 = p∧5 = 1 alors toute d´ecomposition d’un nombre d´ecimal sous cette forme
est unique et on dira que c’est son ´ecriture canonique. Il est parfois plus agr´eable de pr´esenter
l’´ecriture canonique d’un nombre d´ecimal sous la forme p
2m5n.
59

60 7. LES NOMBRES D´ ECIMAUX
Remarquons encore que tout nombre d´ecimal dpeut s’´ecrire d=n
10mavec n∈Zet m∈N
et que tout nombre de cette forme est un nombre d´ecimal.
1.2. L’anneau des nombres d´ecimaux.
Proposition 7.2.L’ensemble des nombres d´ecimaux forme un sous-anneau int`egre du corps
Q.
Preuve. Soit d1=n1
10m1et d2=n2 10m2,ni∈Z, deux nombres d´ecimaux. On a :
•d1−d2=n1
10m1−n2 10m2=n110m2−n210m1 10m1+m2
•d1.d2=n1
10m1.n2 10m2=n1n2 10m1+m2
ce qui montre que Dest un sous-anneau de Q. Il est unitaire car 1 ∈Det donc int`egre.
Remarques. 1). Dest le sous-anneau de Qengendr´e par {1
10}. En effet 1 10 ∈Det si un sous-
anneau de Qcontient 1
10 alors il contient tous les entiers car il contient 1 (1 = 1 10 +. . . +1 10)
et il contient donc aussi tous les rationnels de la forme n
10m, avec n∈Zet m∈N. Il contient
donc tous les nombres d´ecimaux.
2). Dn’est pas un id´eal de Qcar, Q´etant un corps, ses seuls id´eaux sont {0}et Q.
1.3. El´ements remarquables et id´eaux de l’anneau D.
Proposition 7.3.Un ´el´ement de l’anneau Dest inversible si et seulement si il est de la
forme ε2m5navec (m, n)∈Z2et ε∈ {−1,1}.
Preuve. Tout ´el´ement de la forme ε2m5nappartient `a Det, comme ε2m5n.ε2−m5−n=ε2= 1,
tous les ´el´ements de ce type sont inversibles. R´eciproquement, soit d1=p1
2m15n1et d2=p2 2m25n2,
pi∈Z, deux nombres d´ecimaux non nuls ´ecrits sous forme canonique. Si d1d2= 1 alors
p1p2= 2m1+m25n1+n2et donc 2m1+m25n1+n2∈Nce qui impose m1+m2≥0 et n1+n2≥0
(car 2 ne divise pas 5 et 5 ne divise pas 2). Alors, par le th´eor`eme de Gauss, pi∈ {−1,1}.
Dans un anneau unitaire A, on d´esigne en g´en´eral par A∗l’ensemble des ´el´ements inversibles
de A, appel´es parfois les unit´es de A. L’ensemble A∗est toujours un groupe pour la multiplication
de A. Ici on a donc D∗={ε2m5n|(m, n)∈Z2, ε ∈ {−1,1}}. L’application ε2m5n∈D∗7→
(m, n)∈Z2est un morphisme surjectif du groupe (D∗, .) sur le groupe (Z2,+), de noyau {−1,1},
et donc D∗/{−1,1}et Z2sont des groupes isomorphes.
Avant d’´etudier les id´eaux de D, donnons deux propri´et´es, li´ees aux ´el´ements inversibles, des
id´eaux d’un anneau int`egre. Consid´erons un id´eal Id’un anneau int`egre A.
•si ua ∈Iavec u∈A∗, alors a∈Icar a=u−1ua. On a donc, pout tout u∈A∗,a∈I
qui ´equivaut `a ua ∈I.
•si Iest un id´eal principal engendr´e par un ´el´ement aalors Iest aussi engendr´e par tout
´el´ement ua,u∈A∗(aA =uaA). R´eciproquement, si I=aA =bA,I6={0}, alors il
existe u∈A∗tel que a=ub. En effet, a=a.1∈aA et donc a∈bA. Il existe a0∈A
tel que a=ba0. De mˆeme, on a b=ab0d’o`u a=a(a0b0). L’anneau A´etant int`egre,
a0b0= 1 (a0b0−1)a= 0 et a6= 0 car I6={0}), et a0est donc un ´el´ement inversible.

1. L’ANNEAU DES NOMBRES D´ ECIMAUX 61
Proposition 7.4.L’anneau Dest un anneau principal. Pour tout id´eal Ide D, distinct de
{0}, il existe un unique entier positif ntel que I=nDet n∧2 = n∧5 = 1.
Preuve. Si d=p
2m5nest un ´el´ement non nul de Ialors |p|=±d2m5nest encore dans Iet I
contient donc des entiers strictement positifs. Soit nle plus petit d’entre eux. Si n= 2p5qn0,
avec n0∈N, alors on a p=q= 0 car sinon n0∈I, et 0 < n0< n. On a donc n∧2 = n∧5 = 1,
n > 0etnD⊂I.
