Le module, les arguments, l`exponentielle imaginaire et leurs

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Un doc réalisé par Jérôme ONILLON et distribué exclusivement par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
Le module et les arguments d'un nombre complexe
Les module et arguments d'un nombre complexe peuvent être définis de plusieurs façons.
Pour ce qui nous concerne, nous le ferons de la manière suivante :
Définition du module d'un nombre complexe
Le module du nombre complexe z est le réel positif ou nul noté
z
et défini par :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
re z .im z re z .im z re zz
z
zmzi == × + × − = + i i
Ce n'est pas parce que deux nombres complexes ont des modules égaux qu'ils sont pour
autant égaux. En effet, 1 et i ont le même module et pourtant ils ne sont pas égaux.
Géométriquement, tous les points M ayant des affixes de même module se trouvent un
même cercle de centre O. 1 et i se trouvent tous deux sur le cercle trigonométrique.
Le nombre complexe 0 est le seul dont le module soit nul. Nous avons l'équivalence :
z 0 z 0
= ⇔ =
Définitions de l'argument d'un nombre complexe et de l'exponentielle imaginaire
Dire que le réel θ est un argument du nombre complexe non nul z signifie qu'il vérifie
l'égalité :
( ) ( )
.
ze cos .sin
z
θ
= = θ + θ
i
i
Comme les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques, alors il en va de même pour la
fonction exponentielle imaginaire
.
e
θ
i
et surtout cela nous permet d'affirmer :
Deux arguments θ et θ' d'un même nombre complexe z diffèrent d'un certain nombre de
fois 2π. On dit qu'ils sont congrus l'un à l'autre modulo 2π.
C'est pour cela que l'argument d'un nombre complexe est défini à 2π ou modulo 2π.
Tous ces arguments d'un nombre complexe z sont notés
(
)
arg z
.
Avec notre définition, il est impossible de définir l'argument du nombre complexe 0. Pour
contourner le problème, on décrète que tout réel θ est un argument de 0
Les formes exponentielles de certains nombres complexes sont à connaître :
( ) ( )
.0
1 1 .0 cos 0 .sin 0 e
= + = + =
i
i i
.
2
0 .1 cos .sin e
2 2
π
π π
= + = + =
i
i i i
( ) ( )
.
1 1 .0 cos .sin e
π
− = − + = π + π =
i
i i
( )
.
2
0 . 1 cos .sin e
2 2
π
−
π π
− = + − = − + − =
i
i i i
Module et arguments d'un produit de deux nombres complexes
Théorème donnant module et arguments d'un produit de nombres complexes
z et z' sont deux nombres complexes non nuls dont deux arguments sont les réels θ et θ'.
1. Le module d'un produit est égal au produit des modules.
z z ' z z '
× = ×
2a. Un argument d'un produit est égal à la somme des arguments.
(
)
(
)
(
)
arg z z ' arg z arg z ' modulo 2
× = + π
2b. Le produit des exponentielles imaginaires est égal à l'exponentielle imaginaire de la
somme.
(
)
. '
. . '
e e e
θ+θ
θ θ
× =
i
i i
La preuve de ce théorème
1. D'après notre définition, le module du nombre complexe
z z '
×
est le réel vérifiant :
( ) ( )
2 2
2
La conjugaison est compatilble avec le produit
z z ' z z ' z z ' z z ' z z ' z z z ' z ' z z '
× = × × × = × × × = × × × = ×
En passant cette égalité de réels positifs ou nuls à la racine, il vient alors :
2 2 2 2 2
z z ' z z ' z z ' z z ' z z '
× = × = × = × = ×
2. Comme les réels θ et θ' sont deux arguments des nombres complexes z et z', alors :
( ) ( )
.
ze cos .sin
z
θ
= = θ + θ
i
i
et
( ) ( )
. '
z '
e cos ' .sin '
z '
θ
= = θ + θ
i
i
Pour connaître un argument du produit
z z '
×
, intéressons-nous au quotient :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
. . '
Voilà qui rappelle... ..
z z ' z z ' e e cos .sin cos ' .sin '
z z ' z z '
cos cos ' cos .sin ' .sin cos ' .sin .sin '
cos cos ' sin sin ' . cos sin ' sin cos '
θ θ
×= × = × = θ + θ × θ + θ
×
= θ × θ + θ × θ + θ × θ + θ × θ
= θ × θ − θ × θ + θ × θ + θ × θ
i i
i i
i i i i
i
( ) ( )
( )
.des résultats de première !
. '
cos ' .sin ' e
θ+θ
= θ + θ + θ + θ =
i
i
Donc un argument du produit
z z '
×
est la somme
'
θ + θ
.
Module et argument de l'opposé d'un nombre complexe
Un nombre complexe z a même module que son opposé
z
−
. Quid de ses arguments ?
Si le réel θ est un argument du nombre complexe z, alors nous pouvons écrire :
( ) ( )
( )
.
