TES AP n°7 : Corrigé

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AP n°7 : Corrigé
Exercice 1
Damien joue à un jeu où la probabilité de gagner une partie est 0,3.
Il fait 7 parties successives( les parties sont indépendantes).
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de parties gagnées par Damien.
1. Justifier que la loi de probabilité de X est une loi binomiale et en donner les paramètres.
On considère l’épreuve de Bernoulli : Damien joue une partie.
Cette épreuve a deux issues :
Le succès S : « Damien gagne la partie » de probabilité 0,3 .
L’échec S de probabilité 0,7.
On répète sept fois, de manière identique et indépendante, cette épreuve de Bernoulli.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus sur les sept
épreuves est la loi binomiale de paramètres 7 et 0,3.
7
k
7k
On a donc, pour tout entier k compris entre 0 et 7 , P  X  k      0,3  0,7  .
k 
7
2. Que représente le coefficient binomial   dans cette situation ?
3
7
Si on représente la situation précédente par un arbre pondéré,   est le nombre de chemins qui
3
7
passent par 3 succès. Avec la calculatrice on obtient    35 .
3
3. Quelle est la probabilité que Damien gagne 4 parties ? En donner l’arrondi au millième.
7
4
3
4
3
En utilisant la formule : P  X  4      0,3  0,7   35   0,3  0,7 . Arrondie au millième :
 4
P  X  4  0,097 .
On peut aussi obtenir directement ce résultat avec la calculatrice.
4. Quelle est la probabilité que Damien gagne plus de 4 parties ?
Ici on cherche P  X  4 .
On peut calculer P  X  4  P  X  5  P  X  6  P  X  7  .
Mais il est plus simple d’utiliser le complémentaire de  X  4 c'est-à-dire  X  4 .
On a alors P  X  4  1  P  X  4 , la calculatrice donne directement P  X  4 et on obtient,
arrondie au millième : P  X  4  0,029 .
Exercice 2
Une entreprise fabrique des chemises.
A la sortie de la chaîne de fabrication, deux défauts peuvent apparaître :
- un défaut de couleur ; ce type de défaut concerne 5% des chemises fabriquées ;
- un défaut de coupe ; ce type de défaut concerne 3% des chemises fabriquées.
On sait de plus qu’un défaut de coupe et de couleur concerne 1% des chemises fabriquées.
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1
On note A l’événement « La chemise présente un défaut de couleur » et B l’événement « La chemise
présente un défaut de coupe ».
Partie A
On prélève une chemise au hasard à la sortie de la chaîne.
1. Traduire l’énoncé en termes de probabilité.
Un défaut de couleur concerne 5% des chemises fabriquées donc P  A  0,05 ;
Un défaut de coupe concerne 3% des chemises fabriquées donc P  B   0,03 ;
Un défaut de coupe et de couleur concerne 1% des chemises fabriquées donc P  A  B   0,01.
2. Calculer P  A  B  , puis interpréter.
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B   0,05  0,03  0,01  0,07 .
Cela signifie que la probabilité que la chemise possède au moins un défaut est 0,07.
Soit que 7% des chemises fabriquées possèdent au moins un défaut.
Partie B
Un contrôleur prélève 20 chemises à la sortie de la chaîne de fabrication.
On suppose que le nombre de chemises est suffisamment grand pour assimiler ce prélèvement à 20
tirages successifs avec remise.
Dans cette partie les résultats seront arrondis à 104 .
On considère X la variable aléatoire donnant le nombre de chemises présentant au moins un défaut.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
On considère l’épreuve de Bernoulli : le contrôleur prélève une chemise.
Cette épreuve a deux issues :
Le succès S : « La chemise prélevée présente au moins un défaut » de probabilité 0,07 .
L’échec S de probabilité 0,93.
On répète 20 fois, de manière identique et indépendante, cette épreuve de Bernoulli, les 20
prélèvements étant assimilés à 20 tirages successifs avec remise.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus sur les 20
épreuves est la loi binomiale de paramètres 20 et 0,07.
 20 
k
20 k
On a donc, pour tout entier k compris entre 0 et 20 , P  X  k      0,07   0,93
.
k 
2. Calculer P  X  5 et interpréter le résultat.
Avec la calculatrice, arrondie à 104 , on obtient : P  X  5  0,0088 .
Cela signifie que la probabilité d’obtenir 5 chemises avec au moins un défaut sur les 20 chemises
contrôlées est environ 0,0088.
3. Déterminer la probabilité que moins de 5 chemises présentent au moins un défaut.
P  X  5  P  X  4 , avec la calculatrice, arrondie à 104 , on obtient P  X  5  0,9893 .
4. Calculer P  2  X  5 et interpréter.
P  2  X  5  P  X  5  P  X  2  P  X  5  P  X  1 .
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2
Avec la calculatrice, arrondie à 104 , on obtient : P  2  X  5  0, 4112 .
Cela signifie que la probabilité d’obtenir entre 2 et 5 chemises avec au moins un défaut sur les 20
chemises contrôlées est environ 0,4112.
Exercice 3
Dans l’expérience aléatoire simulée par
l’algorithme ci-contre, on appelle X la
variable aléatoire prenant la valeur C
affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses
paramètres.
On considère l’ épreuve de Bernoulli : choisir un nombre entier au hasard compris entre 1 et 7.
Cette épreuve a deux issues, le succès S : « le nombre choisi est strictement supérieur à 5 » de
2
5
probabilité
et l’échec de probabilité .
7
7
On répète 9 fois de manière identique et indépendante cette épreuve.
La valeur C affichée représente le nombre de succès sur les 9 épreuves.
Donc la variable aléatoire X prenant la valeur C affichée suit la loi binomiale de paramètres 9 et
2
.
7
Exercice 4
Dans le but de contrôler le taux d’alcoolémie des conducteurs automobiles, la police procède à un
alcootest.
On admet que 2% des conducteurs contrôlés sont en infraction.
La police contrôle n personnes. On assimile ce contrôle à un tirage avec remise.
1. Exprimer en fonction de n la probabilité de trouver au moins une personne en infraction parmi les n
personnes contrôlées.
On considère l’ épreuve de Bernoulli : procéder à un alcootest.
Cette épreuve a deux issues, le succès S : « le conducteur est en infraction» de probabilité 0,02 et
l’échec de probabilité 0,98.
On répète n fois de manière identique et indépendante cette épreuve.
Donc la variable aléatoire X qui compte le nombre de conducteurs en infraction parmi les n
conducteurs contrôlés suit la loi binomiale de paramètres n et 0,02.
n
k
n k
On a donc, pour tout k entier compris entre 0 et n, P  X  k      0,02   0,98 .
k 
On obtient : P  X  1  1  P  X  1  1  P  X  0  1  0,98n .
2. Calculer le nombre minimal N de personnes à contrôler pour que la probabilité de trouver au moins
une personne en infraction soit supérieure à 0,95.
On cherche n tel que P  X  1  0,95 :
1  0,98n  0,95  0, 05  0,98n avec la calculatrice, on obtient 0,98148  0, 0502 et 0,98149  0, 0493 .
Donc il faut contrôler au moins 150 personnes pour que la probabilité de trouver au moins une
personne en infraction soit supérieure à 0,95.
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