Soit x=a
2p5qun ´el´ement de I´ecrit sous forme canonique. Par la division euclidienne,
a=nb +ravec 0 ≤r < n d’o`u x=nb
2p5q+r 2p5q. De x∈I,n∈Iet 1 2p5q∈D∗on d´eduit
nb ∈Iet x−nb
2p5q=r 2p5q∈Id’o`u r∈I. Par d´efinition de n,r= 0 et x=nb 2p5q∈nD.
Finalement nD=I.
Supposons que I=n0Davec n0∈N,n0∧2 = n0∧5 = 1. Il existe 2p5q∈D∗tel que
n0=n2p5q. Cette ´egalit´e est contradictoire si p6= 0 ou q6= 0 et donc n=n0.
Les anneaux euclidiens (voir la d´efinition dans le document 3) sont toujours des anneaux
principaux. On peut donc se demander si l’anneau des d´ecimaux est euclidien. La proposition
suivante apporte une r´eponse positive `a cette question.
Proposition 7.5.L’anneau des nombres d´ecimaux est un anneau euclidien.
Plus pr´ecisemment , soit φl’application de D− {0}dans Nqui au nombre d´ecimal non nul
d, ´ecrit sous forme canonique d=p2n5m, fait correspondre φ(d) = |p|. On a φ(d)≤φ(dd0),
(d, d0)∈D∗2, et pour tout couple (a, b)∈D×(D− {0})il existe (q, r)∈D2tel que
a=bq +r,r= 0 ou φ(r)< φ(b).
Preuve. Il est clair que φ(d)≤φ(dd0). Si a= 0 alors (q, r) = (0,0) convient. Supposons a6= 0
et soit m
2k5let n
2s5tles ´ecritures canoniques respectives de aet b. Par la division euclidienne
dans Z, on a m=ξn +ρavec 0 ≤ρ < |n|. On obtient
a=ξn +ρ
2k5l=n
2s5t
ξ
2k−s5l−t+ρ 2k5l.
Soit ρ0∈Ntel que ρ= 2u5vρ0avec ρ0∧2 = ρ0∧5 = 1. Posons q=ξ
2k−s5l−tet r=ρ0 2k−u5l−v.
On a a=bq +r. Si r6= 0 alors ρ6= 0 et φ(r) = |ρ0|=|ρ|<|n|=φ(b).
Remarques. 1). En utilisant la division euclidienne dans Don peut montrer que tout id´eal de
Dest principal par une preuve semblable `a celle que l’on fait dans le cas de Z.
2). Si I=nD,n≥0, est un id´eal de Dalors I∩Zest un id´eal de Zmais tout id´eal de Zn’est
pas l’intersection d’un id´eal de Davec Zet si c’est le cas les g´en´erateurs peuvent ˆetre distincts
(Penser `a 2Z, 15Z, 15D∩Z= 3Z,...).
3). On a nD⊂mD,met n´etant les entiers d´efinis dans la proposition 7.4, si et seulement si
mdivise n. Les id´eaux maximaux de Dsont donc les id´eaux de la forme pDavec ppremier,
diff´erent de 2 et 5.
Pour tout nombre premier p, distinct de 2 et 5, le corps D/pDest isomorphe au corps Z/pZ.
Preuve. Consid´erons deux nombres d´ecimaux d1et d2´ecrits sous la forme di=ni
10miavec
ni∈Zet mi≥0. Si d1=d2alors n110m2=n210m1et donc, dans Z/pZ,n1(10)m2=n2(10)m1.

62 7. LES NOMBRES D´ ECIMAUX
L’entier p´etant premier, Z/pZest un corps et, apr`es avoir not´e que 10 et psont premiers entre
eux, l’´egalit´e pr´ec´edente peut s’´ecrire n1(10 −1)m1=n2(10 −1)m2. On peut donc d´efinir une
application fde Ddans Z/pZen posant
f(n
10m) = n(10 −1)m.
Cette application est un morphisme d’anneau :
f(n1
10m1+n2 10m2) = f(n110m2+n210m1 10m1+m2)
= (n110m2+n210m1)(10 −1)m1+m2
=n1(10 −1)m1+n2(10 −1)m2=f(n1
10m1) + f(n2 10m2)
f(n1
10m1.n2 10m2) = f(n1 10m1).f(n2 10m2)
Il est clair que l’application fest surjective (f(n) = n). On a f(n
10m) = n(10 −1)m= 0 si
et seulement si n= 0 ce qui ´equivaut encore `a n
10m=pλ 10mavec λ∈Z. Il en r´esulte que
ker(f) = pDd’o`u finalement l’isomorphisme de D/pDet Z/pZ.
