Intégrale de Fresnel

Antoine Tardivo
Intégrale de Fresnel
Le 15 février 2015
Intégrale de Fresnel
2
ix
0
I e dx
2
ix 2 2
0 0 0
bb
2
2
1aa
22
2
bb
2 2 2 2 2
b
1a
22
aa
I e dx cosx dx i sinx dx
1 2xcosx
Posons:I cosx dx dx 0 a b
2x
11
Soit u du dx soit dv 2xcosx dx v sin x
xx
1 sin x 1 sin x sin b sina 1 sin x
I [ ] dx dx
2 x 2 x 2b 2a 2 x
sin
Au voisinage de 0:
2 2 2
2
22
2
1
bb
2
2
2aa
22
2
2
a a a sin x
0 et : 1
2a 2a 2 x
sin b sin x
Au voisinage de + : 0 et : 0
2b x
Donc I est bien convergente lorsque a 0 et b
1 2xsin x
Posons: I sin x dx dx 0 a b
2x
11
Soit u du dx soit dv 2xsin x dx v 1 cosx
xx
1 1 cos
I[
2
bb
2 2 2 2 2
b
a22
aa
44
2 3 2
22
22
2
2
x 1 1 cosx 1 cosb 1 cosa 1 1 cosx
] dx dx
x 2 x 2b 2a 2 x
ax
1 1 1 1
1 cosa a 1 cosx
22
Au voisinage de 0: 0 et: 0
2a 2a 4 x x
1 cosb 1 cosx
Au voisinage de + : 0 et : 0
2b x
Donc I est bien convergente lorsque a 0 e
2
ix
tb
Donc e est bien sommable sur 
Considérons pour tout réel t la fonction de ℝ+ dans ℂ définie par
22
(u i)t
2
e
uui

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Le 15 février 2015
Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ+ et majorée :
22
22 ut
(u i)t
22
4
e
e1
u i u
u1
qui
est intégrable en +∞.
Il est donc possible de poser f, la fonction définie pour tout t par l’intégrale suivante:
22
(u i)t
2
0
e
f(t) du
ui
On montre que f est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C1 sur ℝ+* avec
2 2 2
* ' it u t
0
t , f (t) 2te e du
En effet, en appliquant les deux théorèmes de la convergence dominée :
 Continuité sur ℝ et nullité à l'infini (théorème 1)
o Pour tout u ∈ ℝ+*, la fonction
22
(u i)t
2
e
,t ui
est continue et nulle à
l'infini.
o Pour tout réel t, la fonction
22
(u i)t
2
e
,u ui
est continue donc
mesurable.
o Condition de domination :
22
(u i)t
24
e1
(t,u) , ui 1u
Cette fonction majorante est intégrable sur ℝ+
Conclusion : f est continue sur ℝ et nulle à l'infini.
 Classe C1 sur ℝ+* et valeur de la dérivée (théorème 2)
o Pour tout u ∈ ℝ+, la fonction
22
(u i)t
*
2
e
, t ui
est dérivable et sa
dérivée,
22
(u i)t
*, t 2te
est continue.
o Pour tout t ∈ ℝ+*, la fonction
22
(u i)t
*, t 2te
est mesurable.
o Condition de domination : confinons le paramètre t à
l'intervalle ]a,b[ avec 0<a<b
22 22
(u i)t ua
(t,u) ]a,b[ , 2te 2be
et la fonction
22
ua
u 2be
est intégrale sur ℝ+
o Conclusion : f est de classe sur ℝ+* et

