Le module, les arguments, l`exponentielle imaginaire et leurs
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Vestiges d'une terminale S - Le module, les arguments, l'exponentielle imaginaire et leurs propriétés opératoires Le module et les arguments d'un nombre complexe Les module et arguments d'un nombre complexe peuvent être définis de plusieurs façons. Pour ce qui nous concerne, nous le ferons de la manière suivante : Définition du module d'un nombre complexe Le module du nombre complexe z est le réel positif ou nul noté z et défini par : z = z × z = ( re ( z ) + i.im ( z ) ) × ( re ( z ) − i.im ( z ) ) = re ( z ) + im ( z ) 2 2 Page 1 sur 2 Module et arguments d'un produit de deux nombres complexes Théorème donnant module et arguments d'un produit de nombres complexes z et z' sont deux nombres complexes non nuls dont deux arguments sont les réels θ et θ'. 1. Le module d'un produit est égal au produit des modules. z×z' = z × z' 2a. Un argument d'un produit est égal à la somme des arguments. arg ( z × z ') = arg ( z ) + arg ( z ') modulo 2π 2 2b. Le produit des exponentielles imaginaires est égal à l'exponentielle imaginaire de la somme. Ce n'est pas parce que deux nombres complexes ont des modules égaux qu'ils sont pour autant égaux. En effet, 1 et i ont le même module et pourtant ils ne sont pas égaux. Géométriquement, tous les points M ayant des affixes de même module se trouvent un même cercle de centre O. 1 et i se trouvent tous deux sur le cercle trigonométrique. Le nombre complexe 0 est le seul dont le module soit nul. Nous avons l'équivalence : z =0 ⇔ z=0 i . θ+θ ') ei .θ × ei.θ ' = e ( La preuve de ce théorème 1. D'après notre définition, le module du nombre complexe z × z ' est le réel vérifiant : z×z' 2 = z × z ') × ( z × z ') = z × z '× z × z ' ( 2 = z × z × z '× z' = z × z ' 2 La conjugaison est compatilble avec le produit Définitions de l'argument d'un nombre complexe et de l'exponentielle imaginaire Dire que le réel θ est un argument du nombre complexe non nul z signifie qu'il vérifie l'égalité : z = e i .θ = cos ( θ ) + i.sin ( θ ) z Comme les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques, alors il en va de même pour la i .θ fonction exponentielle imaginaire e et surtout cela nous permet d'affirmer : Deux arguments θ et θ' d'un même nombre complexe z diffèrent d'un certain nombre de fois 2π. On dit qu'ils sont congrus l'un à l'autre modulo 2π. C'est pour cela que l'argument d'un nombre complexe est défini à 2π ou modulo 2π. Tous ces arguments d'un nombre complexe z sont notés arg ( z ) . Avec notre définition, il est impossible de définir l'argument du nombre complexe 0. Pour contourner le problème, on décrète que tout réel θ est un argument de 0 Les formes exponentielles de certains nombres complexes sont à connaître : 1 = 1 + i.0 = cos ( 0 ) + i.sin ( 0 ) = e i .0 π π i = 0 + i.1 = cos + i.sin = e 2 2 i. π 2 π i . − −1 = −1 + i.0 = cos ( π ) + i.sin ( π ) = e i.π − i = 0 + i. ( −1) = cos − π + i.sin − π = e 2 2 2 En passant cette égalité de réels positifs ou nuls à la racine, il vient alors : z×z' = z×z' 2 = 2 z × z' 2 = 2 z × z' 2 = z × z' 2. Comme les réels θ et θ' sont deux arguments des nombres complexes z et z', alors : z z' et = e i.θ = cos ( θ ) + i.sin ( θ ) = ei.θ ' = cos ( θ ') + i.sin ( θ ') z' z Pour connaître un argument du produit z × z ' , intéressons-nous au quotient : z×z' z z' = × = e i.θ × ei.θ ' = ( cos ( θ ) + i.sin ( θ ) ) × ( cos ( θ ') + i.sin ( θ ') ) z×z' z z' = cos ( θ ) × cos ( θ ' ) + cos ( θ ) × i.sin ( θ ') + i.sin ( θ ) × cos ( θ ') + i.sin ( θ ) × i.sin ( θ ') = ( cos ( θ ) × cos ( θ ') − sin ( θ ) × sin ( θ ' ) ) + i. ( cos ( θ ) × sin ( θ ' ) + sin ( θ ) × cos ( θ ') ) Voilà qui rappelle... = cos ( θ + θ ') + i.sin ( θ + θ ') = e ...des résultats de première ! i .( θ+θ ' ) Donc un argument du produit z × z ' est la somme θ + θ ' . Module et argument de l'opposé d'un nombre complexe Un nombre complexe z a même module que son opposé −z . Quid de ses arguments ? Si le réel θ est un argument du nombre complexe z, alors nous pouvons écrire : −z z i . θ+π = ( −1) × = ( −1) × ei.