4) L’anneau D´etant principal on peut, comme dans Z, d´efinir le pgcd et le ppcm de deux ´el´ements
et d´ecomposer tout ´el´ement non nul en un produit de facteurs premiers (ou irr´eductibles).
L’unicit´e est `a un facteur inversible pr`es.
2. Application : repr´esentation des nombres r´eels par une suite d´ecimale
Soit a=b
10m,m > 0 et b∧10 = 1, un nombre d´ecimal non entier, a0et rle quotient et
le reste de la division euclidienne de bpar 10m. De 0 ≤r < 10mon d´eduit qu’il existe des
entiers a1, . . . , amtels que 0 ≤ai≤9 et r=a110m−1+. . . +am. Ainsi a=a010m+r
10m=
a0+a1
10 +. . . +am 10m, ce qui montre que aest d´etermin´e par la suite finie d’entiers (ai) o`u
0≤ai≤9 si 1 ≤i≤m. Nous allons obtenir un r´esultat analogue pour tout nombre r´eel mais
dans ce cas la suite (ai) ne sera plus finie.
D´ efinition 7.1.On appelle suite d´ecimale toute suite d’entiers (an)telle que pour tout
n > 0,0≤an≤9.
On appelle repr´esentation d´ecimale de x∈R, toute suite d´ecimale (an)telle que x=
lim
n→∞
n
X
k=0
ak
10k. On dit aussi dans ce cas que (an)repr´esente x.
On a montr´e au d´ebut de ce paragraphe que tout nombre d´ecimal poss`ede un repr´esentation
d´ecimale (an) avec an= 0 `a partir d’un certain rang. R´eciproquement, toute suite d´ecimale,
dont les termes sont nuls `a partir d’un certain rang, repr´esente un nombre d´ecimal.
Proposition 7.6.Toute suite d´ecimale est la repr´esentation d´ecimale d’un nombre r´eel.
Plus pr´ecisemment, si a= (an)est une suite d´ecimale et si ξn=
n
X
k=0
ak
10kalors la suite (ξn)

2. REPR´ ESENTATION D´ ECIMALE DES NOMBRES R´ EELS 63
converge vers un nombre r´eel s(a)tel que, pour tout n∈N,
ξn≤s(a)≤ξn+1
10n
.
Preuve. La suite (ξn) est croissante car ξn+1 −ξn=an+1
10n+1 ≥0. D’autre part, pour n≥1,
ξn≤a0+ 9
n
X
k=1
1
10k=a0+ 1 −1
10n< a0+ 1.1
La suite (ξn), croissante et major´ee, converge vers un r´eel s(a) avec, pour tout n∈N,
ξn≤s(a).
Pour p≥n+ 1 on a
ξp=ξn+
p
X
k=n+1
ak
10k≤ξn+ 9
p
X
k=n+1
1
10k=ξn+1
10n−1 10p
d’o`u s(a)≤ξn+1
10n.
Remarques. 1) On conserve les notations de la proposition pr´ec´edente. S’il existe ntel que
s(a) = ξn+1
10nalors s(a)≤ξn+1 +1 10n+1 entraine ξn+1 10n≤ξn+an+1 10n+1 +1 10n+1 d’o`u
10 ≤an+1 + 1 et an+1 = 9.On en d´eduit que ξn+1 +1
10n+1 =ξn+1 10n=s(a).
Soit n0le plus petit entier tel que s(a) = ξn0+1
10n0. Une r´ecurrence imm´ediate montre que
n≥n0+ 1 implique an= 9 et s(a) = ξn+1
10n.
R´eciproquement, soit (an) une suite d´ecimale telle que an= 9 pour tout n≥n0. Si n > n0
alors
ξn=ξn0+ 9
n
X
k=n0+1
1
10k=ξn0+1
10n0−1 10n
ce qui montre que (an) repr´esente le nombre d´ecimal x=ξn0+1
10n0. On remarque aussi que
pour n>n0,ξn+1
10n=ξn0+1 10n0=x.
2) On peut aussi introduire la suite ξ0
n=ξn+1
10n. Cette suite est d´ecroissante et ((ξn),(ξ0
n))
forme un couple de suites adjacentes. Il en r´esulte que (ξn) converge et ξn≤s(a)≤ξn+1
10n.
Les suites d´ecimales form´ees de 9 `a partir d’un certain rang ne sont donc pas int´eressantes
car elles repr´esentent des nombres d´ecimaux et ces nombres poss`edent d´ej`a une repr´esentation
d´ecimale dont le terme g´en´eral est nul `a partir d’un certain rang.
1On utilisera souvent l’´egalit´e qn+...+qp=qn−qp+1
1−q(p≥n,q6= 1) d’o`u 9( 1 10n+1 +...+1 10p) = 1 10n−1 10p
et 1
10n+1 +...+1 10p<1 10n.