. . .
z z
1 1 e e e e
z z
θ+π
θ π θ
−= − × = − × = × =
i
i i i
Donc un argument de l'opposé
z
−
est
θ + π
.

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Module et arguments d'un inverse et d'un quotient
Théorème donnant module et arguments d'un inverse et d'un quotient de nombres
complexes
z et z' sont deux nombres complexes non nuls dont deux arguments sont les réels θ et θ'.
1. Le module de l'inverse est égal à l'inverse du module.
Le module d'un quotient est égal au quotient des modules.
1 1
z z
=
z
z
z ' z '
=
2a. Un argument de l'inverse est l'opposé de l'argument.
Un argument du quotient est la différence des arguments
( )
1
arg arg z modulo 2
z
= − π
( ) ( )
z
arg arg z arg z ' modulo 2
z '
= − π
2b. L'inverse de l'exponentielle imaginaire est l'exponentielle imaginaire de l'opposé.
Le quotient des exponentielles imaginaires est l'exponentielle imaginaire de la différence.
( )
.
.
1e
e
−θ
θ
=
i
i
( )
.
. '
. '
ee
e
θ
θ−θ
θ
=
ii
i
La preuve de ce théorème
L'inverse du complexe z est le nombre complexe
1
Z
z
=
vérifiant l'égalité
z Z 1
× =
.
Le nombre complexe 1 a pour module 1 et pour argument 0.
Appliquons à cette égalité les propriétés du produit établies au paragraphe précédent :
1. Comme
z Z 1
× =
alors
1
z Z 1 z Z 1 Z
z
× = ⇒ × = ⇒ =
2. Comme
z Z 1
× =
alors
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
Modulo 2 Modulo 2
Modulo 2
arg z Z arg 1 arg z arg Z 0
arg Z arg z
π π
π
× = ⇒ + =
⇒ = −
Pour établir les propriétés sur le quotient, il suffit juste de se rappeler que diviser ce
n'est rien d'autres que multiplier par l'inverse. Autant d'opérations sur lesquelles des
propriétés ont déjà été établies :
1.
z
z 1 1 1
z z z
z ' z ' z ' z ' z '
= × = × = × =
2.
( ) ( ) ( )
Modulo 2
z 1 1
arg arg z arg z arg arg z arg z'
z ' z ' z '
π
= × = + = −
Module et arguments d'une puissance entière
Soit z un nombre complexe non nul dont l'un des arguments est θ. En appliquant les
propriétés précédentes, nous pouvons écrire pour tout entier naturel non nul n :
( )
( )
n termes
nn n
.
n . . . .n
n facteurs
n facteurs
z z e z z e e z e z e
θ+ +θ
θ θ θ ×θ
= × = × × × × × = × = ×
i
i i i i
…
… …
Par conséquent :
n
n
z z
=
(
)
( )
n
arg z n arg z modulo 2
= × π
(
)
n
. .n
e e
θ ×θ
=
i i
Ces propriétés valent aussi si l'exposant n est négatif.
Module et arguments d'un conjugué
Soit z un nombre complexe non nul dont l'un des arguments est θ. Nous pouvons écrire :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.
...propre conjugué.
Le réel z est...
.
z z e z cos .sin z cos .sin
z cos .sin z e
θ
−θ
= × = × θ + θ = × θ − θ
= × −θ + −θ = ×
i
i
i i
i
Par conséquent :
z z
=
(
)
(
)
arg z arg z modulo 2
= − π
(
)
.
.
e e
−θ
θ
=
i
i
La légitimité de l'appellation exponentielle imaginaire
Pourquoi la fonction
(
)
(
)
(
)
cos .sin
ϕ θ = θ + θ
i qui est définie de  dans  est-elle
qualifiée d'exponentielle imaginaire ? Pour le comprendre, calculons sa dérivée.
D'abord, remarquons que comme cosinus et sinus sont dérivables sur , alors il en va de
même pour ϕ. Pour tout réel θ, nous pouvons écrire :
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
cos . sin sin .cos .sin cos
′ ′
′
ϕ θ = θ + θ = − θ + θ = × θ + θ = ×ϕ θ
i i i i i
Maintenant, si nous avions à dériver la fonction
(
)
u
.
e e
θ
θ
=
i avec la formule établie pour
l'exponentielle réelle, nous écririons que sa dérivée est donnée par :
( )
( )
( )
( )
u
. . .
e u e . e e
θ
θ θ θ
′′
′
= θ × = θ × = ×
i i i
i i
Du point de vue de la dérivation, ces deux fonctions se comportent de manière similaire.
De plus, ainsi que nous l'avons vu, cette fonction ϕ présente les mêmes propriétés
opératoires que son aînée réelle.
C'est pour toutes ces raisons que cette fonction ϕ est qualifiée d'exponentielle imaginaire.
A partir de ces deux exponentielles, on peut en construire une troisième : la complexe.