TES AP n°7 : Corrigé

TES AP n°7 : Corrigé
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TES AP n°7 : Corrigé
Exercice 1
Damien joue à un jeu où la probabilité de gagner une partie est 0,3.
Il fait 7 parties successives( les parties sont indépendantes).
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de parties gagnées par Damien.
1. Justifier que la loi de probabilité de X est une loi binomiale et en donner les paramètres.
On considère l’épreuve de Bernoulli : Damien joue une partie.
Cette épreuve a deux issues :
Le succès S : « Damien gagne la partie » de probabilité 0,3 .
L’échec
S
de probabilité 0,7.
On répète sept fois, de manière identique et indépendante, cette épreuve de Bernoulli.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus sur les sept
épreuves est la loi binomiale de paramètres 7 et 0,3.
On a donc, pour tout entier k compris entre 0 et 7 ,
7
70,3 0,7
kk
P X k k
.
2. Que représente le coefficient binomial
7
3
dans cette situation ?
Si on représente la situation précédente par un arbre pondéré,
7
3
est le nombre de chemins qui
passent par 3 succès. Avec la calculatrice on obtient
735
3
.
3. Quelle est la probabilité que Damien gagne 4 parties ? En donner l’arrondi au millième.
En utilisant la formule :
4 3 4 3
7
4 0,3 0,7 35 0,3 0,7
4
PX 
. Arrondie au millième :
4 0,097PX
.
On peut aussi obtenir directement ce résultat avec la calculatrice.
4. Quelle est la probabilité que Damien gagne plus de 4 parties ?
Ici on cherche
4PX
.
On peut calculer
4 5 6 7P X P X P X P X      
.
Mais il est plus simple d’utiliser le complémentaire de
4X
c'est-à-dire
4X
.
On a alors
4 1 4P X P X   
, la calculatrice donne directement
4PX
et on obtient,
arrondie au millième :
4 0,029PX
.
Exercice 2
Une entreprise fabrique des chemises.
A la sortie de la chaîne de fabrication, deux défauts peuvent apparaître :
- un défaut de couleur ; ce type de défaut concerne 5% des chemises fabriquées ;
- un défaut de coupe ; ce type de défaut concerne 3% des chemises fabriquées.
On sait de plus qu’un défaut de coupe et de couleur concerne 1% des chemises fabriquées.

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On note A l’événement « La chemise présente un défaut de couleur » et B l’événement « La chemise
présente un défaut de coupe ».
Partie A
On prélève une chemise au hasard à la sortie de la chaîne.
1. Traduire l’énoncé en termes de probabilité.
Un défaut de couleur concerne 5% des chemises fabriquées donc
0,05PA
;
Un défaut de coupe concerne 3% des chemises fabriquées donc
0,03PB
;
Un défaut de coupe et de couleur concerne 1% des chemises fabriquées donc
0,01P A B
.
2. Calculer
P A B
, puis interpréter.
0,05 0,03 0,01 0,07P A B P A P B P A B        
.
Cela signifie que la probabilité que la chemise possède au moins un défaut est 0,07.
Soit que 7% des chemises fabriquées possèdent au moins un défaut.
Partie B
Un contrôleur prélève 20 chemises à la sortie de la chaîne de fabrication.
On suppose que le nombre de chemises est suffisamment grand pour assimiler ce prélèvement à 20
tirages successifs avec remise.
Dans cette partie les résultats seront arrondis à
4
10
.
On considère X la variable aléatoire donnant le nombre de chemises présentant au moins un défaut.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
On considère l’épreuve de Bernoulli : le contrôleur prélève une chemise.
Cette épreuve a deux issues :
Le succès S : « La chemise prélevée présente au moins un défaut » de probabilité 0,07 .
L’échec
S
de probabilité 0,93.
On répète 20 fois, de manière identique et indépendante, cette épreuve de Bernoulli, les 20
prélèvements étant assimilés à 20 tirages successifs avec remise.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus sur les 20
épreuves est la loi binomiale de paramètres 20 et 0,07.
On a donc, pour tout entier k compris entre 0 et 20 ,
20
20 0,07 0,93
kk
P X k k
.
2. Calculer
5PX
et interpréter le résultat.
Avec la calculatrice, arrondie à
4
10
, on obtient :
5 0,0088PX
.
Cela signifie que la probabilité d’obtenir 5 chemises avec au moins un défaut sur les 20 chemises
contrôlées est environ 0,0088.
3. Déterminer la probabilité que moins de 5 chemises présentent au moins un défaut.
54P X P X  
, avec la calculatrice, arrondie à
4
10
, on obtient
5 0,9893PX
.
4. Calculer
25PX
et interpréter.
2 5 5 2 5 1P X P X P X P X P X         
.

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Avec la calculatrice, arrondie à
4
10
, on obtient :
2 5 0,4112PX  
.
Cela signifie que la probabilité d’obtenir entre 2 et 5 chemises avec au moins un défaut sur les 20
chemises contrôlées est environ 0,4112.
Exercice 3
Dans l’expérience aléatoire simulée par
l’algorithme ci-contre, on appelle X la
variable aléatoire prenant la valeur C
affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses
paramètres.
On considère l’ épreuve de Bernoulli : choisir un nombre entier au hasard compris entre 1 et 7.
Cette épreuve a deux issues, le succès S : « le nombre choisi est strictement supérieur à 5 » de
probabilité
2
7
et l’échec de probabilité
5
7
.
On répète 9 fois de manière identique et indépendante cette épreuve.
La valeur C affichée représente le nombre de succès sur les 9 épreuves.
Donc la variable aléatoire X prenant la valeur C affichée suit la loi binomiale de paramètres 9 et
2
7
.
Exercice 4
Dans le but de contrôler le taux d’alcoolémie des conducteurs automobiles, la police procède à un
alcootest.
On admet que 2% des conducteurs contrôlés sont en infraction.
La police contrôle n personnes. On assimile ce contrôle à un tirage avec remise.
1. Exprimer en fonction de n la probabilité de trouver au moins une personne en infraction parmi les n
personnes contrôlées.
On considère l’ épreuve de Bernoulli : procéder à un alcootest.
Cette épreuve a deux issues, le succès S : « le conducteur est en infraction» de probabilité 0,02 et
l’échec de probabilité 0,98.
On répète n fois de manière identique et indépendante cette épreuve.
Donc la variable aléatoire X qui compte le nombre de conducteurs en infraction parmi les n
conducteurs contrôlés suit la loi binomiale de paramètres n et 0,02.
On a donc, pour tout k entier compris entre 0 et n,
0,02 0,98
k n k
n
P X k k
.
On obtient :
1 1 1 1 0 1 0,98n P X P X P X        
.
2. Calculer le nombre minimal N de personnes à contrôler pour que la probabilité de trouver au moins
une personne en infraction soit supérieure à 0,95.
On cherche n tel que
1 0,95PX
:
1 0,98 0,95 0,05 0,98
nn
avec la calculatrice, on obtient
148
0,98 0,0502
et
149
0,98 0,0493
.
Donc il faut contrôler au moins 150 personnes pour que la probabilité de trouver au moins une
personne en infraction soit supérieure à 0,95.