θ = ei.π × e i.θ = e ( ) z z Donc un argument de l'opposé −z est θ + π . Un doc réalisé par Jérôme ONILLON et distribué exclusivement par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com) Vestiges d'une terminale S - Le module, les arguments, l'exponentielle imaginaire et leurs propriétés opératoires Page 2 sur 2 Module et arguments d'un inverse et d'un quotient Module et arguments d'une puissance entière Théorème donnant module et arguments d'un inverse et d'un quotient de nombres complexes z et z' sont deux nombres complexes non nuls dont deux arguments sont les réels θ et θ'. 1. Le module de l'inverse est égal à l'inverse du module. Le module d'un quotient est égal au quotient des modules. z z 1 1 = = z z z' z' Soit z un nombre complexe non nul dont l'un des arguments est θ. En appliquant les propriétés précédentes, nous pouvons écrire pour tout entier naturel non nul n : 2a. Un argument de l'inverse est l'opposé de l'argument. Un argument du quotient est la différence des arguments 1 z arg = − arg ( z ) modulo 2π arg = arg ( z ) − arg ( z ') modulo 2π z z' 2b. L'inverse de l'exponentielle imaginaire est l'exponentielle imaginaire de l'opposé. Le quotient des exponentielles imaginaires est l'exponentielle imaginaire de la différence. 1 e i.θ =e e i.θ i .( −θ ) e i.θ ' =e i .( θ−θ ') ( n z = z ×e i .θ n = z ×… × z × e ×… × e = z × e n facteurs n termes i .( θ+…+θ ) = z × ei.n×θ n n facteurs zn = z ( ) (e ) i .θ arg z n = n × arg ( z ) modulo 2π n n = ei.n×θ Ces propriétés valent aussi si l'exposant n est négatif. Module et arguments d'un conjugué Soit z un nombre complexe non nul dont l'un des arguments est θ. Nous pouvons écrire : z = z × ei.θ = × ( cos ( θ ) + i.sin ( θ ) ) = z z × ( cos ( θ ) − i.sin ( θ ) ) ...propre conjugué. i . −θ = z × ( cos ( −θ ) + i.sin ( −θ ) ) = z × e ( ) 1 vérifiant l'égalité z × Z = 1 . z Le nombre complexe 1 a pour module 1 et pour argument 0. Appliquons à cette égalité les propriétés du produit établies au paragraphe précédent : 1 1. Comme z × Z = 1 alors z × Z = 1 ⇒ z × Z = 1 ⇒ Z = z Comme z × Z = 1 alors arg ( z × Z ) = arg (1) ⇒ arg ( z ) + arg ( Z ) = 0 Modulo 2π Modulo 2π ⇒ arg ( Z ) = − arg ( z ) Modulo 2π Pour établir les propriétés sur le quotient, il suffit juste de se rappeler que diviser ce n'est rien d'autres que multiplier par l'inverse. Autant d'opérations sur lesquelles des propriétés ont déjà été établies : z z 1 1 1 1. = z× = z × = z× = z' z' z' z' z' 1 z 1 arg = arg z × = arg ( z ) + arg = arg ( z ) − arg ( z ' ) z' z' z' Modulo 2π i .θ Par conséquent : Par conséquent : L'inverse du complexe z est le nombre complexe Z = 2. ) n Le réel z est... La preuve de ce théorème 2. i .θ i . −θ ei .θ = e ( ) arg ( z ) = − arg ( z ) modulo 2π z = z La légitimité de l'appellation exponentielle imaginaire Pourquoi la fonction ϕ ( θ ) = cos ( θ ) + i.sin ( θ ) qui est définie de dans est-elle qualifiée d'exponentielle imaginaire ? Pour le comprendre, calculons sa dérivée. D'abord, remarquons que comme cosinus et sinus sont dérivables sur , alors il en va de même pour ϕ. Pour tout réel θ, nous pouvons écrire : ϕ′ ( θ ) = cos ( θ ) ′ + i. sin ( θ ) ′ = − sin ( θ ) + i.cos ( θ ) = i × i.sin ( θ ) + cos ( θ ) = i × ϕ ( θ ) ( ) ( ) ( ) Maintenant, si nous avions à dériver la fonction ei .θ = e ( ) avec la formule établie pour l'exponentielle réelle, nous écririons que sa dérivée est donnée par : ′ u θ ei.θ = u ′ ( θ ) × e ( ) = ( i.θ )′ × e i.θ = i × ei .θ u θ ( ) Du point de vue de la dérivation, ces deux fonctions se comportent de manière similaire. De plus, ainsi que nous l'avons vu, cette fonction ϕ présente les mêmes propriétés opératoires que son aînée réelle. C'est pour toutes ces raisons que cette fonction ϕ est qualifiée d'exponentielle imaginaire. A partir de ces deux exponentielles, on peut en construire une troisième : la complexe. Un doc réalisé par Jérôme ONILLON et distribué exclusivement par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