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2 2 2 2
2 2 2
(u i)t (u i)t
* 2 it u t
22
0 0 0
d e e
t , f'(t) [ du]' 2t(u i) du 2te e du
dt u i u i
Calcul de
22
ax
0
I e dx
2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2
a y a (x y )
2 a x
0 0 0
2 2 2
/2
2 a r 2 a r a r
0
2 2 2
0 0 0
I ( e dx)( e dy) e dxdy
En passant en coordonnées polaires : r x y
x [0, [ , y [0, [ r [0, [ , [0, ]
2
I re dr d ( 2ra )e dr [e ]
4a 4a 4a
I2
a
22
22
22
tt
ii
00
tt
(u i)t
ii
22
0 0 0 0
f'( ) e f(t) f(0) f'( )d e d
e du
f(t) f(0) e d du e d
u i u i
En faisant tendre t vers l’infini dans l’expression précédente :
22
ii
22
0 0 0 0
du 1 du
0 e d e d
u i u i
Donc :
222
it
2 4 4 4
0 0 0 0 0
1 du 1 u i 1 u du
e dt du du i
u i u 1 u 1 u 1
Calculons l’intégrale
4
0
du
u1
On remarque tout d’abord en posant v=u-1 =>
2
22
du dv
dv v du du
uv
2
00 2
it
4 4 4
22
0 0 0 0
42
du dv dv u 1 i du
du e dt
11
u 1 1 u u 1
v ( 1) v
vv
Ensuite en remarquant :

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4 2 2 2 2 2
422
22
422
u 1 (u 1) 2u (u 1 u 2)(u 1 u 2)
1 au b cu d
u1u 1 u 2 u 1 u 2
u au bu cu du
u : 0 a c
u1u 1 u 2 u 1 u 2
u 0: 1 b d
1 a b c d (a b)(2 2) (c d)(2 2)
u 1: 2 4 2
2 2 2 2
a(2 2) b(2 2) c(2 2) d(2 2)
2
a(2 2 2 2) b(2 2 2 2) 2 2 2a 2 2b 2 1 2
1 a b c d ( a b)(2 2) ( c d)(2 2)
u 1: 22
2 2 2 2
a(2 2) b(2 2) c(2 2) d(2 2) 1 a(2 2) b(2 2) a(2 2) (1 b)(2 2)
2
1 2a 2 2b 2 2 2
2a 2 2b 2 1 2
2a 2 2b 2 1 2 2a 2 2b 2 1 2
42 2 2 2 2 2
22
42 2 2 2
0 0 0 0 0
1 1 1
a c et b et d
22
22
1 1 u 2 u 2 1 2u 2 2u 2 2 2
( ) ( )
u12 2 u 1 u 2 u 1 u 2 4 2 u 1 u 2 u 1 u 2 u 1 u 2 u 1 u 2
du 1 d(u 1 u 2) d(u 1 u 2) 2du 2du
u14 2 u 1 u 2 u 1 u 2 u 1 u 2 u 1 u 2
22
00
22
00
0
2
2 2 2
00
0
2
1
1 1 1 2du 1 2du
ln(u 1 u 2) ln(u 1 u 2)
4 2 4 2 4 2 2 1 4 2 2 1
(u ) (u )
2 2 2 2
u 1 u 2 1 d(u 2 1) 1 d(u 2 1)
ln u 1 u 2 2 2 (u 2 1) 1 2 2 (u 2 1) 1
dx
En posant x u 2 1: x1
2
1
1
40
2
0
t
1
i
3
[arctan ] 2 4 4
d
1
e
x
En posant x u 2 1: [arctan ]
x 1 2 4 4
du 1 3
()
u 1 4 4
2 2 2 dt (1 i)
22
2

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.
Considérons la fonction holomorphe
2
z
f(z) e
. Intégrons cette fonction sur le contour du
plan complexe défini par :
 Le segment réel 0≤x≤R
 L’arc de cercle
i
z Re avec 0 4
 Le segment complexe
i4
re avec 0 r R
D’après le théorème des résidus :
2
z
e dz 0
Sur OA, z=x
22
R
xx
10
f(x) e I (R) e dx
Sur l’arc AB,
22
4
i 2 2 2 R (cos2 sin2 ) R (cos2 sin2 )
20
z Re z R cos2 R sin2 f(z) e I (R) e d
Sur BO, z=rcosθ+irsinθ :
2
0
2 2 ir
3R
r r 1 i 1 i
z i dz dr et: z ir I (R) e dr
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
R R R R
44
x R cos2 R sin2 ir ir x R (cos2 sin2 )
0 0 0 0 0 0
1 i 1 i
f(z)dz 0 e dx e d e dr e dr e dx e d
22